等腰三角形性質(zhì)：三線合一”專題

1、 中小學(xué)個(gè)性化輔導(dǎo)專家等腰三角形性質(zhì)：三線合一”專題等腰三角形有一個(gè)重要的性質(zhì)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。這就是著名的等腰三角形“三線臺(tái)一”性質(zhì)。“三線合一”性質(zhì)常用來證明兩線垂直、兩線段相等和兩角相等。反之，如果三角形一邊上的中線、這邊上的高、這邊所對(duì)角的角平分線中有兩條重合，那么這個(gè)三角形就是等腰三角形。【例題講解】例1 如圖所示，在等腰ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上。求證：BE=CE。變式練習(xí)1-1 如圖，在ABC中，AB=AC，D是形外一點(diǎn)，且BD=CD。求證：AD垂直平分BC。變式練習(xí)1-2 已知，如圖所示，AD是ABC，DE、DF分別是

2、ABD和ACD的高。求證：AD垂直平分EF。ABBCED例二：如圖ABC中，ABAC，A36°，BD平分ABC，DEAB于E，若CD4，且BDC周長(zhǎng)為24，求AE的長(zhǎng)度。 例三. 等腰三角形頂角為，一腰上的高與底邊所夾的角是，則與的關(guān)系式為=_。圖1 分析：如圖1，AB=AC，BDAC于D，作底邊BC上的高AE，E為垂足，則可知EAC=EAB，又，所以。 例四. 已知：如圖2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求證：ACE=B。圖2 分析：欲證ACE=B，由于AC=AB，因此只需構(gòu)造一個(gè)與RtACE全等的三角形，即做底邊BC上的高即可。 證明：作ADBC于D， AB=

3、AC， 又， BD=CE。 在RtABD和RtACE中， ABAC，BD=CE， RtABDRtACE（HL）。 ACE=B 例五. 已知：如圖3，等邊三角形ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，CE=CD，DMBC于M，求證：M是BE的中點(diǎn)。圖3 分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMBC，因此只需證DB=DE，即證DBE=E，根據(jù)等邊ABC，BD是中線，可知DBC=30°，因此只需證E=30°。 證明：聯(lián)結(jié)BD， ABC是等邊三角形， ABC=ACB=60° CD=CE， CDE=E=30° BD是AC邊上中線， BD平分ABC，即DBC=30

4、° DBE=E。 DB=DE 又DMBE， DM是BE邊上的中線，即M是BE的中點(diǎn)。鞏固練習(xí)一：1、已知的周長(zhǎng)為，且，又，D為垂足，的周長(zhǎng)為，那么AD的長(zhǎng)為（ ）A B. C. D. 2、如圖2，在ABC中，AB=AC，BAD=30，AD=AE，則EDC=（ ） 第4題圖ABDEC 第2題圖DABCEF第3題圖A10 B. 12.5 C.15 D.203、如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，DEAB于E，DFAC于F，則圖中全等三角形共有（）A、 2對(duì) B、3對(duì) C、4對(duì) D、5對(duì)4 、如圖，在等腰直角ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直

5、的射線與兩腰相交于E、F，連結(jié)EF與AD相交于G，則AED與AGF的關(guān)系為( )AAED>AGF BAEDAGF CAED<AGF D不能確定5、如圖，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，且BD=BE，A=84°，則DEC= CABDEADCBEAAA 第7題圖BAEDFC 第5題圖 第6題圖6、如圖，CE平分ACB，且CEBD，DA=DB，又知AC=18，CDB的周長(zhǎng)為28，那么BE的長(zhǎng)為 。7、如圖，在等腰ABC中，ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，則ABC的面

6、積為 8、如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于E點(diǎn)，若AC平分DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個(gè)結(jié)論：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；ABE是等邊三角形請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào) (把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)9、已知：如圖2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求證：ACE=B。10、如圖ABC中，AB=AC D為AC上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到E 使得AE=AD 連接DE，求證DEBC11、已知：如圖，中，是上一點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，求證：12、如圖，以ABC的邊AB，AC為邊分別向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分別垂直直線BC于M、

7、N.若DM=FN,求證： ABC=ACB【鞏固練習(xí)二】1、 等腰三角形一邊等于5，另一邊等于8，則周長(zhǎng)是_。2、 在ABC中，已知ABAC，AD是中線，B70°，BC15cm， 則BAC_，DAC_，BD_cm。3、 在ABC中，BAC90°，ADBC于D，AB3，AC4，則AD_。4、 已知ABC中，A n°，角平分線BE、CF相交于O，則BOC的度數(shù)應(yīng)為（）（A）90°°（B）90° °（C）180°n°（B）180°°5、 下列兩個(gè)三角形中，一定全等的是（ ）（A）有一個(gè)角是40°，腰相等的兩個(gè)等腰三角形（B）兩個(gè)等邊三角形（C）有一個(gè)角是100°，底相等的兩個(gè)等腰三角形（D）有一條邊相等，有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)等腰三角形6、 已知：如圖，ABC中，AB=AC。小強(qiáng)想做BAC的平分線，但他沒有量角器，只有刻度尺，他如何做出BAC的平分線？ACBDE7、 已知：如圖，B、D、E、C在同一直線上，AB=AC，AD=AE。求證：BD=CE。8、 如圖，RtABC中，ABC=90°，D是AB上一