數(shù)論中若干問(wèn)題和進(jìn)展ppt課件

1、數(shù)論中的假設(shè)干問(wèn)題和進(jìn)展數(shù)論中的假設(shè)干問(wèn)題和進(jìn)展徐飛一一. 概述概述Peano公理：自然數(shù)正整數(shù)和零。減法：整數(shù) Z。除法：有理數(shù) Q。極限：實(shí)數(shù) R。(, 2, )求解代數(shù)方程 ：復(fù)數(shù) C。一一. 概述概述數(shù)論大致分為兩類問(wèn)題：1素?cái)?shù)問(wèn)題。如Riemann猜測(cè)，Goldbach猜測(cè)等。2整系數(shù)多項(xiàng)式方程的整數(shù)解。如Fermat猜測(cè)，BSD猜測(cè)等。二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù) 假設(shè)正整數(shù)m整除正整數(shù)n，稱m是n的一個(gè)因子。 假設(shè)正整數(shù)p的因子只需1和p，那么p稱為素?cái)?shù)。如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù) 算術(shù)根本定理：任何一個(gè)正整數(shù)都可表示為素?cái)?shù)的乘積。不思索乘積次序，表達(dá)

2、式獨(dú)一。如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。 二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù)定理Euclid：素?cái)?shù)有無(wú)限多。證法一：假設(shè)素?cái)?shù)只需有限多個(gè)，記為那么根據(jù)算術(shù)根本定理，的素?cái)?shù)因子就一定不是上述的素?cái)?shù)，矛盾！二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù)證法二Riemann)：根據(jù)算術(shù)根本定理，其中s是大于1的實(shí)數(shù)。 假設(shè)素?cái)?shù)只需有限多，那么無(wú)論s取什么值等式右邊都是有限值，而等式左邊當(dāng)s=1時(shí)是發(fā)散的。矛盾！二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù)利用證法二可以證明：定理Dirichlet)：等差級(jí)數(shù) a，a+d，a+2d，a+nd， 中假設(shè)a和d互素，那么該等差級(jí)數(shù)中會(huì)有無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)。二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù)Riemann zeta 函數(shù)滿足函數(shù)方程s

3、1-s。(Riemann猜測(cè))： Riemann zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)在實(shí)部為1/2的豎直線。二二. 素?cái)?shù)素?cái)?shù) 假設(shè)p和p+2都是素?cái)?shù)，稱p，p+2為孿生素?cái)?shù)。如3，5； 5，7； 11，13； 17，19等等。猜測(cè)：孿生素?cái)?shù)有無(wú)限多對(duì)？二. 素?cái)?shù) Green-Tao定理： 對(duì)恣意正整數(shù)n，存在長(zhǎng)度為n且每一項(xiàng)都 是素?cái)?shù)的等差級(jí)數(shù)。 例如： 3，7，11 (n=3) 5，11，17，23，29 (n=5) 二.素?cái)?shù)目前用計(jì)算機(jī)明確找到最長(zhǎng)的素?cái)?shù)等差級(jí)數(shù)是 6171054912832631+366384x223092870 xk: k=0,1,2,24 二.素?cái)?shù)猜測(cè)1: (Goldbach

4、猜測(cè)) 恣意大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。猜測(cè)2: (Schinzel 猜測(cè)): 首項(xiàng)系數(shù)為正的整系數(shù)不可約多項(xiàng)式, 假設(shè)沒(méi)有固定正因子, 那么存在無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)可表示為該多項(xiàng)式的方式。二.素?cái)?shù)特例: (Landau 猜測(cè)) 能否存在無(wú)限多素?cái)?shù)可寫為 x +1的方式？ 類似地，可以有多個(gè)變?cè)图僭O(shè)干個(gè)多項(xiàng)式的Schinzel 猜測(cè)。二.素?cái)?shù)Dirichlet 定理： 對(duì)任給定的非退化本原二元二次型，都存在無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)可表示為該二元二次型的形式。 Iwaniec 將這個(gè)結(jié)果推行到二元二次非退化本原多項(xiàng)式情形。 二.素?cái)?shù)Friedlander-Iwaniec 1998定理： 存在無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)可以

