函數(shù)奇偶性性質(zhì)應(yīng)用

1、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用一、利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性1 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反2 奇函數(shù)、偶函數(shù)的單調(diào)性的對(duì)稱規(guī)律在不同區(qū)間內(nèi)的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較大小中作用很大對(duì)于偶函數(shù)，如果兩個(gè)自變量在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間上，即自變量的正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對(duì)稱性將自變量化歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷例若奇函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在b，a上是增函數(shù)，且有最小值M.例若偶函數(shù)f(x)在(，0)上是減函數(shù)，則f(x)在(0，)上是增函數(shù)例 如果f(x)是R上的奇函數(shù)，且在3,6上有最

2、大值4，最小值2，那么函數(shù)f(x)在6，3上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，聯(lián)想圖象可知函數(shù)f(x)在6，3上的最大值為2，最小值為4.例若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù)，且f(1)<f(2)，則必有()Af(1)<f(2) Bf(1)>f(2)Cf(1)f(1) Df(2)f(1)解析：f(1)<f(2)，f(1)>f(2)又已知f(x)是奇函數(shù)，f(1)>f(2)答案：B例 函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù)，圖象必過點(diǎn)A （a, f(a) B（-a, f(a) C（a, f(a)D（-a, f(a)例設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在

3、0，)上單調(diào)遞增，則f(2)，f()，f(3)的大小順序是_解析：f(x)是R上的偶函數(shù)，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上遞增，而2<3<，f()>f(3)>f(2)，即f()>f(3)>f(2)答案：f()>f(3)>f(2)例函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是()Af(2)>f(0)>f(1)Bf(2)>f(1)>f(0)Cf(1)>f(0)>f(2)Df(1)>f(2)>f(0)解析：f(x)是R上的偶函數(shù)，f(2)f(2)，又f(x)在0

4、，)上遞增，f(2)>f(1)>f(0)答案：B例已知函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上是奇函數(shù)，在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)<f(1)，則()Af(1)<f(3)Bf(0)>f(1)Cf(1)<f(1) Df(3)>f(5)思路分析：要比較各函數(shù)值的大小，需判斷函數(shù)在區(qū)間5,5上的單調(diào)性，根據(jù)題意，應(yīng)首先判斷函數(shù)在區(qū)間0,5上的單調(diào)性解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函數(shù)在區(qū)間0,5上是減函數(shù)由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上是減函數(shù)選項(xiàng)A中，3<1，故f(3)>

5、f(1)選項(xiàng)B中，0>1，故f(0)<f(1)同理選項(xiàng)C中f(1)>f(1)，選項(xiàng)D中f(3)<f(5)答案：A例設(shè)f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)若x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，則()Af(x1)f(x2)f(x3)>0Bf(x1)f(x2)f(x3)<0Cf(x1)f(x2)f(x3)0Df(x1)f(x2)>f(x3)解析：利用減函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)判斷x1x2>0，x1>x2.又f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，f(x1)<f(x2)f(x1)f(x2)<0.同理，可得f(x2)f(x

6、3)<0，f(x1)f(x2)<0.2f(x1)2f(x2)2f(x3)<0.f(x1)f(x2)f(x3)<0.答案：B例（2009年陜西文科卷）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有則 （ ）A 答案：A例定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)·f(x2)f(x1)>0.則當(dāng)nN時(shí)，有()Af(n)<f(n1)<f(n1)Bf(n1)<f(n)<f(n1)Cf(n1)<f(n)<f(n1) Df(n1)<f(n1)<f(n)思路分析：先判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)

7、性，再轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)判斷函數(shù)值的大小關(guān)系解析：由(x2x1)f(x2)f(x1)>0得f(x)在x(，0為增函數(shù)又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在x0，)為減函數(shù)又f(n)f(n)且0n1<n<n1，f(n1)<f(n)<f(n1)，即f(n1)<f(n)<f(n1)答案：C例若y(a1)x22ax3為偶函數(shù)，則在(，3內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為_解析：a0，yx23結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性知答案：增區(qū)間(，0)，減區(qū)間0,3例 定義在區(qū)間(，)上的奇函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間0，)上的圖象與的圖象重合，設(shè)0，給出下列不等式： （1）f()f()g()g()

8、； （2）f()f()g()g()； （3）f()f()g()g()； （4）f()f()g()g() 其中成立的是（ ） A (1)與(4) B (2)與(3) C (1)與(3) D (2)與(4) 解析：根據(jù)函數(shù)、的奇偶性將四個(gè)不等式化簡(jiǎn)，得： （1）f()f()g()g()； （2）f()f()g()g()； （3）f()f()g()g()； （4）f()f()g()g() 再由題義，有 顯然（1）、（3）正確，故選C【技巧提示】具有奇偶性的函數(shù)可以根據(jù)某個(gè)區(qū)間的單調(diào)性判定其對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，因而往往與不等式聯(lián)系緊密二. 求函數(shù)的函數(shù)值和函數(shù)解析式此類問題的一般解法是：(1)“求誰

9、則設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入(3)利用f(x)的奇偶性寫出f(x)或f(x)，從而解出f(x)例已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)0的所有實(shí)根之和是()A4B2C1D0思路分析：以偶函數(shù)的圖象特征進(jìn)行判斷解析：偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x)與x軸的四個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱因此，若一根為x1，則它關(guān)于y軸對(duì)稱的根為x1；若一根為x2，則它關(guān)于y軸對(duì)稱的根為x2，故f(x)0的四根之和為x1(x1)x2(x2)0.應(yīng)選D.例已知是偶函數(shù)，且定義域?yàn)?，則例.已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_。 例. 設(shè)（其

