等比數(shù)列集體備課毛燕林

1、2.4等比數(shù)列、2.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和集體備課 高一數(shù)學(xué)：毛燕林一、教材分析1、教學(xué)內(nèi)容：等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2、教材地位、作用：數(shù)列知識(shí)是函數(shù)的連續(xù)，又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列極限和高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。本部分內(nèi)容與前面學(xué)過(guò)的等差數(shù)列是平行結(jié)構(gòu)的關(guān)系，兩者之間存在著內(nèi)在到聯(lián)系，通過(guò)類(lèi)比，可以拓展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的能力，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的探究和推導(dǎo)需要學(xué)生去觀察、分析、歸納和猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索精神，是增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)能力到良好載體。3、教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用；理解等比數(shù)列

2、前n項(xiàng)和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考和解決問(wèn)題的能力，加強(qiáng)特殊到一般，類(lèi)比與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)及應(yīng)用方程思想的計(jì)算能力。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生合作交流，獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)以及勇于批判、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。4、教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式的深刻理解，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法的理解及靈活應(yīng)用定義、公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題。5、課程標(biāo)準(zhǔn)與考綱要求 課程標(biāo)準(zhǔn)：（1）、通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。（2）、探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與

3、前n項(xiàng)和公式。（3）、能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列到等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問(wèn)題。（4）、體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 2011年考綱（1）、理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。（2）、掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。（3）、能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問(wèn)題。（4）、了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。課標(biāo)與原大綱教材比較刪去了用遞推式表示數(shù)列這一內(nèi)容，但在教材上還是有這一內(nèi)容。北師大版刪去了這一內(nèi)容，鄂教版單列一節(jié)作為了選學(xué)內(nèi)容。6、教材特點(diǎn)（1）重視數(shù)列的函數(shù)背景 教材將數(shù)列作為一

4、類(lèi)特殊的函數(shù)學(xué)習(xí)，將函數(shù)的表示方法遷移到數(shù)列的表示法中，將一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的研究，因此函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值與最小值、函數(shù)的有界性、函數(shù)的周期性也可以遷移到數(shù)列中去構(gòu)成數(shù)列的研究問(wèn)題，北師大版教材就將數(shù)列的單調(diào)性單列為一節(jié)，其它內(nèi)容是否引入教學(xué)我們可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際做出選擇。（2）、突出數(shù)學(xué)思想方法，有類(lèi)比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般思想等。類(lèi)比思想：如，數(shù)列與函數(shù)的類(lèi)比，類(lèi)比數(shù)列得到等比數(shù)列的定義及相關(guān)性質(zhì)等.歸納思想：如等差、等比數(shù)列及前n項(xiàng)和公式的得出與推導(dǎo)過(guò)程，充分注意了學(xué)生的觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、總結(jié)

5、等學(xué)習(xí)過(guò)程的體驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)了歸納思想的具體運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合思想：在數(shù)列概念的引入及其簡(jiǎn)單表示方面有具體應(yīng)用。2 / 32算法思想：算法思想貫徹全章內(nèi)容的始終，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，就有算法思想的體現(xiàn)。方程思想：有關(guān)數(shù)量關(guān)系探究方面注重了方程思想的滲透。特殊到一般思想：如等差、等比數(shù)列概念的引入。 （3）、體現(xiàn)“現(xiàn)實(shí)情境-數(shù)學(xué)模型-應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”的特點(diǎn)：教材的這種處理方式，注重了對(duì)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)列模型的能力的培養(yǎng)，數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用背景增加了，而對(duì)涉及數(shù)列中各量之間基本關(guān)系的繁難的技能訓(xùn)練題目，要求則有所降低，只要能達(dá)到基本技能訓(xùn)練目的就可以了。 （4）、注重滲透數(shù)學(xué)文化。教材將數(shù)列文化非形式化的

6、貫穿于整個(gè)課程之中，凸顯了數(shù)列知識(shí)豐富的文化底蘊(yùn)也充分說(shuō)明了數(shù)列的重要性與學(xué)習(xí)的必要性，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。二、學(xué)情分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，為學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容打下了很好的基礎(chǔ)。從學(xué)生思維特點(diǎn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)看，學(xué)生容易將本節(jié)知識(shí)與等差數(shù)列知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，另一方面本部分計(jì)算量增大，特別是等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算，思維深刻性提高，而且對(duì)q=1這一情況，學(xué)生往往容易忽視。對(duì)高一學(xué)生而言，雖然具有一定的分析和解決問(wèn)題的能力、邏輯思維能力也初步形成，但還不夠深刻，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，知識(shí)的類(lèi)比和遷移能力也需借助這部分知識(shí)得到提高和加強(qiáng)。三、考情分析： 通過(guò)對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)

