排隊模型與模擬方法

1、 排隊模型與模擬排隊模型與模擬方法方法 前言前言 排隊系統(tǒng)的基本概念排隊系統(tǒng)的基本概念 典型排隊系統(tǒng)的理論結果典型排隊系統(tǒng)的理論結果 排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化設計排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化設計 與計算機模擬與計算機模擬前言 顧客要求服務的對象統(tǒng)稱為“顧客” 服務臺把提供服務的人或機構稱為 “服務臺”或“服務員” 各種形式的排隊系統(tǒng) 各種形式的排隊系統(tǒng)各種形式的排隊系統(tǒng)各種形式的排隊系統(tǒng)各種形式的排隊系統(tǒng)隨機服務系統(tǒng)排隊論所要研究解決的問題 面對擁擠現(xiàn)象，人們通常的做法是增加服務設施，但是增加的數(shù)量越多，人力、物力的支出就越大，甚至會出現(xiàn)空閑浪費，如果服務設施太少，顧客排隊等待的時間就會很長，這樣對顧客會帶來不良

2、影響。 如何做到既保證一定的服務質量指標，又如何做到既保證一定的服務質量指標，又使服務設施費用經濟合理。使服務設施費用經濟合理。 恰當?shù)亟鉀Q顧客排隊時間與服務設施費用大小這對矛盾，就是隨機服務系統(tǒng)理論排隊論所要研究解決的問題。第一節(jié) 排隊系統(tǒng)的基本概念 一、排隊系統(tǒng)的組成 二、排隊系統(tǒng)的主要研究內容 三、排隊系統(tǒng)的符號表示 四、排隊系統(tǒng)的常見分布一、排隊系統(tǒng)的組成 共同特征共同特征： (1)請求服務的人或者物顧客 (2)有為顧客服務的人或者物-服務臺 (3)顧客到達系統(tǒng)的時刻是隨機的，為每一位顧客提供服務的時間是隨機的，因而整個排隊系統(tǒng)的狀態(tài)也是隨機的。 排隊系統(tǒng)由排隊系統(tǒng)由3 3個部分組成個

3、部分組成 1、輸入過程 2、排隊規(guī)則 3、服務規(guī)則1 1輸入過程：輸入過程： 顧客是按怎樣的規(guī)律到達排顧客是按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的隊系統(tǒng)的 (1)(1)顧客源顧客源, ,指顧客的來源。指顧客的來源?？梢允怯邢薜?，也可以是無限的?？梢允怯邢薜模部梢允菬o限的。(2)(2)顧客到達方式顧客到達方式, ,描述顧客怎樣來到系統(tǒng)描述顧客怎樣來到系統(tǒng)?？梢詥蝹€到達，也可以成批到達?？梢詥蝹€到達，也可以成批到達。(3)(3)顧客流的概率分布顧客流的概率分布（相繼顧客到達時間間（相繼顧客到達時間間 隔的分布）隔的分布）有確定的時間間隔，也有隨機的時間間隔有確定的時間間隔，也有隨機的時間間隔 2 2排隊規(guī)則

4、：排隊規(guī)則： 指服務臺從隊列中選取顧客進行服務的順序。(1)(1)損失制損失制，這是指如果顧客到達排隊系統(tǒng)時,所有服務臺都被先到的顧客占用,那么他們就自動離開系統(tǒng)。 (2) (2)等待制等待制 (3)(3)混合制混合制 (2)(2)等待制等待制，指當顧客來到系統(tǒng)時，若服務臺沒有空閑，則顧客排隊等候服務。 1)先到先服務：按顧客到達的先后順序對 顧客進行服務，F(xiàn)CFS 2)后到先服務，LCFS 3)隨機服務：即當服務臺空閑時，不按照 排隊序列而隨意指定某個顧客接受 服務，SIRO 4)優(yōu)先權服務，PR (3)(3)混合制混合制，這是等待制與損失制相結合的 一種服務規(guī)則，一般是指允許排隊，但又 不

