極限與導(dǎo)數(shù)的概念

1、極限是微積分的基石一、實(shí)例引入：例：戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的莊子·天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币簿褪钦f一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去。（1）求第天剩余的木棒長(zhǎng)度(尺)，并分析變化趨勢(shì)；（2）求前天截下的木棒的總長(zhǎng)度(尺)，并分析變化趨勢(shì)。觀察以上兩個(gè)數(shù)列都具有這樣的特點(diǎn)：當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)A（即無限趨近于0）。無限趨近于常數(shù)A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能達(dá)到我們所希望的那么近?！奔础皠?dòng)點(diǎn)到A的距離可以任意小。二、新課講授1、數(shù)列極限的定義： 一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限

2、增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)A（即無限趨近于0），那么就說數(shù)列的極限是A，記作 注：上式讀作“當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，的極限等于A”。“”表示“趨向于無窮大”，即無限增大的意思。有時(shí)也記作當(dāng)時(shí)，A引例中的兩個(gè)數(shù)列的極限可分別表示為_，_思考：是否所有的無窮數(shù)列都有極限？例1：判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，寫出極限；若沒有，說明理由 （1）1， ；（2），；（3）2，2，2，2，；（4）0.1，0.01，0.001，；（5）1,1，1，； 注：幾個(gè)重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3）無窮等比數(shù)列（）的極限是0，即 ：2、當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限Oyx （1） 畫出函數(shù)的圖像，觀察當(dāng)自變量取正

3、值且無限增大時(shí)，函數(shù)值的變化情況：函數(shù)值無限趨近于0，這時(shí)就說，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是0，記作： 一般地，當(dāng)自變量取正值且無限增大時(shí)，如果函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作：也可以記作，當(dāng)時(shí)， （2）從圖中還可以看出，當(dāng)自變量取負(fù)值而無限增大時(shí)，函數(shù)的值無限趨近于0，這時(shí)就說，當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是0，記作：一般地，當(dāng)自變量取負(fù)值而無限增大時(shí)，如果函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作：也可以記作，當(dāng)時(shí)， （3）從上面的討論可以知道，當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)的值都無限趨近于0，這時(shí)就說，當(dāng)趨

4、向于無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是0，記作一般地，當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，如果函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作：也可以記作，當(dāng)時(shí)，特例：對(duì)于函數(shù)（是常數(shù)），當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)的值保持不變，所以當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)的極限就是，即 例2：判斷下列函數(shù)的極限： （1） （2） （3） （4）三、練習(xí)與作業(yè)1、判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，寫出極限 （1）1， ；（2）7，7，7，7，； （3）； （4）2，4，6，8，2n，； （5）0.1，0.01，0.001，； （6）0，； （7），； （8），； （9）2,0，2，,， 2、判斷下列函數(shù)的極

5、限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）一、引入：一些簡(jiǎn)單函數(shù)可從變化趨勢(shì)找出它們的極限，如.若求極限的函數(shù)比較復(fù)雜，就要分析已知函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過怎樣的運(yùn)算結(jié)合而成的，已知函數(shù)的極限與這些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限有什么關(guān)系，這樣就能把復(fù)雜函數(shù)的極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的極限的計(jì)算. 對(duì)于函數(shù)極限有如下的運(yùn)算法則：如果，那么也就是說，如果兩個(gè)函數(shù)都有極限，那么這兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限，分別等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0）.說明：當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時(shí)，這些法則對(duì)于的情況仍然適用.三 典例剖析例1 求例2 求例3 求分析

6、：當(dāng)時(shí)，分母的極限是0，不能直接運(yùn)用上面的極限運(yùn)用法則.注意函數(shù)在定義域內(nèi)，可以將分子、分母約去公因式后變成，由此即可求出函數(shù)的極限.例4 求分析：當(dāng)時(shí)，分子、分母都沒有極限，不能直接運(yùn)用上面的商的極限運(yùn)算法則.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有極限，就可以用商的極限運(yùn)用法則計(jì)算。總結(jié)：例5 求分析：同例4一樣，不能直接用法則求極限. 如果分子、分母都除以，就可以運(yùn)用法則計(jì)算了。三、練習(xí)（利用函數(shù)的極限法則求下列函數(shù)極限） （1）； （2） （3）； （4） （5） （6） （7） （8）一、復(fù)習(xí)引入：函數(shù)極限的運(yùn)算法則：如果則，（B）二、新授課：數(shù)列極限的運(yùn)算法則與函數(shù)極限的運(yùn)算法