7、計(jì)分析，數(shù)列這一章在整個(gè)命題過(guò)程中有以下規(guī)律：1考查熱點(diǎn)：圍繞數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推式，以及前n項(xiàng)和公式.2考查形式：一般以選擇、填空、解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.3考查角度：數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何綜合.4命題趨勢(shì)：高考仍以數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式為主線.5. 考題比例：一般為12個(gè)客觀題，一個(gè)主觀題，分值在20分左右。四、教學(xué)建議1、 課時(shí)安排等比數(shù)列 2課時(shí)；等比數(shù)列前n項(xiàng)和 2課時(shí) ；回顧與小結(jié) 2課時(shí)；2、 教學(xué)建議（1）突出函數(shù)思想。（2）倡導(dǎo)化歸思想。（3）滲透類(lèi)比意識(shí)。（4）感悟數(shù)學(xué)文化。數(shù)列通項(xiàng)公式的九種求法一、公式法例1 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊

8、除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法例2 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式

9、轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 （2004年全國(guó)I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿(mǎn)足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是

10、以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得 由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題

11、的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、對(duì)數(shù)變換法例10 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?。在式兩邊取常用?duì)數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得 由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、迭代法例11 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將

12、等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。七、數(shù)學(xué)歸納法例12 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測(cè)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法例13 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)?，故則，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將的換元為，使得所給遞

13、推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、不動(dòng)點(diǎn)法例14 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)椋?。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。數(shù)列求

14、和的方法1、公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來(lái)求.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：， 1+3+5+(2n-1)=，等.2、倒序相加法：類(lèi)似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱(chēng)為倒序相加法.例1、 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.

15、小結(jié)：解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱(chēng)性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.針對(duì)訓(xùn)練3、求值：3、錯(cuò)位相減法：類(lèi)似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 則 兩式相減并整理即得例2、（2008年全國(guó)第19題第（2）小題，滿(mǎn)分6分）已知 ，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解： 得小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.針對(duì)訓(xùn)練4、求和：4、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列

16、的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱(chēng)為裂項(xiàng)相消法。適用于類(lèi)似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法：（1），特別地當(dāng)時(shí)，（2），特別地當(dāng)時(shí)例3、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和解： = 小結(jié)：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.針對(duì)訓(xùn)練5、求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5、分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、

17、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例4、求和：解：小結(jié)：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，使問(wèn)題得到順利求解.針對(duì)訓(xùn)練6、求和：基本練習(xí)1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_.2.設(shè)，則_.3. .4. =_5. 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和 6 的前n項(xiàng)和為_(kāi)提高練習(xí)1數(shù)列an滿(mǎn)足：a11，且對(duì)任意的m，nN*都有：amnamanmn，則 ( )ABCD2數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項(xiàng)滿(mǎn)足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，則數(shù)列前10項(xiàng)的和等于 ( )A100B85C70D553設(shè)m=1×2+2×3+3&#

18、215;4+(n-1)·n，則m等于 ( )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，則S17+S3350等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.25設(shè)an為等比數(shù)列,bn為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列cn是1,1,2,則cn的前10項(xiàng)和為 ( )A.978 B.557 C.467 D.97961002-992+982-972+22-12的值是 ( )A.5000 B.5050 C.10100 D.202007一個(gè)有2001項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為 .8若12+2

19、2+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= .9已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第二、三、四項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)任意自然數(shù)n均有成立求c1c2c3c2003的值10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求證數(shù)列an+(-1)n是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有基礎(chǔ)練習(xí)答案1、 2、 3、 4、5、 6。提高練習(xí)答案1解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用疊加法得到：，答案：A.2解：ana1n1，bnb1n1a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3則數(shù)列也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于：答案：B.3解：因?yàn)?an=n2-n.，則依據(jù)分組集合即得.答案;A.4解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即： Sn=答案：A5解 由題意可得a1=1,設(shè)公比為