10、中a,b,c為常數(shù)），且，試求f(2)的值。 解：設(shè)，易證g(x)是奇函數(shù)，故 于是 兩式相加得：，即例：已知且，那么例.已知f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x32x3，求f(x)在x<0時(shí)的解析式解：f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，x<0，x>0，f(x)(x)32(x)3x32x3.f(x)x32x3(x<0)例.已知函數(shù)f(x)在（0,+）上的解析式是f(x)=2x+1，根據(jù)下列條件求函數(shù)在（-，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函數(shù)；（2）f(x)是奇函數(shù). 例 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，。試求此函數(shù)的解析式。 解：（1

11、）當(dāng)x0時(shí)，于是； （2）當(dāng)x<0時(shí)，則，由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則 此函數(shù)的解析式為 例已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)畫出f(x)的圖象，并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間解(2)先畫出yf(x)(x>0)的圖象，利用奇函數(shù)的對(duì)稱性可得到相應(yīng)yf(x)(x<0)的圖象，其圖象如下圖所示由圖可知，其增區(qū)間為1,0)及(0,1，減區(qū)間為(，1及1，)例已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x|x2|，求x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式解：x<0，則x>0，f(x)(x)|(x)2|.又

12、f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)(x)|(x)2|x|x2|.故當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x|x2|. 于原點(diǎn)對(duì)稱，已知f(a)求f(a)，可嘗試?yán)煤瘮?shù)的奇偶性 f(x)u(x)1，f(x)u(x)1， f(x)f(x)u(x)u(x)2 u(x)是奇函數(shù)，u(x)u(x)0， f(x)f(x)2，則 例. 設(shè)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，求f(x)的表示式。 解：f(x)是奇函數(shù)，有；g(x)是偶函數(shù)，有，則 即 兩式相減得例 設(shè)x(1，1)，f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)g(x)2lg(1x)，求10f(x)和10g(x)的表達(dá)式 解：法一：與上例同法二：x(1

13、，1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)是偶函數(shù)f(x)f(x)，g(x)是奇函數(shù)g(x)g(x)，設(shè)f(x)g(x)2lg(1x)F(x)，則F(x)2lg(1x)，而F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)， 2f(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x) 2lg(1x2) 又2g(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x)三. 解不等式例若函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，又在(0，)上單調(diào)遞增，且f(3)0，則不等式x·f(x)<0的解集是_解析：f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，則f(x)的簡(jiǎn)圖如右圖所示當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，則x(3,0)；當(dāng)x

14、>0時(shí)，f(x)<0，則x(0,3)答案：(3,0)(0,3) 例. （2004年上海卷）設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域是-5，5。當(dāng)時(shí)，f(x)的圖象如圖1，則不等式f(x)<0的解是_。圖1 解：根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的性質(zhì)，畫出函數(shù)在區(qū)間-5，5上的圖象如圖2，易知不等式的解是。圖2四. 函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用題解決有關(guān)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及求字母取值范圍的綜合問題時(shí)，一般先利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題需要注意的是：在轉(zhuǎn)化時(shí)，自變量必須在同一單調(diào)區(qū)間上；當(dāng)不等式一邊沒有符號(hào)“f”時(shí)，需轉(zhuǎn)化為含符號(hào)“f”

15、的形式例已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，若f(m)f(2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且在0，)上是增函數(shù)，所以f(x)在(，0)上是減函數(shù)當(dāng)m<0時(shí)，由f(m)f(2)，知m2；當(dāng)m0時(shí)，由f(m)f(2)，f(2)f(2)，可得f(m)f(2)，知m2.故所求的m的取值范圍為(，22，)例 函數(shù)f(x)是奇函數(shù)（x 0），當(dāng)x （0，+）時(shí)是增函數(shù)，若=0，求不等式0的解集。思路分析：由f(x)的奇偶性及函數(shù)在(0，)上的單調(diào)性，不難得出f(x)在(，0)上的單調(diào)性再將不等式兩邊化為函數(shù)值的形式，利用單調(diào)性便可脫去函

16、數(shù)記號(hào)“f”，于是問題轉(zhuǎn)化為解不等式答案 例 偶函數(shù)在定義域?yàn)镽，且在（，0上單調(diào)遞減，求滿足 的的集合解析：偶函數(shù)在（，0上單調(diào)遞減，在0，）上單調(diào)遞增根據(jù)圖象的對(duì)稱性，等價(jià)于解之，滿足條件的的集合為（1，）例 yf(x)是定義在(1，1)上的偶函數(shù)，且f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，若f(a2)f(4a2)0，試確定a的取值范圍 解 因f(x)是定義在(1，1)上的偶函數(shù)，故它在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間(0，1)和(1，0)上具有相反的單調(diào)性而f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，于是f(x)在(1，0)上為減函數(shù)，且f(4a2)f(a24) 根據(jù)已知f(a2)f(4a2)f(a24)，考慮幾種情況： (1)當(dāng)a2和a24都在(0，1)上時(shí)，有 (2)當(dāng)a2和a24都在(1，0)上時(shí)，有 (3)當(dāng)a2和a24分別在(1，0)、(0，1)或(0，1)、(1，0)時(shí)，相應(yīng)的不等式組無解例 f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，對(duì)任意a、b1,1，當(dāng)ab0時(shí)，都有>0.(1)若a>b，試比較f(a)與f(b)的大小；(2)解不等式f(x)<f(2x)解：(1)若a>b，則ab>0，依題意有>0成立，f(a)f(b)>0.又f(x)是奇函數(shù)，f(a)f(b)>0，即f(a)>f(b)(2)由(1)可知f(x)在1,1上是增函數(shù)則所求不等式