考研數(shù)學三真題

1、2007年考研數(shù)學（三）真題一 選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)）（1） 當時，與等價的無窮小量是（ ）. （2） 設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： ( ).若存在，則 若存在，則.若存在，則存在 若存在，則存在（3） 如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（ ）. （4） 設函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（ ） （5） 設某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（

2、 ） 10 20 30 40（6） 曲線漸近線的條數(shù)為（ ） 0 1 2 3（7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是( )（A） (B) （C） (D) （8）設矩陣，則A與B（ ）（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為 ( ) (10) 設隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關，分別表示X, Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為( )（A） (B)(C) (D)二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題

3、紙指定位置上（11）.（12）設函數(shù)，則.（13）設是二元可微函數(shù)，則_.（14）微分方程滿足的特解為_.（15）設距陣則的秩為_.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為_.三、解答題：1724小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分10分）設函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.（18）（本題滿分11分） 設二元函數(shù) 計算二重積分其中（19）（本題滿分11分）設函數(shù)，在上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又，證明：（）存在使得；（）存在使得（20）（本題滿分10分）將函數(shù)展開成的冪

4、級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.（22）（本題滿分11分）設3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量.記，其中E為3階單位矩陣.（）驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（）求矩陣B.（23）（本題滿分11分）設二維隨機變量的概率密度為（）求；（）求的概率密度.（24）（本題滿分11分）設總體的概率密度為.其中參數(shù)未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.（）求參數(shù)的矩估計量；（）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由.2007年考研數(shù)學（三）真題一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)）

5、（7） 當時，與等價的無窮小量是（B）. （8） 設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： (D).若存在，則 若存在，則.若存在，則存在 若存在，則存在（9） 如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（C ） . （10） 設函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（B） （11） 設某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（D） 10 20 30 40（12） 曲線漸近線的條數(shù)為（D） 0 1 2 3（7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是 (A)（A） (B) (C)

6、 (D) （8）設矩陣，則A與B（B）（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為 (C) (10) 設隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關，分別表示X, Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為 (A)（A） (B)(C) (D)二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上（11）.（12）設函數(shù)，則.（13）設是二元可微函數(shù)，則.（14）微分方程滿足的特解為.（15）設距陣則的秩為1.(16)在區(qū)間(0,

7、1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為. 三、解答題：1724小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分10分）設函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.【詳解】：（18）（本題滿分11分） 設二元函數(shù) 計算二重積分其中【詳解】：積分區(qū)域D如圖，不難發(fā)現(xiàn)D分別關于x軸和y軸對稱，設是D在第一象限中的部分，即 利用被積函數(shù)無論關于x軸還是關于y軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法則可得設，其中于是 由于，故為計算上的二重積分，可引入極坐標滿足.在極坐標系中的方程是的方程是， ，因而，故令作換元，則，于是且，

8、代入即得綜合以上計算結果可知（19）（本題滿分11分）設函數(shù)，在上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又，證明：（）存在使得；（）存在使得【詳解】：證明：(1)設在內(nèi)某點同時取得最大值，則，此時的c就是所求點.若兩個函數(shù)取得最大值的點不同則有設故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在(2)由(1)和羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即.（20）（本題滿分10分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.【詳解】：【詳解】：因為方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.當時，方程組(3)等價于方程組(1)即此時的公共解為方程組(1

9、)的解.解方程組(1)的基礎解系為此時的公共解為：當時，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為：（22）（本題滿分11分）設3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量.記，其中E為3階單位矩陣.（）驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（）求矩陣B.【詳解】：（）可以很容易驗證，于是 于是是矩陣B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關系得到，即 ， 所以B的全部特征值為2，1，1. 前面已經(jīng)求得為B的屬于2的特征值，而A為實對稱矩陣， 于是根據(jù)B與A的關系可以知道B也是實對稱矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設B的屬于1的特征向量為，所以有方程如下： 于是求得B的屬于1的特征向量為因而，矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).（）由有令矩陣，則，所以那么 （23）（本題滿分11分）設二維隨機變量的概率密度為（）求；（）求的概率密度.【詳解】：（），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （） 當時，； 當時，；