5、允許隊列無限長下去。 1)隊長有限：當排隊等待服務的顧客人數(shù)超 過規(guī)定數(shù)量時，后來的顧客就自動離去，另求服務，即系統(tǒng)的等待空間有限的。 2)等待時間有限：顧客在系統(tǒng)中的等待 時間不超過某一給定的長度T，當?shù)却龝r間 超過T時，顧客將自動離去，并不再回來。 3)逗留時間(等待時間與服務時間之和) 有限。 3.3.服務規(guī)則：服務規(guī)則：(1)(1)服務臺數(shù)量及構成形式服務臺數(shù)量及構成形式,有單服務臺和多服務臺單隊單服務臺式；單隊-多服務臺并聯(lián)式;多隊多服務臺并聯(lián)式；單隊多服務臺串聯(lián)式；單隊多服務臺并串聯(lián)混合式，以及多隊多服務臺并串聯(lián)混合式等等。(2)(2)服務方式服務方式，指接受服務的顧客數(shù)， 有單個

6、服務和成批服務兩種。(3)(3)服務時間的分布服務時間的分布。 在多數(shù)情況下，對每一個顧客的服務時間是 隨機變量。二、排隊系統(tǒng)主要研究內容l排隊論研究的問題： 一、在服務設施設置之前，確定服務設施的規(guī)模；二、對已有的服務系統(tǒng)施以最優(yōu)控制。l建立排隊問題的優(yōu)化問題： 首先根據(jù)問題本身的要求，構建一個目標函數(shù)，這個函數(shù)與排隊模型的某些數(shù)量指標有關。 另外選擇“決策變量”，“決策變量”就是模型中考慮的那些可變化因素。對“決策變量”所有可能的“值”，找出使目標函數(shù)最優(yōu)的，就是最優(yōu)解決策。A.排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標：1.平均到達率，單位時間內到達的顧客數(shù)的 期望值 ；1平均到達間隔；2.平均服務率，單位

7、時間內服務的顧客數(shù)的期望值 ；1/平均服務時間；4 4.L平均隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的所有 顧客數(shù)的期望值；全部空閑的概率；即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務臺），時（系統(tǒng)中顧客數(shù)為特別當?shù)母怕?；個顧客時刻有穩(wěn)態(tài)系統(tǒng))(00nn)(. 30tPttPn5 5.Lq平均等待隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待 服務的顧客數(shù)的期望值；6 6.W平均逗留時間，即(在任意時刻)進入穩(wěn)態(tài)系 統(tǒng)的顧客逗留時間的期望值；7 7.Wq平均等待時間，即(在任意時刻)進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間的期望值。8.其他常用數(shù)量指標 s系統(tǒng)中并聯(lián)服務臺的數(shù)目； N穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的狀態(tài),即系統(tǒng)中所有顧客數(shù); U任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時間；

8、Q任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時間；)(tpn, 2 , 1 , 0nnntptp)(limnp10nnp若3.中的滿足，對任意的都存在，并且極限值與初始狀態(tài)無關而且滿足那么稱這個排隊模型是穩(wěn)定的。B.系統(tǒng)穩(wěn)定的含義： 對于長時間連續(xù)不斷運行的排隊模型，穩(wěn)定解比瞬時解有更重要的意義。, 2 , 1 , 0:npn稱為隊長的穩(wěn)定解。 概率分布令，稱為服務強度。1 排隊的顧客也會越來越多，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這是由于隨機因素在起作用。1 即接待到來的全體顧客。可以證明排隊模型是穩(wěn)定的。但這決不是說，每位顧客就不用等待了，因為在系統(tǒng)運行中隨機因素在起作用。，表明服務員有足夠的能力完全 1 即來的全體顧客，

9、從總的趨勢上說，排隊的顧客會越來越多?？梢宰C明排隊模型是不穩(wěn)定的。，表明服務員沒有足夠的能力接待到 李特爾公式 在系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，假定平均到達率 為常數(shù)，平均服務時間為常數(shù)1/， 則有下面的李特爾公式： L= W Lq= Wq W= Wq +1/ L= Lq +/C. 幾類具體模型的實際背景1.多服務員平行排隊模型隊列 服務臺1輸入服務臺2 顧客到來后排成一個隊 。)(xF假定顧客到來間隔時間是獨立同分布的隨機變量，其分布函數(shù)是已知的。)(xG 各臺機器服務一個顧客所需時間，都是獨立同分布的隨機變量，其分布函數(shù)是已知的。通常假定間隔到達時間和服務時間都是隨機變量，但不排斥它們有一個是常數(shù)。 有