7、則類似：如果那么推廣：上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情況。例如，若，有極限，則：特別地，如果C是常數(shù)，那么二.例題： 例1.已知，求例2.求下列極限：（1）；（2）例3.求下列有限：（1）（2）分析：（1）（2）當(dāng)無限增大時(shí)，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用。例4.求下列極限：（1） （2）說明：1.數(shù)列極限的運(yùn)算法則成立的前提的條件是：數(shù)列的極限都是存在，在進(jìn)行極限運(yùn)算時(shí)，要特別注意這一點(diǎn)。 當(dāng)無限增大時(shí)，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用。2.有限個(gè)數(shù)列的和（積）的極限等于這些數(shù)列的極限的和（積

8、）。3.兩個(gè)（或幾個(gè)）函數(shù)（或數(shù)列）的極限至少有一個(gè)不存在，但它們的和、差、積、商的極限不一定不存在。小結(jié)：在數(shù)列的極限都是存在的前提下，才能運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；數(shù)列極限的運(yùn)算法則是對(duì)有限的數(shù)列是成立的。練習(xí)與作業(yè)：1.已知，求下列極限（1）；（2）3.求下列極限（1）；（2）；（3）；（4）。4.求下列極限: (1). (2).(3). （4）（5） （6）.已知求無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是_2、設(shè)AB是長(zhǎng)為1的一條線段，等分AB得到分點(diǎn)A1，再等分線段A1B得到分點(diǎn)A2，如此無限繼續(xù)下去，線段AA1，A1A2，An1An，的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列 可以看到，隨著分點(diǎn)

9、的增多，點(diǎn)An越來越接近點(diǎn)B，由此可以猜想，當(dāng)n無窮大時(shí)，AA1+A1A2+ An1An 的極限是_.下面來驗(yàn)證猜想的正確性，并加以推廣1、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和：公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和. 設(shè)無窮等比數(shù)列的公比的絕對(duì)值小于1，則其各項(xiàng)的和S為 例1、求無窮等比數(shù)列 0.3， 0.03， 0.003， 各項(xiàng)的和.例2、將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù).練習(xí)1、求下列無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和：（1） （2）2、化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)：（1）（2） （3）3、如圖，等邊三角形ABC的面積等于1，連結(jié)這個(gè)三角形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)小三角形，又連結(jié)這個(gè)小三角

10、形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)更小的三角形，如此無限繼續(xù)下去，求所有這些三角形的面積的和.4、如圖，三角形的一條底邊是a ,這條邊上的高是h（1）過高的5等分點(diǎn)分別作底邊的平行線，并作出相應(yīng)的4個(gè)矩形，求這些矩形面積的和（2）把高n等分，同樣作出n1個(gè)矩形，求這些矩形面積的和；（3）求證：當(dāng)n無限增大時(shí)，這些矩形面積的和的極限等于三角形的面積ah/21.瞬時(shí)速度問題1：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是ss（t），則物體在t到（t）這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為.如果無限趨近于0時(shí)，無限趨近于某個(gè)常數(shù)a，就說當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限為a，這時(shí)a就是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度.2.切

11、線的斜率問題2：P（1,1）是曲線上的一點(diǎn)，Q是曲線上點(diǎn)P附近的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P趨近時(shí)割線PQ的斜率的變化情況.一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線C，P（），Q（）是曲線C上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P，即趨向于0時(shí)，如果割線PQ無限趨近于一個(gè)極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，割線PQ的斜率無限趨近于切線PT的斜率k，也就是說，當(dāng)趨向于0時(shí)，割線PQ的斜率的極限為k.3.邊際成本問題3：設(shè)成本為C，產(chǎn)量為q，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，一般地，設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為CC（q），當(dāng)產(chǎn)量為

12、時(shí)，產(chǎn)量變化對(duì)成本的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際成本.它表明當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，增加單位產(chǎn)量需付出成本A（這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值）.瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)趨近于0時(shí)的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率當(dāng)趨近于0時(shí)的極限；邊際成本是平均成本當(dāng)趨近于0時(shí)的極限.我們討論了瞬時(shí)速度、切線的斜率和邊際成本。雖然它們的實(shí)際意義不同，但從函數(shù)角度來看，卻是相同的，都是研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限。由此我們引出下面導(dǎo)數(shù)的概念。1.設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無

13、限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即注：1.函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。2.在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而可能為0。3.是函數(shù)對(duì)自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點(diǎn)（）及點(diǎn)）的割線斜率。4.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率。因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為。5.導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與無關(guān)。6.在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成。7.若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)

