北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模理科數(shù)學(xué)試卷解析版

1、2016年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模理科數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共8小題）1已知集合，則（   ）ABCD2復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（   ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（   ）A6B10C14D154已知非零向量，“”是“”的（   ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5同時(shí)具有性質(zhì):“最小正周期是；圖象關(guān)于直線對(duì)稱；在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)可以是（   ）ABCD6已知函數(shù)且的最大值為，則的取

2、值范圍是（   ）ABCD7某學(xué)校高三年級(jí)有兩個(gè)文科班，四個(gè)理科班，現(xiàn)每個(gè)班指定1人，對(duì)各班的衛(wèi)生進(jìn)行檢查若每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數(shù)是（   ）ABCD8已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是（   ）ABCD二、填空題（共6小題）9.雙曲線的漸近線方程是；若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則_10.如圖，為外一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，割線與相交于兩點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)若，則的長(zhǎng)為

3、_；的值是_11.已知等邊的邊長(zhǎng)為3，是邊上一點(diǎn)，若，則的值是_12.已知關(guān)于的不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_13.為了響應(yīng)政府推進(jìn)“菜籃子”工程建設(shè)的號(hào)召，某經(jīng)銷(xiāo)商投資60萬(wàn)元建了一個(gè)蔬菜生產(chǎn)基地.第一年支出各種費(fèi)用8萬(wàn)元，以后每年支出的費(fèi)用比上一年多2萬(wàn)元.每年銷(xiāo)售蔬菜的收入為26萬(wàn)元.設(shè)表示前年的純利潤(rùn)（=前年的總收入前年的總費(fèi)用支出投資額），則_（用表示）；從第_年開(kāi)始盈利.14.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，構(gòu)成等腰直角三角形，且，則線段長(zhǎng)的最大值是_三、解答題（共6小題）15.在中，角，的對(duì)邊分別是，已知，()求的值；（)若角為

4、銳角，求的值及的面積16.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映某區(qū)域道路網(wǎng)在某特定時(shí)段內(nèi)暢通或擁堵實(shí)際情況的概念性指數(shù)值交通指數(shù)范圍為，五個(gè)級(jí)別規(guī)定如下：某人在工作日上班出行每次經(jīng)過(guò)的路段都在同一個(gè)區(qū)域內(nèi)，他隨機(jī)記錄了上班的40個(gè)工作日早高峰時(shí)段(早晨7點(diǎn)至9點(diǎn))的交通指數(shù)(平均值)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如直方圖所示（）據(jù)此估計(jì)此人260個(gè)工作日中早高峰時(shí)段（早晨7點(diǎn)至9點(diǎn)）中度擁堵的天數(shù)；（）若此人早晨上班路上所用時(shí)間近似為：暢通時(shí)30分鐘，基本暢通時(shí)35分鐘，輕度擁堵時(shí)40分鐘，中度擁堵時(shí)50分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聲r(shí)70分鐘，以直方圖中各種路況的頻率作為每天遇到此種路況的概率，求此人上班路上所用時(shí)間的數(shù)

5、學(xué)期望17.如圖1，在等腰梯形中，為中點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)將沿折起到的位置，使得平面平面（如圖2）（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18.已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，若曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求的取值范圍19.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為（）求橢圓的離心率；（）若直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；（）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線20.已知集合，且若存在非空集合，使得，且，并，都有，則稱集合具有性質(zhì)，（）稱

6、為集合的子集（）當(dāng)時(shí)，試說(shuō)明集合具有性質(zhì)，并寫(xiě)出相應(yīng)的子集；（）若集合具有性質(zhì)，集合是集合的一個(gè)子集，設(shè)，求證：，都有；（）求證：對(duì)任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)答案部分1.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算試題解析：所以=。故答案為：A答案：A   2.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘除和乘方試題解析：則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限。故答案為：B答案：B   3.考點(diǎn)：算法和程序框圖試題解析：是；是；是；，否，則輸出的值為10.故答案為：B答案：B   4.考點(diǎn)：平面向量的幾何運(yùn)算試題解析：若，則=，則=（1+），故；反過(guò)來(lái)，若，則=，所以=-1），所以。所以“”是“”

7、的充要條件。故答案為：C答案：C   5.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)試題解析：故排除A；又圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)在處取得最值，故排除C；又，對(duì)B：，是減函數(shù)，故B錯(cuò)。故答案為：D答案：D   6.考點(diǎn)：分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)試題解析：因?yàn)楹瘮?shù)最大值為，且x-1所以時(shí)，且所以的取值范圍是。故答案為：A答案：A   7.考點(diǎn)：排列組合綜合應(yīng)用試題解析：故答案為：D答案：D   8.考點(diǎn)：平行柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征試題解析：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為：由棱的中點(diǎn)構(gòu)成的正六邊形，邊長(zhǎng)為，所以面積為故答案為：C答案：C