10、些排隊規(guī)則對要考慮的問題可能沒有影響。 2. 串聯(lián)排隊模型1M2M3M1m2m3m對上述三級串聯(lián)模型考慮一個優(yōu)化問題： 以總費用為目標，以等待室容量為變量構成一個優(yōu)化問題。 總費用函數(shù)是CNtBAmmmffNii1321),( ),(321mmmf考慮的幾個方案，分別算出費用函數(shù)值最小的方案作為最優(yōu)方案。 3. 有限源排隊模型一個工人看管m臺機器 m上述問題叫有限源排隊模型。在這里顧客的“源”是臺機器。 )(xF各臺機器經過服務后，能夠持續(xù)正常工作的時間 是獨立同分布的隨機變量，他們的分布函數(shù)是已知的。)(xG 工人處理一次事件所需的時間是隨機變量，其分布函數(shù)是已知的?？梢匝芯克南率鲆恍┲笜?/p>

11、：一個工班（八小時）中一名工人的產量；機器正常運轉率；工人的服務強度，指服務累計時間同八小時的比值。進一步還可以考慮優(yōu)化問題：一個工人看管幾臺機器為好？ 所以存在最佳配置問題。4. 優(yōu)先權排隊模型醫(yī)院的患者，急癥患者優(yōu)先接受診治。構成一個優(yōu)先權排隊模型。 輸入過程可以用如下兩種方式之一來描述：a. 每類顧客作為一個顧客流。b. 各類顧客作為一個統(tǒng)一的顧客流。a. 非強占優(yōu)先 b. 強占優(yōu)先 m類。類號小的顧客有較高的優(yōu)先級。 顧客有 顧客按類排m個隊，在同一隊中采取先到先服務。 恢復繼續(xù) 恢復重復 5. 成批排隊模型顧客成批到來，或者服務員成批對顧客服務，甚至兩者都是成批進行。 顧客成批到來

12、每批顧客到來的間隔時間是獨立同分布的隨機變量，一批中的顧客數(shù)是隨機變量。 對顧客成批服務 服務一批顧客所需時間是獨立同分布的隨機變量。 考慮每次服務個數(shù)m是個常數(shù) a.服務員等待b. 隊中只要有顧客，就立即開始服務 當然，一批中的顧客數(shù)也可以是隨機變量， 它的概率分布是已知的。6. 排隊網絡 每個結點對顧客的服務時間，各自服從一定的 概率分布。 經過某個結點服務完的顧客，按照規(guī)定的路徑 轉到另一個結點或退出系統(tǒng)。 這種轉移也可依照隨機的規(guī)則。m設有個服務臺， 一個服務臺為一個結點。在結點上，顧客按一定的輸入過程到來7. 匹配排隊模型三、排隊系統(tǒng)的符號表示描述符號描述符號：/各符號的意義各符號的

13、意義： 顧客相繼到達間隔時間分布，常用下列符號： M到達的過程為泊松過程或負指數(shù)分布 D定長輸入 EKK階愛爾朗分布 G一般相互獨立的隨機分布 服務時間分布 服務臺(員)個數(shù) 顧客源總數(shù) 系統(tǒng)內顧客的容量 四、排隊系統(tǒng)的常見分布1泊松分布（Poisson distribution） ,2, 1 ,00!)(ntenttPtnn enPPnnn!1(1) 平穩(wěn)性 n在時間內，到達個顧客的概率只與ttn的大小有關。 t和 (2) 無后效性 n在時間內，到達個顧客的概率與起tt始時刻之前到達多少個顧客無關。(3) 普通性 ttt充分小的時間間隔，在時間內最多 有一個顧客到達系統(tǒng)。2負指數(shù)分布(neg

