中考數(shù)學(xué)專題：二次函數(shù)練習(xí)題

1、 一、選擇題1.若二次函數(shù) = 2 + + （ 0 ）的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ( ,0) ，1( ,0) ，且 < ，圖象上有一點(diǎn) ( , ) 在 軸下方，則下列判斷正確的是（）。21200A. > 0B.C. < < 22 4 010D. ( )( ) < 001022.函數(shù) = 2 2 + 1 向左平移 個(gè)單位后其圖象恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的值為（）。A.1B. 1C. 1 或 3D. 1 或 33.定義 , , 為函數(shù) = 2 + + 的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為 2, 1 , 1 18 的函數(shù)的一些結(jié)論：當(dāng) = 3 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (

2、, ) ；當(dāng) > 0 時(shí)，3331函數(shù)圖象截 軸所得的線段長度大于 ；當(dāng) < 0 時(shí)，函數(shù)在 > 時(shí)， 隨 的24增大而減??；當(dāng) 0 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)。其中正確的結(jié)論有（）。A. B. C. D. 4.對于二次函數(shù) = 2( + 1)( 3) ，下列說法正確的是（）。A. 圖象的開口向下B. 當(dāng) > 1 時(shí)， 隨 的增大而減小C. 當(dāng) < 1 時(shí)， 隨 的增大而減小D. 圖象的對稱軸是直線 = 15.若二次函數(shù) = 2 + + （ 0 ）的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ( ,0) ，1( ,0) ，且 < ，圖象上有一點(diǎn) ( , ) 在 軸下方，

3、則下列判斷正確的是（）。21200A. > 0B.C. < < 22 4 010D. ( )( ) < 001026.二次函數(shù) = 2 + 的圖象如圖，若一元二次方程 2 + + = 0 有實(shí)數(shù)根，則 的最大值為（ ）。 A. 3B.C. 6D.3927.已知二次函數(shù) = 2 + + 4 ，一次函數(shù) = ( 2) ，若它們的圖象對于任意4的非零實(shí)數(shù) 都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 ， 的值分別為（）。A. = 1 ， = 2B. = 1 ， = 4C. = 1 ， = 2D. = 1 ， = 28.給出定義：設(shè)一條直線與一條拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且這條直線與這條拋物線的對稱軸不平

4、行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是拋物線的切線。有下列命題：直線 = 0 是11拋物線 = 2 的切線；直線 = 2 與拋物線 = 2 相切于點(diǎn) (2,1) ；若直441線 = + 與拋物線 = 2 相切，則相切于點(diǎn) (2,1) ；若直線 = 2 與拋物41線 = 2 相切，則實(shí)數(shù) = 2 。其中正確命題的是（ ）。4A. B. C. D. 9.將拋物線 = 2( 3)2 2 繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ，所得的解析式是（）。A.B.C.D. = 22 + 12 20 = 22 + 12 16 = 22 + 12 19 = 22 12 + 1610.將拋物線 = ( 1)2 1 向上平移 2 個(gè)

5、單位，再向右平移 1 個(gè)單位得到的拋物線是（）。 A.B.C.D. = 2 + 1 = ( 2)2 + 1 = ( 2)2 + 2 = 2 311.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) = + 和 = 2 + 2 + 2 （ 是常數(shù)，且 0 ）的圖象可能是（ ）。A.B.C.D.12.若拋物線 = ( 2)2 + 3 1 （ 是常數(shù)）與直線 = + 1 有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別在拋物線對稱軸的兩側(cè)，則 的取值范圍是（ ）。A. < 2B. > 2 · C. < 94D. > 94二、填空題1.若關(guān)于 的函數(shù) = 2 + 2 1 與 軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的值為_

6、。（7）2.二次函數(shù) = 2 6 + 的部分圖象如圖所示，若關(guān)于 的一元二次方程 2 6 + = 0 的一個(gè)解為 = 1 ，則另一個(gè)解 = _ 。123.如圖所示，直線 = + 和拋物線 = 2 + + 都經(jīng)過點(diǎn) (1,0) 和 (3,2) ，不等式 2 + + > + 的解集為_ 。4.如圖，從地面豎直向上拋出一個(gè)小球，小球的高度 （單位：m ）與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間 （單位： s ）之間的關(guān)系式為 = 30 52 ，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時(shí)間是秒。三、解答題1.已知：拋物線 = 2 + + 經(jīng)過 (1,0) 、 (5,0) 兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為 。求：（1）求 ， 的值；（2）求 的面積