14、。8.若在可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）有切線存在。反之不然，若曲線在點(diǎn)（）有切線，函數(shù)在不一定可導(dǎo)，并且，若函數(shù)在不可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)（）也可能有切線。一般地， ，其中為常數(shù)。特別地，。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)。稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可記作，即函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，即。所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也記作。注：1.如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。2.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。它們之

15、間的關(guān)系是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值。3.求導(dǎo)函數(shù)時(shí)，只需將求導(dǎo)數(shù)式中的換成就可，即4.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極限方法是：（1）.求函數(shù)的改變量。（2）.求平均變化率。（3）.取極限，得導(dǎo)數(shù)。例1.求在3處的導(dǎo)數(shù)。例2.已知函數(shù)（1）求。（2）求函數(shù)在2處的導(dǎo)數(shù)。補(bǔ)充兩個(gè)內(nèi)容:（1）洛必達(dá)法則;（2）阿基米德法 1. 用洛必達(dá)法則求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); 解 (1). (2). (3). (4). (5). (6)(注: 當(dāng)x®0時(shí), ). (7). (8)因?yàn)? 而 , 所以. .

16、(9)因?yàn)? 而, 所以. 極限是微積分的基石戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的莊子·天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?（1）求第天剩余的木棒長(zhǎng)度(尺)，并分析變化趨勢(shì)；（2）求前天截下的木棒的總長(zhǎng)度(尺)，并分析變化趨勢(shì)。 一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)A（即無限趨近于0），那么就說數(shù)列的極限是A，記作 注：上式讀作“當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，的極限等于A”?！啊北硎尽摆呄蛴跓o窮大”，即無限增大的意思。有時(shí)也記作當(dāng)時(shí)，A引例中的兩個(gè)數(shù)列的極限可分別表示為_，_例1：判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，寫出極限；若沒有，說明理由 （1）1， ；（2），；（

17、3）2，2，2，2，；（4）0.1，0.01，0.001，；（5）1,1，1，； 注：幾個(gè)重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3）無窮等比數(shù)列（）的極限是0，即 ： 一般地，當(dāng)自變量取正值且無限增大時(shí)，如果函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是A，記作：,也可以記作，當(dāng)時(shí)，例2：判斷下列函數(shù)的極限： （1） （2） （3） （4）練習(xí)1、判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，寫出極限 （1）1， ；（2）7，7，7，7，； （3）； （4）2，4，6，8，2n，； （5）0.1，0.01，0.001，； （6）0，； （7），； （8），； （9）2,0，2，,， 2

18、、判斷下列函數(shù)的極限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 對(duì)于函數(shù)極限有如下的運(yùn)算法則：如果，那么說明：當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時(shí)，這些法則對(duì)于的情況仍然適用.例1 求例2 求例3 求例4 求總結(jié)：例5 求練習(xí)（利用函數(shù)的極限法則求下列函數(shù)極限） （1）； （2） （3）； （4） （5） （6） （7） （8）數(shù)列極限的運(yùn)算法則與函數(shù)極限的運(yùn)算法則類似：如果那么推廣：上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情況。例如，若，有極限，則：特別地，如果C是常數(shù)，那么例1.已知，求例2.求下列極限：（1）；（2）例3.求下列有限：（1）（2）分析：（1）（2）當(dāng)無限增大時(shí)，分式的

19、分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用。例4.求下列極限：（1） （2）練習(xí)1.已知，求下列極限（1）；（2）2.求下列極限（1）；（2）；（3）；（4）。3.求下列極限: (1). (2).(3). （4）（5） （6）.已知求無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是_2、設(shè)AB是長(zhǎng)為1的一條線段，等分AB得到分點(diǎn)A1，再等分線段A1B得到分點(diǎn)A2，如此無限繼續(xù)下去，線段AA1，A1A2，An1An，的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列 可以看到，隨著分點(diǎn)的增多，點(diǎn)An越來越接近點(diǎn)B，由此可以猜想，當(dāng)n無窮大時(shí)，AA1+A1A2+ An1An 的極限是_.下面來驗(yàn)證猜想的正確性，并加以推廣1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是_2、設(shè)AB是長(zhǎng)為1的一條線段，等分AB得到分點(diǎn)A1，再等分線段A1B得到分點(diǎn)A2，如此無限繼續(xù)下去，線段AA1，A1A2，An1An，的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列 可以看到，隨著分點(diǎn)的增多，點(diǎn)An越來越接近點(diǎn)B，由此可以猜想，當(dāng)n無窮大時(shí)，AA1+A1A2+ An1An 的極限是_.下面來驗(yàn)證猜想的正確性，并加以推廣1、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和：公比的絕對(duì)值小于1