14、ative exponential distribution)0()(tetftT負指數(shù)分布的概率密度為：T。1)(TE間隔時間的期望值) 0()(tetft 對顧客服務時間常用的概率分布也是負指數(shù)分布，概率密度為：表示單位時間內完成服務的顧客數(shù)，其中，也稱平均服務率。第二節(jié)第二節(jié) 典型排隊模型的理論結果典型排隊模型的理論結果M/M/1：排隊規(guī)則適用于FCFS、LCFS和SIRO 一、M/M/1/模型1模型條件：單位時間平均到達率和平均服務率，顧客源無限，容量無限，單列，F(xiàn)CFS2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標：10P)1 (nnP1LLLq1)(221WWWq)(1)(kkNP二、M/M/1/

15、N模型1模型條件：單位時間平均到達率和平均服務率，顧客源無限，容量N，單列，混合制2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標：111111110010PPPNPnnN1121111211111011NNNPLLNNNLqNNN011PPNeeLWeqqLW三、M/M/1/m/m模型2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標：1模型條件：單位時間平均到達率和平均服務，顧客源m，容量m，單列，混合制率mnPnmmPkmmPnnmkk1!1000eqqeeqLWLWLmPPLLPmL000111M/M/C：排隊規(guī)則適用于FCFS、LCFS和SIRO 一、M/M/C/模型CC1模型條件 單位時間平均到達率,單列個服務臺，每個

16、服務臺的工作相互獨立且，顧客源無限，平均服務率相同，都等于容量無限，排隊規(guī)則為等待制2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標CnPCCCnPnpCCKPnCnnnCKCK001100)(!1)(!11,)(11!1)(!11)1 ( !)(02qqqqcqWLWLWLLPccL二、M/M/C/N模型CNN1模型條件 系統(tǒng)顧客源無限，容量為服務規(guī)則為混合制，其余條件同上。 2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標NnCPCCCnPnpCCCKPnCnnCKNCcK00100!0)(!1,1!)(!1NeqeeqqNqCNCNcqPWLWLWPLLCNPccL11111)1 ( !)(02三、M/M/C/m/m模型C

17、m 1模型條件 系統(tǒng)顧客源為m，且其他條件同上。2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標mnCPCCnmmCnPnnmmPCKmCCKmKmPnCnnnCKmCKKCK1!0!1!1!1001010LmLWLWLmLLnPLeeeqqqmnn0四、M/M/C模型與C個M/M/1模型的比較 C個M/M/1模型系統(tǒng)為多隊列，且顧客選擇隊列后不允許變換。 C個M/M/1模型和1個M/M/C模型盡管系統(tǒng)內服務臺數(shù)沒有變化，但采用不同的隊列方式的系統(tǒng)運行狀態(tài)和指標是不一樣的。， 聯(lián)合服務（單隊列）要比分散服務（多隊列）更為有效。再次，還有其他幾類常見模型。一、M/G/1排隊模型 2系統(tǒng)的狀態(tài)概率和主要運行指標1模

18、型條件 M/G/1排隊模型是單服務臺的等待制系統(tǒng)，到達系統(tǒng)的顧客數(shù)服從泊松分布，單位時間平均 1TE相同分布的隨機變量T，服務時間的期望值，而各顧客的服務時間是相互獨立且具有到達率， 2TD和方差仍然為服務率，顧客源無限，容量無限，F(xiàn)CFS服務規(guī)則。LWLWLLLPqqq11)1 (2112220q二、M/D/1排隊模型 1TE 0TD,該系統(tǒng)對顧客服務時間為確定常數(shù)即，而。其他條件與M/G/1相同?？筛鶕?jù)上式求得系統(tǒng)中的各項運行指標三、具有優(yōu)先服務權的M/M/1/模型 進入系統(tǒng)的顧客分為兩級，設： ,212211WWW平均逗留時間W，滿足： 111W1121212122WWW2,11iWLW