5、表示為 x + y 的方式。 Heath-Brown 2001定理： 存在無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)可以表示為 x + 2y 的方式。三. 丟番圖方程整數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式方程都稱為丟番圖方程。希爾伯特第十問(wèn)題：能否存在一個(gè)能確定整系數(shù)多項(xiàng)式方程有無(wú)整數(shù)解的算法？答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii) 三. 丟番圖方程必要條件：1方程在實(shí)數(shù)域上有解。2方程模任何整數(shù)m有解。三. 丟番圖方程例：方程沒(méi)有整數(shù)解。沒(méi)有實(shí)數(shù)解。例：方程 沒(méi)有整數(shù)解。模3沒(méi)有解。三. 丟番圖方程設(shè) 為素?cái)?shù)。 由中國(guó)剩余定理：三. 丟番圖方程 對(duì)素?cái)?shù)p，思索 乘積拓?fù)?的閉

6、包。記為Zp。 上述必要條件:方程在實(shí)數(shù)域R和Zp上均有解。此時(shí)稱方程部分有解。四.線性方程 由帶余除法法：線性方程有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)方程部分有解，即上述必要條件也是充分條件。五五.二次方程二次方程 一個(gè)二次齊次整系數(shù)方程有本原解當(dāng)且僅當(dāng)該方程部分有非平凡解。Hasse-Minkowski 定理 普通一個(gè)二次整系數(shù)方程部分有解推不出它有整數(shù)解。這個(gè)問(wèn)題有比較完好的答案，但仍沒(méi)有得到徹底處理。五.二次方程 例(Fermat)：假設(shè)二次齊次方程F(x,y,z)=0有一個(gè)非平凡的整數(shù)解，那么該方程有無(wú)限多組本原整數(shù)解，由 Q參數(shù)化。 費(fèi)馬的證明： F(x,y,z)=0有非平凡的整數(shù)解一一對(duì)應(yīng)于 的有了

7、解。 五.二次方程(Fermat-Gauss): 一個(gè)整數(shù)可表為兩個(gè)整數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)部分可表為兩平方和。(Gauss-Legendre):一個(gè)整數(shù)可表為三個(gè)整數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)部分可表為三平方和。(Lagrange):每個(gè)正整數(shù)可表為四個(gè)整數(shù)的平方和。六.三次方程 三次齊次多項(xiàng)式部分有非平凡解推不出該方程有整數(shù)解。三元三次齊次光滑整系數(shù)多項(xiàng)式給出射影空間虧格為1的一條光滑曲線。斷定這類整系數(shù)方程能否存在非平凡的本原的整數(shù)解仍沒(méi)有普通的方法。六.三次方程假設(shè)三元三次齊次光滑整系數(shù)多項(xiàng)式方程有一個(gè)非平凡的本原的整數(shù)解，稱該方程為橢圓曲線。記為E。橢圓曲線上非平凡的本原的整數(shù)解 E(Z)構(gòu)成一個(gè)

8、有限生成的交換群。(Mordell 定理)六.三次方程 根據(jù)有限生成交換群的構(gòu)造定理 E(Z) Z E(Z) 定理(Mazur)：E(Z) 16 猜測(cè)： 可恣意大？六.三次方程 除有限多個(gè)素?cái)?shù)外，E模素?cái)?shù)p成為有限域上的一條橢圓曲線。定義：其中 =p+1- #E( ) 。 稱為E的L-函數(shù)。六.三次方程定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，)： E的L-函數(shù)可解析開辟到全復(fù)平面并滿足函數(shù)方程s 2-s。BSD猜測(cè)：E的L函數(shù)在s=1處零點(diǎn)的階= 。六.三次方程定理定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)： 當(dāng)當(dāng)E的的L-函數(shù)在函數(shù)在s= 1的階的階1時(shí)，時(shí)，BSD猜測(cè)猜測(cè)成立。成立。七. 高次方程定理Siegel：次數(shù)大于2的兩個(gè)變?cè)恼禂?shù)多項(xiàng)式光滑方程僅有有限多個(gè)整數(shù)解。定理Faltings：次數(shù)大于3的三個(gè)變?cè)R次光滑多項(xiàng)式至多僅有有限多個(gè)非平凡的本原解。七. 高次方程定理Wiles): 假設(shè)n2, 方程 的整數(shù)解滿足 xyz=0。七. 高次方程 Euler猜測(cè)：方程 x + y + z = w 沒(méi)有正整數(shù)解