7、；（3）若點(diǎn) ( , ) 和點(diǎn) ( , ) 在該拋物線上，則當(dāng) 0 < < < 1 時(shí)，請寫出112212 · 與 的大小關(guān)系。（5）122.已知拋物線 = 2 + (1 2) + 1 3 與 軸相交于不同的兩點(diǎn) 、 。（1）求 的取值范圍。（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn) ，并求出點(diǎn) 的坐標(biāo)。（3）當(dāng) 1 < 8 時(shí)，由（2）求出的點(diǎn) 和點(diǎn) 、 構(gòu)成的的面積是否有4最值。若有，求出最值及相對應(yīng)的 值；若沒有，請說明理由。3.已知拋物線 = 2 + + （ 0 < 2 < ）的頂點(diǎn)為 ( , ) ，點(diǎn) (1, ) 、00(0, ) 、 (

8、1, ) 在該拋物線上。（1）當(dāng) = 1 ， = 4 ， = 10 時(shí)。求頂點(diǎn) 的坐標(biāo)。求的值。 （2）當(dāng) 0 恒成立時(shí)，求的最小值。0 4.如圖所示，拋物線 = 2 + + 經(jīng)過點(diǎn) (1,0) 和點(diǎn) (4,0) ，與 軸交于點(diǎn) 。（1）求拋物線所對應(yīng)的解析式。（2）連接直線 ，拋物線的對稱軸與 交于點(diǎn) ， 為拋物線的頂點(diǎn)，求四邊形 的面積。5.如圖，已知拋物線 = 2 + + 與 軸交于點(diǎn) ， ， = 2 ，與 軸交于點(diǎn) ，對稱軸為直線 = 2 。 · （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式。（2）設(shè) 為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求 周長的最小值。（3）設(shè) 為拋物線上一點(diǎn)， 為對稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn) 、

9、、 、 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為_ 。6.某食品零售店為食品廠代銷一種面包，未售出的面包可以退回廠家。經(jīng)統(tǒng)計(jì)銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的銷售單價(jià)為 7 角時(shí)，每天賣出 160 個(gè)。在此基礎(chǔ)上，單價(jià)每提高 1 角時(shí)，該零售店每天就會(huì)少賣出 20 個(gè)面包。設(shè)這種面包的銷售單價(jià)為 角（每個(gè)面包的成本是5 角）。零售店每天銷售這種面包的利潤為 角。（1）用含 的代數(shù)式分別表示出每個(gè)面包的利潤與賣出的面包個(gè)數(shù)。（2）求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式。（3）當(dāng)這種面包的銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最大，最大利潤為多少元。 · 解析和答案一、選擇題1【答案】D【解析】本

10、題主要考查二次函數(shù) = 2 + + 的圖象和性質(zhì)。A項(xiàng)，二次函數(shù) = 2 + + （ 0 ）的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)無法判斷 的正負(fù)情況。故A項(xiàng)錯(cuò)誤。B項(xiàng)，因?yàn)?< ，所以拋物線與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即 = 2 4 > 0 。故B12項(xiàng)錯(cuò)誤。C項(xiàng)，若 > 0 ，則 < < ，若 < 0 ，則 < < 或 < < 。故C102012120項(xiàng)錯(cuò)誤。D項(xiàng)，若 > 0 ，則 > 0 ， < 0 ，所以 ( )( ) < 0 ，所以01020102( )( ) < 0 ；若 < 0 ，則 ( ) 與 ( )

11、同號，所以 ( 010201020 )( ) < 0 ，綜上所述， ( )( ) < 0 是正確的。故D項(xiàng)正確。1020102故本題正確答案為D。2【答案】A【解析】本題主要考查二次函數(shù) = 2 + + 的圖象和性質(zhì)和圖形的平移變換。二次函數(shù)的解析式為 = 2 2 + 1 ，表示成頂點(diǎn)式為 = ( 1)2 ，向左平移 個(gè)單位后，解析式為 = ( 1 + )2 ，平移后的圖象過原點(diǎn)，把 (0,0) 代入得 (0 1 +2，解得 = 1 。) = 0故本題正確答案為A。3.【答案】C【解析】本題主要考查函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和二次函數(shù) = 2 + + 的圖象和性質(zhì)。424項(xiàng)，當(dāng) = 3 時(shí)， ,