19、Wqiiqiiqi22112211qqqqqqWWWLLL2, 1,111111122122111iLLiii第三節(jié) 排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化設計與計算機模擬bLaf)(min一、M/M/1/模型的最優(yōu)平均服務率 f為： 費用函數(shù)其中：a-當=1時服務機構單位時間的成本費用b-每個顧客在系統(tǒng)中停留單位時間的損失費用 L-系統(tǒng)內平均顧客數(shù) ab考慮，解得 二、M/M/C/模型的最優(yōu)服務臺數(shù) C費用函數(shù)f為： ）（CLbChCf)(h其中：-每服務臺單位時間的成本)(CLC-系統(tǒng)中有臺設備時逗留的顧客數(shù) b-每個顧客在系統(tǒng)中停留單位時間的損失費用 ) 1()() 1()(CfCfCfCf)()1()1()

20、(CLCLbhCLCL,2,1C CL依次求時的值，確定 C 下面我們來看一下排隊模型的計算機模擬：一、模擬方法原理 模擬（Simulation），又稱為仿真。用模擬算法可以求出排隊模型的近似解。模擬方法實 際是統(tǒng)計估計方法。 例例 考慮單服務員排隊模型：25, 6 , 5,211)(jjPqj 2.服務時間 的概率分布為3. 排隊按先到先服務規(guī)則，隊長無限制。在初始時刻t=0，系統(tǒng)中沒有顧客排隊。.25,24, 8 , 7,191)(jjPpj 1顧客到來間隔時間的概率分布為 時間以分鐘為單位?？疾炷Ｐ驮?00分鐘內的運行情形。 S-完成服務的顧客總數(shù)W-顧客的平均等待時間 都是隨機變量。的

21、數(shù)學期望。 W求S與 對這個理發(fā)館一天的前200分鐘作實地觀察。iy-對顧客服務花費的時間ix-顧客間隔到來時間iixiy12345678910 11 12 13 1414 14 20 10 16 725 20 15 11 15 11 7*17 20 15 24 811 21 24 10 24 6*ic-第i個顧客到來的時刻-等待時間 iwib-開始服務時刻ie-結束服務時刻ijjixc1)0(,max01eecbiiiiiiybeiiicbw iixiciwibiyie12345678910111213141420101672520151115117142848587380105125140

22、151166177184033817184514132217*143151669098109130154164188194*17201524811212410246*3151669098109130154164188194*111S73. 91W服務完的顧客數(shù) 顧客平均等待時間 對理發(fā)館做n次這樣的觀察，求得WS,以樣本均值作為它們數(shù)學期望的估計。 的n個樣本，-時刻t 系統(tǒng)中的顧客數(shù)x(t) 0，200上的階梯函數(shù) 按由小到大排列為,21tt統(tǒng)一,21cc,21ee與 記kkkETCTd 1,)(kkktttdtx可得： kkticie1c2c1e3c2e4c3e5c6c4e5e7ckdkk

23、ticie6e8c7e9c10c8e9e11c12c13c10e11ekd1234567891011121428314851586673809098105121212123212131415161718192021222324109125130140151154164166177184188194121232123432-平均顧客數(shù)x2311)(1941kkkkttdx由表中數(shù)據(jù)可算出,21xx,21yy1.對現(xiàn)實模型作實地觀察，得到樣本值，和2. 根據(jù)模型的構成規(guī)則，把系統(tǒng)的動態(tài)運行行為刻畫出來3. 根據(jù)系統(tǒng)的運行行為統(tǒng)計出所關心的數(shù)量指標 以上步驟，完成了一次統(tǒng)計抽樣，這樣的統(tǒng)計抽樣應該進

24、行多次。 用實驗方法實現(xiàn)抽樣并且刻畫出系統(tǒng)的動態(tài)運行情形，叫做模擬方法。 二、隨機變量的抽樣1.0，1上均勻分布隨機數(shù)的生成方法 MuxMAuuiiii)(mod1, 2 , 1iix0u算法算法1 1 （乘同余法）i.適當選定正常數(shù) A、M、ii.按公式 生成的數(shù)就作為隨機數(shù)。 1A、M的選取與計算機的字長有關。 20u取奇數(shù),稱為種子。 3.iAu一般要超過整數(shù)的表示范圍，對此在編程時，還要做些技術上的處理。 , 2 , 1i1iAudaAui65536132768iiux ixii.迭代算法，對計算乘積,且 3276732768da其中是非負整數(shù)，d是整數(shù)滿足就作為隨機數(shù)。0u算法算法2

