極坐標(biāo)和參數(shù)方程基礎(chǔ)知識及重點(diǎn)題型

1、高中數(shù)學(xué)回歸課本校本教材24 （一）基礎(chǔ)知識 參數(shù)極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)定義：M是平面上一點(diǎn)，表示OM的長度，是，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對,叫極徑，叫極角；一般地，。2.常見的曲線的極坐標(biāo)方程（1）直線過點(diǎn)M,傾斜角為常見的等量關(guān)系：正弦定理，；（2）圓心P半徑為R的極坐標(biāo)方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理；（3）圓錐曲線極坐標(biāo)：，當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，方程表示拋物線；當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓.提醒：極點(diǎn)是焦點(diǎn)，一般不是直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)原點(diǎn)。極坐標(biāo)方程表示的曲線是 雙曲線3.參數(shù)方程：（1）圓的參數(shù)方程： （2）橢圓的參數(shù)方程：（3）直線過點(diǎn)M,傾斜角為的參數(shù)方程：即，即注：，據(jù)銳角三角函數(shù)定義，T幾何意義

2、是有向線段的數(shù)量；如：將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為 將代入即可，但是；4. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式： 或，的象限由點(diǎn)(x,y)所在象限確定.（1）它們互化的條件則是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合. （2）將點(diǎn)變成直角坐標(biāo)，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5. 極坐標(biāo)的幾個(gè)注意點(diǎn)：（1）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)(極點(diǎn)) 如：已知圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過點(diǎn)的圓的切線的極坐標(biāo)方程。如：已知拋物線，以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求拋物線的極坐標(biāo)方程。即。（2）對極坐

3、標(biāo)中的極徑和參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義認(rèn)識不足如：已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長相等？ （3）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)一般不要混合使用：如：已知某曲線的極坐標(biāo)方程為。（1）將上述曲線方程化為普通方程；（2）若點(diǎn)是該曲線上任意點(diǎn)，求的取值范圍。（二）基本計(jì)算1.求點(diǎn)的極坐標(biāo)：有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對,叫極徑，叫極角；如：點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為 提示：都是點(diǎn)的極坐標(biāo).2. 求曲線軌跡的方程步驟： （1）建立坐標(biāo)系；（2）在曲線上取一點(diǎn)P；（3）寫出等式；（4）根據(jù)幾何意義用表示上述等式，并化簡（注意：）；（5）驗(yàn)證。如：長為的線段，

4、其端點(diǎn)在軸和軸正方向上滑動(dòng)，從原點(diǎn)作這條線段的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程（軸為極軸），再化為直角坐標(biāo)方程.解：設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，且，點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為.由可得， 其直角坐標(biāo)方程為.3.求軌跡方程的常用方法：直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡最基本的方法.待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回方程代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法). 如：從極點(diǎn)作圓的弦,求各弦中點(diǎn)的軌跡方程.解:設(shè)所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,圓上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為由題設(shè)可知,將其代入圓的方程得:.定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足某已知曲線定義,則可由曲線定義直接寫出方程.交軌法

5、(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.4.參數(shù)和極徑的幾何意義的運(yùn)用：表示OM的長度；T幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：已知過點(diǎn)的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于A B兩點(diǎn)，則AB最小值為 提示：設(shè)傾斜角為，則或AB=，則， 令，所以，注意：本題可以取傾斜角的補(bǔ)角為 如 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長度.解：對此拋物線有，所以拋物線的極坐標(biāo)方程為，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和， ， .線段的長度為16.5.參數(shù)方程的應(yīng)用-求最值： 如：已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，（1）求的取值范圍；

6、（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。.（2） .如：在橢圓上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線的距離的最小值.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為， 當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)所求點(diǎn)為.C.選修4 4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合。若曲線C1的方程為，曲線C2的方程為。（1）將C1的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若C2上的點(diǎn)Q對應(yīng)的參數(shù)為，P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值。提示：（1）（2）當(dāng)時(shí)，得，點(diǎn)到的圓心的距離為(圖)xBAOP，所以的最小值為 在極坐標(biāo)系中，求經(jīng)過三點(diǎn)O(0，0)，A(2，)，B(，)的圓的極坐標(biāo)方程解：設(shè)是所求圓上的任意一點(diǎn)，則， 故所求的圓的極坐標(biāo)方程為 已

7、知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合.若直線的極坐標(biāo)方程為.（1）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程；（2）已知為橢圓上一點(diǎn)（已知曲線C的參數(shù)方程為，）求到直線的距離的最大值.解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程，則，即，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為； （2）P為橢圓上一點(diǎn)，設(shè)，其中，則P到直線l的距離，其中所以當(dāng)時(shí)，的最大值為 在極坐標(biāo)系中，圓的方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），判斷直線和圓的位置關(guān)系解：消去參數(shù)，得直線的直角坐標(biāo)方程為； 即，兩邊同乘以得，得的直角坐標(biāo)方程為：, 圓心到直線的距離，所以直線和相交已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)