12、 , = 6,4,2 ，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式 ( ,) 得：頂點(diǎn)2 · 18坐標(biāo)為 ( , ) 。故項(xiàng)正確。33項(xiàng)，當(dāng) > 0 時(shí)，設(shè)拋物線與 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 、 ，解方程 22 + (1 ) 12111 = 0 ，得 (2 + 1 + )( 1) = 0 ，解得 = 1 ， = ，且 < 0 ，2122231> 3 。故項(xiàng)正確。故函數(shù)圖象截 軸所得的線段的長度為 = +12222項(xiàng)，當(dāng) < 0 時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸 = =141= 41>14，則對稱軸在24 = 1 的右側(cè)，故當(dāng) > 1 時(shí)，函數(shù) 隨 的增大而先增大后減小。故項(xiàng)錯(cuò)誤。44項(xiàng)，由

13、上述討論可知，當(dāng) > 0 時(shí)，對于任意正數(shù) ，函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn) (1,0) ；當(dāng) < 0時(shí)，函數(shù)也經(jīng)過定點(diǎn) (1,0) 。故當(dāng) 0 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn) (1,0) 。故項(xiàng)正確。綜上所述，、項(xiàng)正確。故本題正確答案為C。4.【答案】C【解析】本題主要考查二次函數(shù)的基本概念。二次函數(shù) = 2( + 1)( 3) 可變換為 = 2( 1)2 8 的形式。A項(xiàng)，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù) = 2 > 0 ，所以圖象開口向上。故A項(xiàng)錯(cuò)誤。B項(xiàng)，拋物線的開口向上，對稱軸為 = 1 ，當(dāng) > 1 時(shí)， 隨 的增大而增大。故B項(xiàng)錯(cuò)誤。C項(xiàng)，拋物線的開口向上，對稱軸為 = 1 ，當(dāng) < 1 時(shí)

14、， 隨 的增大而減小。故C項(xiàng)正確。D項(xiàng)，由二次函數(shù)的解析式可知拋物線的對稱軸為 = 1 。故D項(xiàng)錯(cuò)誤。故本題正確答案為C。5.【答案】D【解析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。A項(xiàng)，根據(jù)已知條件并不能判斷拋物線的開口方向。故A項(xiàng)錯(cuò)誤。B項(xiàng)，因?yàn)榉匠?2 + + = 0 有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以判別式 2 4 > 0 。故B項(xiàng)錯(cuò)誤。C項(xiàng)，因?yàn)閽佄锞€的開口方向不能確定，所以無法確定 ， ， 三者之間的數(shù)量關(guān)012系。故C項(xiàng)錯(cuò)誤。D項(xiàng)，點(diǎn) ( , ) 在二次函數(shù)圖象上，則 = 2 + + < 0 ，因?yàn)?( , 0) ，( ,0)0000012是二次函數(shù)與 軸的交點(diǎn)，則 = ( )( )

15、 < 0 。故D項(xiàng)正確。00102故本題正確答案為D。6.【答案】B【解析】 · 本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。一元二次方程 2 + + = 0 的實(shí)數(shù)根即為二次函數(shù) = 2 + 與直線 = 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知二次函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)最小值為 3 ，即當(dāng)直線 = 與二次函數(shù) = 2 + 有交點(diǎn)時(shí)，可取得 值最小值為 3 ，即 的最大值為 3 。故本題正確答案為B。7.B【解析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。2將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立得： 2 + + 4 = ( 2) ，去括號、移項(xiàng)得： 2 + 422 + 4 + 2 + = 0 ，合并同類項(xiàng)

16、得： + ( ) + 4 + 2 + = 0 ，因?yàn)閮蓚€(gè)函2442數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程有唯一解，故 = ( )2 4(4 + 2 + ) = 0 ，去括4號得：2 2 + 2 16 8 2 = 0 ，合并同類項(xiàng)得：(1 )2 (8 + 2) +2 16 = 0，因?yàn)橐獫M足無論 取何值，該式都成立，則，由 得： = 1 ，代入 得： = 4 = 4 ，因?yàn)楫?dāng) = 1 ， = 4 時(shí)， 16 = (4) 2216 = 0 成立。故 、 的值分別為 1 、 4 。故本題正確答案為B。8.【答案】B【解析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。1項(xiàng)，直線 = 0 是 軸，拋物

