講矩陣的代數(shù)運算和數(shù)據(jù)分析ppt課件

1、2022-2-206.1 矩陣的代數(shù)運算6.2 數(shù)據(jù)分析e i g ( A ) 求包含矩陣A的特征值的向量。 X , D = e i g ( A ) 產生一個矩陣A的特征值在對角線上的對角矩陣D和矩陣X，它們的列是相應的特征向量，滿足A X=X D。為了得到有更好條件特征值的矩陣要進展類似變換。d e t ( A ) 求方陣A的行列式。r a n k ( A ) 求A的秩，即A中線性無關的行數(shù)和列數(shù)。i n v ( A ) 求方陣A的逆矩陣。假設A是奇特矩陣或者近似奇特矩陣，那么會給出一個錯誤信息。線性系統(tǒng)的求解和L U分解M AT L A B用如下命令求解系統(tǒng)A x = b：那么 x = A

2、 b。假設A是一個奇特矩陣，或者是近似奇特矩陣，那么會給出一個錯誤信息。L U分解方法就是令A = L U，其中U是一個上三角矩陣， L是一個帶有單位對角線的下三角矩陣。然而為了保證計算的穩(wěn)定性可以運用部分主元法。也就是說，L通常是一個改動序列的下三角矩陣。 L , U = l u ( A ) 求上三角矩陣U和交換下三角矩陣L。L是一個帶有單位對角線 的下三角矩陣和交換矩陣，即P的逆矩陣的乘積，見下個命令。 L , U , P = l u ( A ) 求上三角矩陣U、有單位對角線的下三角矩陣L和交換矩陣P，滿足L U = PA。Q R分解。假設A是nn的矩陣，那么A就可以分解成：A = Q R

3、 ，其中Q是一個正交矩陣， R是一個大小和A一樣的上三角矩陣，因此A x = b可以表示為 Q R x = b或者等同于：R x = Q b 。這個方程組的系數(shù)矩陣是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比較， Q R因式分解的主要優(yōu)點在于有更高的穩(wěn)定性，然而它的數(shù)學運算更費事一些。 Q , R = q r ( A ) 求得mm的矩陣Q和上三角矩陣R，Q的列構成了一個正交基，Q和R滿足A = Q R。 Q , R , P = q r ( A ) 求得矩陣Q、上三角矩陣R和交換矩陣P。Q的列構成一個正交基，R的對角線元素按大小降序陳列，它們滿足A P=Q R。 Q , R = q r ( A ,

4、0 ) 求矩陣A的Q R因式分解。假設在mn的矩陣A中行數(shù)小于列數(shù)，那么給出Q的前n列，因此Q的大小和A一樣。也能得到交換矩陣。向量范數(shù)n o r m ( x ) 求歐幾里得范數(shù)。n o r m ( x , i n f ) 求無窮范數(shù)，即| | x | | = m a x ( a b s ( x ) )。n o r m ( x , 1 ) 求1 -范數(shù)。n o r m ( x , p ) 求p -范數(shù)， 。n o r m ( x ,i n f ) 求向量x的元素的絕對值的最小值，即m i n ( a b s ( x ) )。留意，這不是向量的范數(shù)。pnipipxx/11)(=矩陣范數(shù)n o r

5、 m ( A ) 求歐幾里得范數(shù)| | A | |2，n o r m ( A , 1 ) 求列范數(shù)| | A | |1，等于A的列向量的1 -范數(shù)的最大值。n o r m ( A , 2 ) 求歐幾里得范數(shù)| | A | |2，和n o r m ( A )一樣。n o r m ( A , i n f ) 求行范數(shù)| | A | | (inf)，等于A的行向量的1 -范數(shù)的最大值。iTMAAAmax)(,)(2/12=c o n d ( A ) 求A的歐幾里得范數(shù)的條件數(shù)。c o n d ( A , p ) 求p-范數(shù)的條件數(shù)， p的值可以是1、2、或者inf1.最大值和最小值m a x ( x

6、 ) 前往x中最大的元素值，假設x是復數(shù)，那么前往m a x ( a b s ( x ) )值。m a x ( A ) 前往一個行向量，它的第i個元素是A中第i列的最大的元素；假設A為復數(shù)時，那么前往m a x ( a b s ( A ) )值。 y , i n d = m a x ( A )前往一個行向量，它的第i個元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保管每列的最大數(shù)的行下標。m a x ( A , B ) 前往一個和A、B一樣維數(shù)的矩陣，每一元素都是在A和B中的一樣位置上是最大的元素。max(A , k)將A中小于k的數(shù)換成k。m i n ( x ) 前往向量x中最小的元素

7、。該命令關于矩陣的操作和m a x一樣，假設x是復數(shù)，那么前往m i n ( a b s ( x ) )值。2.求和、乘積和差分s u m ( x ) 前往向量x一切元素的和。s u m ( A ) 前往一個包含矩陣A各列元素之和的行向量。c u m s u m ( x ) 前往一個x中元素累計和的向量，也就是第2個元素是x中前兩個元素之和，以此類推。c u m s u m ( A ) 前往一個與A同樣大小的矩陣，它的列是A中列的累計和。3. 乘積p r o d ( x ) 前往x中各元素乘積。p r o d ( A ) 前往一個元素是列乘積的多維矩陣。cumprod ( x ) 前往一個x中

8、各元素累計積的向量，也就是第2個元素是x中前兩個元素的累計積，以此類推。cumprod ( A ) 前往一個矩陣，其中列元素是A中列元素的累計積。4. 差分和梯度diff ( x ) 給出一個長度為n1的向量，它的元素是長度為n的向量x中相鄰的元素的差。假設x= (x1 x2. . . xn)，那么d i f f( x )= (x2x1 x3x2. . . xnxn1)。diff ( A ) 對A按列作差分。就是d i f f ( A ) = A ( 2 : m , : )A ( 1 : m1 , : )。diff ( x , k ) 求出第k次差分， d i f f ( x , 2 )和d

9、i f f ( d i f f ( x ) )等價。5. 平均值、中值和規(guī)范差m e a n ( x ) 求出向量x的算術平均值。m e a n ( A) 前往按列求算術平均值的行向量。m e d i a n ( x ) 求出向量x中元素的中值。m e d i a n ( A )前往按列求中值的行向量。s t d ( x ) 求出向量x中元素的規(guī)范差。s t d ( A)前往按列求規(guī)范差的行向量。6. 協(xié)方差和相關系數(shù)cov ( x ) 求向量x的協(xié)方差。cov ( A ) 求協(xié)方差矩陣，對角線元素是A中各列的方差。cov ( x , y ) 等同于cov(x y)，x和y是列向量。corrcoef ( A ) 求相關矩陣。corrcoef ( x , y ) 等同于corrcoef(x y) ，x和y是列向量。7. 排序s o r t ( x ) 前往一個向量x的元素按遞增排序的向量。假設元素