北京四中高一數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí)向量知識(shí)講解平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示提高人教A版必修4

1、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 編稿：丁會(huì)敏 審稿：王靜偉 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：平面向量基本定理1平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合.其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.這說(shuō)明如果且，那么.當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量

2、基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量.2如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫成任意兩個(gè)不供線的向量的線性組合（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問(wèn)題時(shí)，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過(guò)向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的（2）在解具體問(wèn)題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來(lái)表示選擇了不共線的兩個(gè)向量、 ，平面上的任何一個(gè)向量都可以用、 唯一表示

3、為=+，這樣幾何問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為只含有、 的代數(shù)運(yùn)算要點(diǎn)二：向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a與b，在平面上任取一點(diǎn)O，作a，b，則叫做a與b的夾角，記為a，b當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a與b的夾角；當(dāng)向量a與b共線時(shí)，若同向，則；若反向，則，綜上可知向量a與b的夾角當(dāng)向量a與b的夾角是，就說(shuō)a與b垂直，記作ab要點(diǎn)詮釋：（1）向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問(wèn)題（2）向量ab是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直要點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)表示1正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解要點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量e1、e2互相垂直

4、，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式2平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)把=叫做向量的坐標(biāo)表示給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系

5、要點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來(lái)相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同比如，若，則；若，則，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量要點(diǎn)四：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn) 算坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)實(shí)數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=(x，y)2如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量

6、用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)但同時(shí)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長(zhǎng)度是一樣的（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置

7、無(wú)關(guān)要點(diǎn)五：平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示1平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要點(diǎn)詮釋：若，則不能表示成因?yàn)榉帜赣锌赡転?.2.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若則A，B，C三點(diǎn)共線.【典型例題】類型一：平面向量基本定理【高清課堂：平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算394885 例1】例1如圖，在中，是中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)，試用基底表示：（1）；（2）；（3）.【解析】（1） = = = =（2）=（3）在中，取同

8、理：是的中點(diǎn) =【總結(jié)升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊形法則結(jié)合實(shí)數(shù)與向量的積的定義，解題時(shí)要注意解題途徑的優(yōu)化與組合舉一反三：【變式1】ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.G【思路點(diǎn)撥】選取，作為基底，構(gòu)造在此基底下的兩種不同的表達(dá)形式.再根據(jù)相同基底的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得實(shí)數(shù)方程組求解.【解析】設(shè)又 又而比較，由平面向量基本定理得：解得：或（舍） ，把代入得：.例2如圖，在OAB中，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)，試以a，b為基底表示【思路點(diǎn)撥】直接利用、表示比較困難，可以先設(shè)，再根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)尋找出的兩個(gè)方程，聯(lián)立方程組，解之即得【解析】設(shè)（m，nR），

9、則，A、M、D三點(diǎn)共線，即m+2n=1 而，C、M、B三點(diǎn)共線，即4m+n=1 由，解得，【總結(jié)升華】 （1）充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點(diǎn)共線，注重方程思想的應(yīng)用；（2）用基底表示向量也是運(yùn)用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)根據(jù)條件靈活應(yīng)用，熟練掌握 舉一反三：【變式1】如圖所示，在ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)，試用基底a，b表示向量【解析】易得，由N、E、B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)m，滿足 由C、E、M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n，滿足所以即，解得，即類型二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問(wèn)題例3設(shè)、是三個(gè)有共同起點(diǎn)的不共線向量，求證：它們的終點(diǎn)A、B、P共線，當(dāng)且僅當(dāng)

10、存在實(shí)數(shù)m、n使m+n=1且【思路點(diǎn)撥】本題包含兩個(gè)問(wèn)題：（1）A、B、P共線m+n=1，且成立；（2）上述條件成立A、B、P三點(diǎn)共線【證明】（1）由三點(diǎn)共線m、n滿足的條件若A、B、P三點(diǎn)共線，則與共線，由向量共線的條件知存在實(shí)數(shù)使，即，令，n=，則且m+n=1（2）由m、n滿足m+n=1A、B、P三點(diǎn)共線若且m+n=1，則則，即與共線，A、B、P三點(diǎn)共線由（1）（2）可知，原命題是成立的【總結(jié)升華】 本例題的結(jié)論在做選擇題和填空題時(shí)，可作為定理使用，這也是證明三點(diǎn)共線的方法之一舉一反三：【變式1】設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，如果，求證：A，C，D三點(diǎn)共線【解析】 因?yàn)?，所以與共線類型三

11、：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知，且求M、N及的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可設(shè)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后利用已知的兩個(gè)關(guān)系式，列方程組，求出坐標(biāo).【解析】 設(shè)，則同理可求，因此【總結(jié)升華】向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式，它只與起點(diǎn)、終點(diǎn)、相對(duì)位置有關(guān)，三者中給出任意兩個(gè)，可求第三個(gè).在求解時(shí)，應(yīng)將向量坐標(biāo)看做一“整體”，運(yùn)用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量中最常用也是最基本的運(yùn)算，必須熟練掌握.舉一反三：【變式1】 已知點(diǎn)以及求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為，由題意得因?yàn)椋杂泻?，解得和所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(-2，0)，從而類型四：平面向量平行的坐標(biāo)表示

12、例5. 平面內(nèi)給定三個(gè)向量(1)若求實(shí)數(shù)k；(2)設(shè)滿足且求.【思路點(diǎn)撥】(1)由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程，從而求出實(shí)數(shù)k的值；(2)由兩向量平行及得出關(guān)于x，y的兩個(gè)方程，解方程即可得出x，y的值，從而求出.【解析】(1)(2)又且【總結(jié)升華】(1)與平行有關(guān)的問(wèn)題，一般可以考慮運(yùn)用向量平行的充要條件，用待定系數(shù)法求解；(2)向量共線定理的坐標(biāo)表示提供了代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決向量共線的方法，也為點(diǎn)共線、線平行問(wèn)題的處理提供了簡(jiǎn)單易行的方法. 舉一反三：【變式1】向量，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？【解析】 ，A、B、C三點(diǎn)共線，即(k4)(12k)(k10)×7=0整理，得k2

13、9k22=0解得k1=2或k2=11當(dāng)k=2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線【總結(jié)升華】以上方法是用了A、B、C三點(diǎn)共線即公共點(diǎn)的兩個(gè)向量，共線，本題還可以利用A、B、C三點(diǎn)共線或，即得k=2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線【變式2】已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）若為實(shí)數(shù)，（a+b）c，則=（ ）A B C1 D2【答案】B【高清課堂：平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算394885 例4】例6如圖，已知點(diǎn)A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)【解析】方法一：由O、P、B三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，由與共線得(44)×64×(2)=0，解得，所以所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）方法二：設(shè)P（x，y），則，因?yàn)?，且與共線，所以，即x=y又，且與共線，則得(x4)×6y×(2)=0，解得x=y=3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）【總結(jié)升華】（1）平面向量的坐標(biāo)表示，使向量問(wèn)題完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)，這樣很多幾何問(wèn)題的證明，就轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)量運(yùn)算（2）要注意把向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開來(lái)，只有當(dāng)始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等舉一反三：【變式1】如圖，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6