17、線 = 2 的頂點(diǎn)在 軸上，所以直線 = 0 與拋物41線 = 2 只有一個(gè)交點(diǎn)且與拋物線的對稱軸 = 0 不平行，所以直線與拋物線相切。故4項(xiàng)正確。11項(xiàng)，因?yàn)閽佄锞€ = 2 的頂點(diǎn)在 軸上，開口向上，拋物線 = 2 的對稱軸為441 = 0 ，直線 = 2 與 = 0 平行，所以拋物線 = 2 與直線 = 2 不相切。故4項(xiàng)錯(cuò)誤。11項(xiàng)，已知直線 = + 與拋物線 = 2 相切，所以方程 2 = + ，即441412 = 0只有一個(gè)根，所以 = (1) + 4 × = 1 + = 0 ，解得 = 1 ，把24 = 1 代入 1 2 = 0 中，解得 = 2 ，把 = 2 代入拋物

18、線可得 = 1 ，所以41若直線 = + 與拋物線 = 2 相切，則相切于點(diǎn) (2,1) 。故項(xiàng)正確。4 · 11項(xiàng)，已知直線 = 2 與拋物線 = 2 相切，所以方程 2 = 2 ，即44142 + 2 = 0只有一個(gè)根，所以 = 2 = 0 ，解得 = ±2 。故項(xiàng)錯(cuò)誤。2綜上所述，正確的命題有。故本題正確答案為B。9.【答案】A【解析】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換和二次函數(shù) = ( )2 + 的圖象和性質(zhì)。根據(jù)題意，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，仍是 (3, 2) 。開口方向變?yōu)殚_口向下。根據(jù)旋轉(zhuǎn)后圖形的大小和形狀不改變的性質(zhì)，得拋物線解析式為 = 2( 3)2 2 = 2

19、(2 6 + 9) 2 = 2 + 12 20 。2故本題正確答案為A。10.【答案】B【解析】本題主要考查二次函數(shù) = 2 + + 的圖象和性質(zhì)。對于二次函數(shù)，若向上平移 個(gè)單位，即為 ；若向下平移 個(gè)單位，即為 + ；若向左平移 個(gè)單位，即為 + ；若向右平移 個(gè)單位，即為 。所以2向上平移 2 個(gè)單位，再向右平移1 個(gè)單位得 2 = ( 1 1) 1 ，2 = ( 1) 1即 = ( 2)2 + 1 ，所以B項(xiàng)正確。故本題正確答案為B項(xiàng)。11.【答案】D【解析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù) = 2 + + 的圖象和性質(zhì)。當(dāng) > 0 時(shí)，一次函數(shù) = + 過

20、第一、二、三象限，拋物線 = 2 + 2 + 2 開口向下，交 軸與正半軸，與對稱軸 = 1 > 0 ，無選項(xiàng)符合；當(dāng) < 0 時(shí)，一次函數(shù) = + 過第二、三、四象限，拋物線 = 2 + 2 + 2 開口向上，交 軸與正半軸，對稱軸 = 1 < 0 ，D項(xiàng)符合。綜上所述，符合題意的為選項(xiàng)D。故本題正確答案為D。12.【答案】A【解析】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程。拋物線 = ( 2)2 + 3 1 與直線 = + 1 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即一元二次方程2存在兩個(gè)不相等的實(shí)根?；喎匠痰茫?2 (4 + 1) +( 2) + 3 1 = + 12，利用根的判別式2可知：

21、(4 + 1) 4 × (4 +224 + 3 2 = 0 = 4 > 0 · 3 2) > 0 ，解不等式得： < 9 。又知拋物線 = 4 + 4 + 3 1對稱軸224為 = 2 ，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，故當(dāng) = 2 時(shí)，拋物線位于直線的下方，即 (2 2)2 + 3 1 < 2 + 1 ，解得 < 2 。綜上， 的取值范圍是 < 2 。故本題正確答案為A。二、填空題1.【答案】0 或 1【解析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。若函數(shù)為一次函數(shù)，即 = 0 ，則函數(shù)解析式為 = 2

22、 1 ，故其圖象與 軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)；若函數(shù)為二次函數(shù)，即 0 ，要使其圖象與 軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則2時(shí)， = 2 + 4 = 0 ，解得 = 1 。2 + 2 1 = 0故本題正確答案為“ 0 或 1 ”。2.【答案】5【解析】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。由圖可知，拋物線對稱軸為 = = = 3 ，一元二次方程 2 6 + = 0 的解即622為二次函數(shù) = 2 6 + 與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，1+21+2= 3 ，解得： = 5 。222故本題正確答案為 5 。3.【答案】 < 1 或 > 3【解析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)

