全等三角形難題集錦(整理)

1、1、（1）如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大小；（2）如圖2，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小. 圖1 圖22、（1）如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線、DC分別交于點(diǎn)E、F請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，P

2、E、PF之間是否還具有（2）中的數(shù)量關(guān)系？如果有，請(qǐng)說(shuō)明3、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證： ABCEDOPQ4、C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊和等邊，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論： AD=BE； ； AP=BQ； DE=DP； CP=CQ CPQ為等邊三角形共有2對(duì)全等三角形 CO平分 CO平分恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）5、D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN，DM，DN分別交BC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)。（1）當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證：DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。6、

3、如圖，是正三角形，BDC是頂角的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明7、點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM， CBN都是等邊三角形，線段AN，MC交于點(diǎn)E，BM，CN交于點(diǎn)F。求證：（1）AN=MB.（2）將ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立？ （3）AN與BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化。圖 圖8、復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在中，AB=AC，P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使，連接BQ、CP，則BQ=CP

4、”小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過(guò)對(duì)圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請(qǐng)你就圖給出證明9、將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到圖中的兩張三角形膠片和且。將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，把繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)與相交于點(diǎn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)，在同一直線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是 當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由10、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC（1）請(qǐng)找出圖2中的

5、全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DCBE圖1圖2DCEAB11、兩個(gè)全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由12、如圖，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求證：AC=EF13、如圖，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求證：（1）BD=CE；（2）BDCE14、如圖，BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，且BD=CD。求證：（1）BDECDF；（2） 點(diǎn)D在A的平分線上15、如圖1，A、E、F、C在同一條

6、直線上，AE=CF，過(guò)E、F分別作DEAC，BFAC，（1）若AB=CD，試說(shuō)明BD平分EF；（2）若將DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)，其余條件不變，BD是否還平分EF，請(qǐng)說(shuō)明理由。16、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，

7、請(qǐng)說(shuō)明理由。OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖17、如圖1，點(diǎn)M為銳角內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM以AB為一邊向外作等邊，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN（1）求證：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為的費(fèi)爾馬點(diǎn)若點(diǎn)M為的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)、的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖2，分別以的AB、AC為一邊向外作等邊ABE和等邊ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為的費(fèi)爾馬點(diǎn)試說(shuō)明這種作法的依據(jù)18、如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑

8、動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請(qǐng)證明你的上述兩猜想.（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N， 使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明圖1 圖219、如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，則可得結(jié)論：AF=DE；AFDE.（不需要證明）（1）如圖2，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的

9、中點(diǎn)，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論、是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”）（2）如圖3，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.20、如圖1、圖2、圖3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？（3）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎？還具有上問(wèn)

10、中的位置關(guān)系嗎？為什么？21、如圖1，在中，BC邊在直線l上，ACBC，且AC = BCEFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ猜想并寫(xiě)出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 （F） B C P

11、 A（E）l l P A E B C Q F 圖2 l B P A 圖3 E F Q C 22、如圖所示，在和中，且點(diǎn)，在一條直線上，連接，分別為的中點(diǎn)（1）求證：；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫(xiě)出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立. CENDABM圖CAEMBDN圖23、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如

12、圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖324、問(wèn)題背景，如下命題： 如圖1，在正三角形ABC中，N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正三角形外角ACK的平分線，若，則AN=NM。 如圖2，在正方形ABCD中，N為BC

13、邊上任一點(diǎn)，CM為正方形外角DCK的平分線，若，則AN=NM。 如圖3，在正五邊形ABCDE中，N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正五邊形外角DCK的平分線，若，則AN=NM。任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你證明以上三個(gè)命題；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖4，在正（3）邊形ABCDEF中，N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正邊形外角DCK的平分線，問(wèn)當(dāng)ANM等于多少度時(shí)，結(jié)論AN=NM成立（不要求證明）. 如圖5，在梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，N為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CM為DCN的平分線，若ANM=ABC，請(qǐng)問(wèn)AN=NM是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.25、已知AOB=90，AO

14、B的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長(zhǎng)線相交于D、E。（1）當(dāng)三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：CD=CE（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明。26、已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五邊形ABCDE的面積 27、已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBF28、已知BE，CF是的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

15、系29、已知E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAE=FAE。求證：30、已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).（1）如圖，當(dāng)APB=45時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng);（2）當(dāng)APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)APB的大小.31、已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 求證：32、以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形，連結(jié)，試判斷與面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由AGFCBDE33、用兩個(gè)全等的等邊和ACD拼成菱形ABCD，把一個(gè)含60角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合

16、.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖131），通過(guò)觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖132），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由. 34、在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛(ài)直線AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)=_（2）如圖

17、，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且時(shí)，猜想（1）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=_（用x，L表示）35、在等邊中， P在延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以PA為邊作等邊，EC延長(zhǎng)線交BP于M，連接AM。求證：（1）BP=CE；（2）EMPM=AM.PBACEM36、在等邊中，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使DAF=60，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論

18、AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系37、在等邊中，過(guò)邊上的點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接，（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)你連接，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論38、在等腰中，是的中點(diǎn)，過(guò)作，且求證：39、在等腰中，ACB90，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F。求證：ADCBDE40、在等腰中，ACB=90，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A、B作l的垂線，即，（1）

19、如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：ADCCEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想41、四邊形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分線，AFDC，連接AC、CF。求證：CA是DCF的平分線。42、在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求證：AE=AD+BE 43、在正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 44、在正方形中，求證：45、在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得,交于點(diǎn)，分別交、于、兩點(diǎn)如圖1，觀

20、察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。ADBECFADBECF46、在中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、。當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F47、在中，A=90，D是AC上的一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PEBD，PFAC，E、F為垂足求證：PE+PF=AB48、在中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F

21、，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G。（1）求證：BF=AC；（2）求證：CE=BF；（3）CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。49、在中，ACB90，ACBC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于D求證：（1）AECD；（2）若AC12 cm，求BD的長(zhǎng) 50、在中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角ADE，解答下列各題：如果AB=AC，BAC=90（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，猜想并證明線段BD，CE之間的位置關(guān)系。（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙，（1

22、）中的結(jié)論是否還成立？為什么？51、在中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q。求證：。52、在中，AB=AC，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ADB=60，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB，求證：53、在中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPD與CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò) 后，點(diǎn)