角(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、角（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5. 掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；6了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角 397364 角的概念】要點(diǎn)一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB圖2圖1（2）定義二：

2、一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫

3、希臘字母3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算 角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360°，1平角180°，1°60，160要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要

4、借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較AOB和AOB的大?。?如下圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB3.角的和、差關(guān)系如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-2要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；重合(一邊與刻

5、度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù)) (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角4.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線如圖所示，OC是AOB的角平分線，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =AOB要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如

6、果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角 類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角2性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等要點(diǎn)詮釋：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān) (2)一般地，銳角的余角可以表示為(90°-)，一個(gè)角的補(bǔ)角可以表示為(180°-) 顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線OA的方

7、向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”；（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30

8、76;的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題【典型例題】類型一、角的概念及表示1.下列語(yǔ)句正確的是 ( ) A兩條直線相交，組成的圖形叫做角 B兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角 C兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角 D過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個(gè)重要元素，即兩條射線間的相對(duì)位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線”的重要區(qū)別舉一反三：【變式】判斷下列說(shuō)法是否

9、正確 (1)兩條射線組成的圖形叫做角 ( ) (2)平角是一條直線 ( ) (3)周角是一條射線 ( )【答案】(1)× (2)× (3)×2. 寫出圖中(1)能用一個(gè)字母表示的角；(2)以B為頂點(diǎn)的角； (3)圖中共有幾個(gè)角(小于180°). 【答案與解析】 解：(1)能用一個(gè)字母表示的角A、C (2)以B為頂點(diǎn)的角ABE、ABC、CBE (3)圖中共有7個(gè)角【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示； (2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角類型二、角度制的換算3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45

10、76;1230化成度（精確到百分位）【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72°中含有兩部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可第(2)題中，45°1230含有三部分45°，12和30，其中45°已經(jīng)是度，只要把12和30化成度即可【答案與解析】解：(1)0.72°0.72×6043.2，0.20.2×6012，所以25.72°25°4312 (2)， 所以45°123045.21°【總結(jié)升華】無(wú)論由高級(jí)單位向低級(jí)化還是由低級(jí)單位向高級(jí)化，都必須逐級(jí)

11、進(jìn)行，“越級(jí)”化單位容易出錯(cuò)舉一反三：【變式】 (1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式； (2)把33°2436轉(zhuǎn)化成度表示的形式【答案】解： (1)26.29°26°+0.29°26°+0.29×6026°+17.426°+17+0.4×6026°17+2426°1724(2)33°243633°+24+36×33°+24+0.633°+24.633°+24.6×33.41°提示：在角度

12、的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計(jì)算。類型三、角的比較與運(yùn)算4.不用量角器，比較圖1和圖2中角的大小(用“”連接)【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角、均為銳角，因此，在不能測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的向平移，讓與始邊重合，觀察終邊的位置來(lái)比較角的大小圖2中的三個(gè)角按角的分類，1為銳角，2為直角，3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來(lái)【答案與解析】解：(1)如圖所示，將平移使的始邊與的始邊重合，發(fā)現(xiàn)落在內(nèi)部，因此 (2)由圖可知1是銳角，190°，2是直角，即290°，3是鈍角，即90°<3180°，因此321【總結(jié)

13、升華】本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類，由圖形觀察角的不同分類，按照常見(jiàn)的銳角直角鈍角平角周角來(lái)比較大小舉一反三：【變式】已知AOB(如圖所示)，畫一個(gè)角等于這個(gè)角【答案】作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D； (2)畫一條射線OA，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧l，交OA于點(diǎn)C； (3)以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧l于點(diǎn)D； (4)過(guò)點(diǎn)D畫射線OB，則AOBAOB5. 如圖所示，已知OC平分BOD，且BOC20°，OB是AOD的平分線，求AOD的度數(shù)【答案與解析】解：

14、因?yàn)镺C平分BOD，且BOC20°， 所以BOD2BOC=2×20°40° 又OB是AOD的平分線， 所以AOD2BOD2×40°80°【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：若OB是AOC的平分線，則AOBBOCAOC；AOC2AOB2BOC，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用【高清課堂：角 397364 角的有關(guān)計(jì)算例3】舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是AOB的平分線，ON是BOC的平分線，AOC=80°，求：MON. 【答案】解：OM平分AOB，ON平分COB，MOB=AOB，BON=BOC.(角平分線的定義)M

15、ON=MOB+BON =AOB+BOC=(AOB+BOC) =AOC=×80°=40° .即MON=40°.類型四、余角和補(bǔ)角【高清課堂：角 397364 角的有關(guān)計(jì)算例1】6. 已知角a的余角比角a的補(bǔ)角的 還少20°，求角a的余角.【答案與解析】解:由題意可得：角a的余角為(90°-a),補(bǔ)角為(180°-a)，于是得：90°-a=（180-a）-20°，解得：a=75°90°-a=90-75°=15°答：角a的余角為 15° .【總結(jié)升華】此題的關(guān)鍵

16、是掌握互為余角、補(bǔ)角的定義，然后根據(jù)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句列出方程或代數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù).類型五、方位角7. A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向是( ) A南偏東60° B南偏西60° C南偏東30° D南偏西30°【答案】D【解析】依題意畫出示意圖由圖可知，圖中1即表示從A看B的北偏東30°，2是從B看A的方位角由此可確定從B看A是南偏西30°【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來(lái)看，從A看B與從B看A正好是一對(duì)對(duì)立的觀察過(guò)程，其方向是一種“相反”的對(duì)應(yīng)關(guān)系方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正

17、南或正北到視線夾角測(cè)量出來(lái)舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家的_方向【答案】北偏西30°類型六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題8.計(jì)算： 4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角.【答案與解析】 解法一：如圖（1），設(shè)4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為(注：夾角指小于180°的角)， 時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：30°×4+0.5°×15， 分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：6°×15， 所以30°×4+0.5°×15-6°×1537.5° 解法二：如圖（1），AOC30°×130°， BOC0.5°×157.5° 所以AOB37.5° 即4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為37.5°【總結(jié)升華】求鐘表中時(shí)針與分針的夾角有兩種方法：第一種方法利用時(shí)針與分針的每分鐘轉(zhuǎn)速求解，比如解法一；第二種方法直接根據(jù)圖形求夾角，如解法二舉一反三：【變式】2時(shí)48分