23、的圖象與性質(zhì)。由圖可知， 2 + + > + 表示取相同的 值時(shí)， = 2 + + 對應(yīng)的函數(shù)值大于 = + 對應(yīng)的函數(shù)值，即二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方。由題意可知，兩圖象的交點(diǎn)為點(diǎn) (1,0) 和 (3,2) ，所以 的取值范圍為 < 1 或 > 3 。故本題正確答案為“ < 1 或 > 3 ”。4.【答案】6【解析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用。本題結(jié)合物理中的運(yùn)動(dòng)問題考查了二次函數(shù)，當(dāng)小球拋出時(shí)高度為 0 ，回落到地面后高度仍為 0 ，則求所需時(shí)間只需令函數(shù)關(guān)系式等于 0 ，即 30 52 = 0 ，方程兩邊同時(shí)除以 5 得 6 2 = 0 ，分解因式得

24、(6 ) = 0 ，解得 = 0 ， = 6 。故所需時(shí)間12為 = 6s 。21 · 故本題正確答案為 6 。三、解答題1.【答案】0 = 1 + 0 = 25 + 5 + （1）把點(diǎn) (1,0) 、 (5,0) 分別代入 = 2 + + ，得 ，解 = 4 = 5得 ；（2）由（1）得拋物線解析式為 = 2 + 4 + 5 ，即 = ( 2)2 + 9 ，得 (2,9) ，1因?yàn)?(1,0) 、 (5,0) ，所以 = 6 ，所以 = × 6 × 9 = 27 ；2（3）因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以在對稱軸直線 = 2 的左側(cè) 隨著 的增大而增大，所以 <

25、。12【解析】本題主要考查二次函數(shù) = 2 + + 的圖象和性質(zhì)。（1）將 、 兩點(diǎn)代入解析式，可得二元一次方程組 0 = 1 + ，解得 = 4 = 5；0 = 25 + 5 + （2）因?yàn)?(1,0) 、(5,0) ，所以 = 6 且在 軸上，求得點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 9 ，1所以 的 邊對應(yīng)的高為 9 ，所以 = × 6 × 9 = 27 ；2（3）因?yàn)?1 < 0 ，所以該函數(shù)圖象開口向下，在對稱軸左側(cè) 隨著 的增大而增大，所以 < 。122.【答案】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)與 軸交于不同的兩點(diǎn)，可知 2 + (1 2) + 1 3 = 0 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， =

26、 ， = 1 2 ， = 1 3 ，所以 = 2 4 = (1 2)2 12，化簡得2，所以 ，又因?yàn)?(1 3) = 16 8 + 1 > 0 = (4 1) > 041 0 ，故 的取值范圍是 且 0 。4（2）拋物線 = 2 + (1 2) + 1 3 = (2 2 3) + + 1 。因?yàn)閽佄锞€一定經(jīng)過一點(diǎn) ，則拋物線的解析式與 無關(guān)，即 前的系數(shù)為 0 ，則 2 2 3 = 0 ，化簡得 ( 3)( + 1) = 0 ，解得 = 1 ， = 3 。將 = 1 代入拋物線解析式121得到 = 1 + 1 = 0 ， = 3 代入拋物線解析式得到 = 3 + 1 = 4 ，所

27、以拋物線一122定經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0) ，(3,4) 。因?yàn)辄c(diǎn) 為非坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，故 (3,4) 。（3）設(shè) 、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( ,0) 、( ,0) ，則 和 為 2 + (1 2) +121212131 3 = 0 的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得 + = ， =。 = | 121221213 | = ( )2 = ( + )2 4 = ()2 4 121211 214+424+1222(41)2241141= = = | 。因?yàn)?< 8 ，所以 =。由4 · 141= 8 2(3,4) 得則 的 邊上的高為 4 ，所以 = × 4 = 2 ×，

28、214在< 8 范圍內(nèi)隨 的增大而增大。故當(dāng) = 8 時(shí)，面積最大，231最大值為 8 =。84【解析】本題主要考查一元二次方程和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以 = 2 4 > 0 ，從而解得 的取值范圍。（2）拋物線恒過的點(diǎn)，即一元二次方程 2 + (1 2) + 1 3 = 0 的解與 無關(guān)。將方程化為以 為自變量的函數(shù)，并使 的系數(shù)為零。解出 的值并代入一元二次函數(shù)求出 的值。（3）的底邊為 的長度，高為點(diǎn) 的縱坐標(biāo)。通過韋達(dá)定理，將面積化簡為與 有關(guān)的函數(shù)，并進(jìn)行求解。3.【答案】（1）若 = 1 ， = 4 ， = 10 ，此時(shí)拋物線的解析

