山西省大同市高三模擬考試數(shù)學(xué)文

1、2020屆山西省大同市高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）(滿分150分，答題時(shí)間120分鐘) 第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)，則（ ）A B C D2. 已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）A B C D3. 已知，則（ ）A B C D 4. 2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給 當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強(qiáng)”、“興國之路”，為了弄清“國富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的，村支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下:

2、小明說:“鴻福齊天”是我制作的；小紅說:“國富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說:“興國之路”不是我制作的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（ ）A小明 B小紅 C. 小金 D小金或小明5. 函數(shù)在上的圖像大致為（ ）A B C. D6. 為了了解公司名員工對公司食堂組建的需求程度，將這些員工編號為，對這些員工使用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取人征求意見，有下述三個(gè)結(jié)論:若號員工被抽到，則號員工也會(huì)被抽到；若號員工被抽到，則到號的員工中被抽取了人；若號員工未被抽到，則號員工一定未被抽到.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）A B C. D7. 已知向量，若，則與夾角的余弦值為（

3、 ）A B C. D8. 若，則（ ）A B C. D9. 框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.實(shí)際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決.例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入，則圖中空白框中應(yīng)填入（ ）A B C. D10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn).若線段與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，且的面積是的倍，則雙曲線的離心率為（ ）A B C. D11. 在中，角所對的邊分別為.若時(shí)，則的面積為（ ）A B C. D12. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，在橢圓上，其中，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）A B C. D 第卷

4、（非選擇題， 共90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分13. 曲線在處的切線方程為 14. 設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 15. 函數(shù)在上的值域?yàn)?16. 已知四棱錐中的外接球的體積為，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)在球的表面上運(yùn)動(dòng)，則四棱錐體積的最大值為 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示. 求的值；求地區(qū)家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)以及中位數(shù)；不經(jīng)過計(jì)算，直接給出地區(qū)家實(shí)體店經(jīng)濟(jì)損

5、失的平均數(shù)與的大小關(guān)系.18. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最小正整數(shù)的值. 19. 四棱錐如圖所示，其中四邊形是直角梯形，平面與交于點(diǎn)，直線與平面所成角的余弦值為，點(diǎn)在線段上.若直線平面，求的值；若，求點(diǎn)到平面的距離.20. 已知函數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；若，求證:當(dāng)時(shí)，21. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上.若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率；若三點(diǎn)共線，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑，把答案填在答題卡上。22.

6、 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積.23.選修4-5：不等式選講已知.求證:.若，求證:.文科數(shù)學(xué)參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1.【答案】【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】依題意，故，故選.2. 【答案】【命題意圖】本題考查集合的表示、集合的運(yùn)算，考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】依題意，則，故，則的元素個(gè)數(shù)為，故選

7、.3【答案】【命題意圖】本題考查指對數(shù)的大小比較，考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】依題意，故選.4. 【答案】【命題意圖】本題考查推理與證明，考查推理論證能力以及分類討論思想.【解析】依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示:鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則滿足；若小金的說法正確，則滿足.故天“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選.5. 【答案】【命題意圖】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】依題意，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，排除；而，排除，

8、排除.故選.6. 【答案】【命題意圖】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查數(shù)學(xué)建模能力以及必然與或然思想.【解析】依題意，將這人分為組，每組人，即分段間隔為；因?yàn)?，故正確；若號員工被抽到，則到號的員工中被抽取的號碼為.共計(jì)人，故錯(cuò)誤；若號員工未被抽到，則號員工可能被抽到，故錯(cuò)誤.故選.7. 【答案】【命題意圖】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】依題意，而，即，解得，則，故選.8. 【答案】【命題意圖】本題考查誘導(dǎo)公式、兩角差的正切公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】，故選.9. 【答案】【命題意圖】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及

9、化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】程序框圖是為了計(jì)算個(gè)數(shù)的方差，即輸出的，觀察可知，選.10. 【答案】【命題意圖】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】不妨設(shè)即為雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，故，因?yàn)榈拿娣e是的倍，故，不妨設(shè)，則直線，故.而，則，則.即，故，故選.11. 【答案】【命題意圖】本題考查解三角形，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】因?yàn)?，且，解得，而，所以，故因?yàn)?，故，故，故選.12. 【答案】【命題意圖】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】設(shè)，由知，由在橢圓上，可知四邊形為矩形，； 由，可得由橢圓的定義可得，平方相減可

10、得，所以，而，即，由，可得，由，可得.所以，所以，故選二、填空題13. 【答案】【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】依題意，故.故所求切線方程為. 14. 【答案】【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】記數(shù)列的公比為，顯然，則，解得；而，故，故，解得，故 15. 【答案】【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】依題意，當(dāng)時(shí)， 故，故 16. 【答案】【命題意圖】本題考查組合體與球，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】依題意，將四棱錐補(bǔ)成長方體，可

11、知外接球的直徑為長方體的體對角線，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，且，由于，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，要使得四棱錐的體積最大，只需點(diǎn)為平面的中心與球心所在的直線與球的交點(diǎn)，又，故體積的最大值為.三、解答題17.【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想.【解析】依題意.，解得.由圖可知，地區(qū)家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)為，第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故所求中位數(shù)在之間，故所求中位數(shù)為18. 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想. 【解析】記數(shù)列的公差為，故，

12、 故，依題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以19. 【命題意圖】本題考查空間線面的位置關(guān)系、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想.【解析】連接.因?yàn)?，故設(shè)，得因?yàn)槠矫?，平面平面平面，故，故在平面?nèi)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，又，得平?.因?yàn)槠矫妫?又，所以平面.因?yàn)橹本€與平面所成角的余弦值為即又，故則，而，得，即點(diǎn)到平面的距離為20. 【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想.【解析】依題意，令，則，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故，故在上恒成立，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.依題意，下面證明:當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；事實(shí)上，則，所以在上單調(diào)遞增，故，則，又，則令，則由，得的極小值點(diǎn)為.若.則則，故，若，即，則在上單調(diào)遞減.故.綜上所述，當(dāng)時(shí)，則，21. 【命題意圖】本題考查直線與橢圓的關(guān)系、基本不等式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】設(shè).則，兩式相減，可得即解得，即直線的斜率為顯然直線的斜率不為，設(shè)直線，聯(lián)立，消去整理得，顯然，故故的面積令，其中22. 【命題意圖】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、