《不等式》均值不等式及其應用(第一課時)

1、1北師大版高中數(shù)學北師大版高中數(shù)學必修必修5第三章第三章不不等式等式2某廠生產化工產品，當年產量在某廠生產化工產品，當年產量在150150噸至噸至250250噸之噸之間時，某年生產總成本間時，某年生產總成本y y（萬元）與年產量（萬元）與年產量x(x(噸）之間的噸）之間的關系可近似地表示為關系可近似地表示為400030102xxy求年產量為多少噸時，每噸的平均成本最低？求年產量為多少噸時，每噸的平均成本最低？解：解：每噸平均成本為（萬元），則每噸平均成本為（萬元），則xy30400010 xxxy304000102xx10當且僅當當且僅當 ,即即 時時,取取“=”號號xx400010200 x

2、故年產量為噸時，每噸的平均成本最低故年產量為噸時，每噸的平均成本最低322333312,32*3aba babca b cabcRa babca b cabc、 當 a 、 b 、 cR 時 ，、 當、時 ， a + b2上 述 各 式等 號 成 立 的 條 件 均 是3 (1) 當當a、b同號時，同號時，a/b+ b/a2； (2) 當當aR+時，時，a+1/a2； (3) 當當aR-時，時，a+1/a-2； 4 主要的用途是:求函數(shù)的最值時:若和為定值，則積有最大值；若積為定值，則和有最小值5 利用上述重要不等式求函數(shù)的最值時務必注意三點達到：一正二定三能等!6 主要用到的方法和技巧是：湊

3、、拆,使之出現(xiàn)和為定值或積為定值特征。知識要點知識要點4例例、已知：、已知：0 0 x x31，求函數(shù)，求函數(shù)y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、分析一、原函數(shù)式可化為：原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隱含條件挖掘隱含條件即即x=x=61時時 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1為定值，且為定值，且0 0 x x31則則1-3x1-3x0 0；0 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31

4、xx121當且僅當當且僅當 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法5 已知：已知：0 0 x x81 ，求函數(shù)，求函數(shù)y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：1210 0 xx811-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121maxy如此解答行嗎？如此解答行嗎？上題中只將條件改為上題中只將條件改為0 x1/8,即即:6例例、已知正數(shù)、已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值錯解錯解: :221221xyxy即xyyx2221242221

5、211xyyx即即 的最小值為的最小值為yx1124過程中兩次運用了過程中兩次運用了均值不等式中取均值不等式中取“=”=”號過渡，而這兩次取號過渡，而這兩次取“=”=”號的條件是不同的，號的條件是不同的，故結果錯。故結果錯。錯因：錯因：7已知正數(shù)已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值解解:223當且僅當當且僅當yxxy2即即:xy2時取時取“=”號號122yxxy而222221yx即此時即此時223minyyx11yyxxyx22yxxy23正確解答是正確解答是:8本題小結：本題小結：用均值不等式求最值時，要注意檢驗最值存在的用均值不等式求最值時

6、，要注意檢驗最值存在的充要條件，特別地，如果多次運用均值不等式求充要條件，特別地，如果多次運用均值不等式求最值，則要考慮多次最值，則要考慮多次“”（或者（或者“”）中?。┲腥　?”=”成立的諸條件是否相容。成立的諸條件是否相容。91 1、設、設 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,24、若，則函數(shù)的最小值是、若，則函數(shù)的最小值是_。1x11072xxxy2、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=x2(4-x2) (0 x2)的最大值是多少的最大值是多少4 410 某工廠第一年年產量為某工廠第一年年產量為A A，第二年的增長率為，第二年的增長率為P P，第三年的增長率為第

7、三年的增長率為 ，這兩年的平均增長率為，這兩年的平均增長率為 ，則（則（ ）qx2)(qpxA2)(qpxB2)(qpxC2)(qpxD11 44)sinxxx-xx3下列函數(shù)中,最小值是4的是( )A y=x+ B y=sinx+(0 xC y=e +4e D y=log x+4log 3 C C2、 函數(shù)函數(shù) 的最大值為的最大值為 . 3、建造一個容積為、建造一個容積為18m3, 深為深為2m的長方形無蓋水池，如果的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每池底和池壁每m2 的造價為的造價為200元和元和150元，那么池的最低造元，那么池的最低造價為價為 元元.21y xx1/2360012（）（）

8、各項或各因式為各項或各因式為正正（）（）和或積為和或積為定值定值（）（）各項或各因式能取得各項或各因式能取得相等的值相等的值，必要時作適當變形，必要時作適當變形，以滿足上述前提，即以滿足上述前提，即“一正二定三相等一正二定三相等”、二元均值不等式具有將、二元均值不等式具有將“和式和式”轉化為轉化為“積式積式”和將和將“積積式式”轉轉化為化為“和式和式”的的放縮功能放縮功能； 創(chuàng)設應用均值不等式的條件，創(chuàng)設應用均值不等式的條件，合理拆分項合理拆分項或或配湊因式配湊因式是常是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立使等號能夠成立；、應用均值不等式須注意以下三點：、應用均值不等式須注意以下三點：3、均值不等式在實際生活中應用時，也應注意取值范圍和能取到、均值不等式在實際生活中應用時，也應注意取值范圍和能取到等號的前提條件。等號的前提條件。131yxx題1 求函數(shù)的值域13,3xyxxx題2 若函數(shù)當 為何值時，函數(shù)有最大