8、60; 9.考點(diǎn)：拋物線雙曲線試題解析：雙曲線：中，所以漸近線方程為:.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)（2，0）重合，所以故答案為：，答案：，   10.考點(diǎn)：圓相似三角形試題解析：由切割線定理有：所以PC=9，BC=8.又為線段的中點(diǎn)，所以DB=4，CD=4，所以故答案為：，16答案：，16   11.考點(diǎn)：數(shù)量積的應(yīng)用試題解析：故答案為：答案：6   12.考點(diǎn)：線性規(guī)劃試題解析：作可行域：由圖知：A(0，2)，B(1，1)虛線為y=2x-k，所以縱截距為-k.所以當(dāng)或即或時(shí)平面區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域。故答案為：答案： &

9、#160; 13.考點(diǎn)：函數(shù)模型及其應(yīng)用試題解析：由題知：令即>0，解得：所以從第5年開(kāi)始盈利.故答案為：，答案：，   14.考點(diǎn)：直線綜合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程試題解析：設(shè)B，C(x，y)，根據(jù)題意有：且整理得由（2）得：代入（1）得：（）整理得：即所以，因?yàn)閤>2，所以所以=9+4（）。令，所以m>0時(shí)，t有最小值，所以m<0.所以所以所以故答案為：答案：   15.考點(diǎn)：倍角公式余弦定理正弦定理試題解析：()因?yàn)椋?，所以因?yàn)椋烧叶ɡ?，?)由得由余弦定理，得解得或（舍負(fù)）所以答案：() ()  &

10、#160;16.考點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的分布列頻率分布表與直方圖試題解析：（）由已知可得：上班的40個(gè)工作日中早高峰時(shí)段中度擁堵的頻率為0.25，據(jù)此估計(jì)此人260個(gè)工作日早高峰時(shí)段（早晨7點(diǎn)至9點(diǎn)）中度擁堵的天數(shù)為260×0.25=65天.（）由題意可知的可能取值為且；所以答案：（）65天. （）46   17.考點(diǎn)：利用直線方向向量與平面法向量解決計(jì)算問(wèn)題空間的角平行垂直試題解析：（）如圖1，在等腰梯形中，由，為中點(diǎn)，所以為等邊三角形如圖2，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，所?#160;（）連結(jié)，由已知得，又為的中點(diǎn)，所以

11、由（）知平面，所以，所以兩兩垂直以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)?，易知所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即取，得設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為（）假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面設(shè)，因?yàn)?，所以易證四邊形為菱形，且，又由（）可知，所以平面所以為平面的一個(gè)法向量由，得所以側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且答案：（）如圖1，在等腰梯形中，由，為中點(diǎn)，所以為等邊三角形如圖2，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，所?#160;（） （）假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面設(shè)，因?yàn)?，所以易證四邊形為菱形，且，又由（）可知，所以平面所以為平面的一個(gè)法向量由，得所以

12、側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且   18.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)求最值和極值導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義試題解析：（）當(dāng)時(shí)，則，而所以曲線在點(diǎn)(1，)處的切線方程為，即（）依題意當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立設(shè)，所以（1）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，所以依題意應(yīng)有解得所以（2）若，即時(shí)，當(dāng)，為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)，為單調(diào)減函數(shù)由于，所以不合題意（3）當(dāng)，即時(shí)，注意到，顯然不合題意綜上所述，答案：（），即（）   19.考點(diǎn)：橢圓試題解析：（）依題意可知，所以橢圓離心率為（）因?yàn)橹本€與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，所以令，由得，則令，由得

13、，則所以的面積因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以所以即，則所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最小值為9分（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線時(shí)，易得，此時(shí)，因?yàn)椋匀c(diǎn)共線同理，當(dāng)直線時(shí)，三點(diǎn)共線當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以整理得解得所以點(diǎn)又因?yàn)椋宜运渣c(diǎn)三點(diǎn)共線綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線答案：（）橢圓離心率為 （）面積的最小值為 （）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)直線時(shí)，易得，此時(shí)， 因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線 同理，當(dāng)直線時(shí)，三點(diǎn)共線 當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱， 所以整理得 解得 所以點(diǎn) 又因?yàn)椋?所以所以點(diǎn)三點(diǎn)共線綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線   20.考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用試題解析：（）當(dāng)時(shí)，令，則，且對(duì)，都有，所以具有性質(zhì)相應(yīng)的子集為，（）若，由已知，又，所以所以若，可設(shè)，且，此時(shí)所以，且所以若，則，所以又因?yàn)?，所以所以所以綜上，對(duì)于，都有（）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）由（）可知當(dāng)時(shí)，命題成立，即集合具有性質(zhì)（2）假設(shè)()時(shí)，命題成立即，且，都有那么當(dāng)時(shí)，記，并構(gòu)造如下個(gè)集合：，顯然又因?yàn)?，所以下面證明中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一元素若兩個(gè)元素，則，所以若兩個(gè)元素都屬于，由（）可知，中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一數(shù)從而，時(shí)命題成立綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)答案：（）子集為， （）若，由已知，又，所以所以若，可設(shè)，且，此時(shí)