29、式為。因?yàn)?= 2 + 4 + 10 = ( + 2)2 + 6 ，所以拋物線的頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為 (2,6) 。因?yàn)辄c(diǎn) (1, ) 、(0, ) 、(1, ) 在拋物線上，所以 = 15 ，15 = 10 ， = 7 ，所以= 5 。 107（2）如圖所示，由 0 < 2 < ，得 = < 1 ，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，0112則 = ， = 1 ，連接 ，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，則 = ，11 = 1 ，過點(diǎn) 作 / ，交拋物線于點(diǎn) ( , ) ，交 軸于點(diǎn) ( , 0) ，則121= 112 = ，所以 ，所以，即= 1 111= ，即 ，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，所以 ，所以21 1 ，

30、因?yàn)辄c(diǎn) (1, ) 、 (0, ) 、 (1, ) 、 ( , ) 在拋物線112上，得 = + + ， = ， = + ， = + + 1 12 = + + 2(+)( +) ，所以1= 1 ，化簡得： + 2 = 0 ，解得：1 = 2 ，2 = 11 1 12(+)（舍去），因?yàn)?0 恒成立，根據(jù)題意得： < 1 ，則 1 1 ，即021211 3 ，所以的最小值為 3 。2 · 【解析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。（1）將 ， ， 代入解析式，即可得到二次函數(shù)的解析式。將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。將 = 1 、 =

31、 0 和 = 1 分別代入解析式，即可求出、和 的值，代入并計(jì)算代數(shù)式的值即可。（2）根據(jù) 0 < 2 < ，求出 = < 1 ，作出圖中輔助線：過點(diǎn) 作 軸012于點(diǎn) ，則 = ， = 1 ，連接 ，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，則111 = ， = 1 ，過點(diǎn) 作 / ，交拋物線于點(diǎn) ( , ) ，交 軸于112點(diǎn) ( ,0) ，根據(jù)三角形角角相等證明 ，得到= 1 21 12 ，再根據(jù) 得到 1 ，然后求出、 、 的1 表達(dá)式，然后因?yàn)?0 恒成立，從而利用不等式即可求出的最小值。0 4.【答案】（1）因?yàn)閽佄锞€ = 2 + + 經(jīng)過點(diǎn) (1,0) 和點(diǎn) (4,0) ，所以可得1

32、 + + = 0， 得 3 = 15 ，未知數(shù)系數(shù)化為 1 得 = 5 ，代入24 + 4 + = 0 得 = 1 = 1 5 = 4 ，故 = 5 。所以拋物線的解析式為 = + 5 2 = 44 。55（2）將拋物線化為頂點(diǎn)式： = (2 5) 4 = 2 5 + ( )2 ( )2 422525594。故二次函數(shù)的對稱軸為 = 5 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為22= ( ) + 4 = ( ) +242259( , ) 。當(dāng) = 0 時(shí)， = + 5 4 = 42，所以 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0, 4) 。設(shè)直線 24 · 4 + = 0的解析式為 = + ，將 、 坐標(biāo)代入可得 ，解得 = 1 ，所以

33、 = 4 = 4直線 的解析式為 = 4 。當(dāng) = 5 時(shí)， = 4 = ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為532225393154( , ) 。 = ( ) =， = 4 1 = 3 ，因?yàn)?、 垂直，所以四邊形2242111 的面積為 四邊形 = + = + = ( +22211154458) = = × 3 ×=。22【解析】本題主要考查求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的應(yīng)用。（1）根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)上，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，即可得到函數(shù)的解析式。（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出直線 的解析式，再分別求出四邊形 四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形的面積等于兩個(gè)三角形的面積之和求出四邊形的面積即可。5.【答案】（1）由對稱軸為 = 2 可得 = 2 ，解得 = 4 ，又因?yàn)?= 2 ，所以設(shè) 的21+2坐標(biāo)為 ( , 0) ，設(shè) 的坐標(biāo)為 ( , 0) ，則= 2 ， = 2 ，解得 = 1 ，2 1 1122 = 3 ，因此 坐標(biāo)為 (1,0) ，將 (1,0) 代入 = 4 + 2得 0 = 1 4 + ，解得2 = 3 。故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 = 4 + 3 。2（2）如圖所示，連接 、 ， 交對稱軸于點(diǎn) ，連接 。因?yàn)閷ΨQ軸垂直平分 ，所以 = ，所以 + = + ，由兩點(diǎn)間線段最短可知，此時(shí) 的周