25、 2i.常數(shù) A、的選取同算法1。dui取，乘積1iAu大都超過32767，在程序中使用以下賦值語句： iu1iAu=“絕對值”（）2. 指數(shù)分布隨機數(shù)的生成方法),ln(10設隨機變量服從0，1上的均勻分布，令 容易證明:服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 ix 設是0，1上的均勻分布的隨機數(shù)，則iy是指數(shù)分布的隨機數(shù)。 )ln(1iixy令n,21)2(1221nnSnnnS設是獨立同分布的隨機變量，均服從 根據(jù)中心極限定理，當n適當大時，近似的服從 0，1上的均勻分布。令標準正態(tài)分布。)6(1211iixy)6(24132iixy21, yy11yz22yz21,zz那么就是標準正態(tài)分布的隨機數(shù)。進

26、一步令 那么),(2N就是正態(tài)分布的隨機數(shù)。2421,xxx有0，1均勻分布隨機數(shù)，取3. 正態(tài)分布隨機數(shù)的生成方法4.離散型隨機變量隨機數(shù)的生成方法., 2 , 1, 010nipqqijji令., 2 , 1),(njaPpjj的概率分布是 設離散型隨機變量 設ix是0，1上均勻分布的隨機數(shù)，ixkikqxq1滿足kiay 取形成的iy就是隨即變量的隨機數(shù)。5. 完備事件組的抽樣方法,ix對0，1上均勻分布抽樣，得到隨機數(shù)確定kkikqxq1使?jié)M足那么便認為這次抽樣事件kA發(fā)生了。一次隨機實驗中這些事件必有一個且也只有一個發(fā)生。nAAA,21設是一個完備隨機事件組，即在., 2 , 1,

27、010nipqqijji又令., 2 , 1,njAPpjj記6一般分布隨機數(shù)的生成方法 可見)(1F)(xF的分布函數(shù)是ix 設是0，1上均勻分布的隨機數(shù)，則iy是的隨機數(shù)。)(1iixFy令)()(1xFxF設隨機變量服從0，1上的均勻分布，)()()(1xFxFPxFP所以有 , x對任意實數(shù)假定)(xF是嚴格單增的，).(1xF得反函數(shù)),(xF的分布函數(shù)為設隨機變量三、計算機模擬程序 3排隊按先到先服務規(guī)則，隊長無限制。 假定時間以分鐘為單位，對上述模型模擬到第3000分鐘停止。 例例 考慮單服務員的排隊模型： 1顧客到來間隔時間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布。 2.對顧客的服務時間服從

28、4，15上的均勻分布。 （1）根據(jù)適當方法生成隨機數(shù)。 （2）模擬模型的動態(tài)運行情形。 （3）根據(jù)模型的運行過程，統(tǒng)計出我們關心的那些數(shù)量指標。 開 始令 ， wait=0產生間隔時間隨機數(shù)產生服務時間隨機數(shù) ，累計等待時間wait=wait+準備下一次服務產生間隔時間隨機數(shù) ， 確定開始服務時間 模擬終止時間？ i=i-1waita=wait/i 輸出結果：完成服務個數(shù) i平均等待時間 wait 停 止是否 0, 11iei, ixiiiixbxc,iyiiiybeiicb 1,11iicceeiiiiixiiixcc1),max(1iiiecbib 程序程序1 （模擬程序） #includ

29、e (math . h) int na=1,nb=5 : float rnd1( ) / *隨機數(shù)發(fā)生器* / float x ; na=fabs( 15625*na) ; x=na/32768.0 ; return (x) ; float rnd2( ) / *隨機數(shù)發(fā)生器* / float x ; nb=fabs( 15625*nb) ; x=nb/32768.0 ; return (x) ; float ep( ) / *產生間隔時間隨機數(shù)* / float x ,y ; x=rnd 1( ) ; y=10.0*log( 1x) ; return (y) float unif( ) / *產生服務時間隨機數(shù)* / float x ,y ; x=rnd 2( ) ; y= 11.0*x+4.0 ; r