旋轉(zhuǎn)體的體積

1、2022-2-201 第三節(jié) 體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積.旋轉(zhuǎn)體: 由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.取橫坐標(biāo)x為積分變量, 它的變化區(qū)間為a, b, 任取一個(gè)小區(qū)間x, x+dx, dxxfV2)(體積元素dxxfdV2)(badxxfV2)(窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成薄片的體積x+dxxabx y=f (x)體積2022-2-202例1: 連接坐標(biāo)原點(diǎn)o及點(diǎn)P(h, r)的直線、直線x=h及 x 軸圍成一個(gè)直角三角形, 將它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為 r , 高為h的的園錐體, 計(jì)算這園錐體的體積.解: 過原點(diǎn)o與點(diǎn)P(h, r)的直線方

2、程為rhxxoydxxP(h, r)xhry 取橫坐標(biāo)x為積分變量, 變化區(qū)間為o, h, 任取一個(gè)小區(qū)間x, x+dx, 對應(yīng)的薄片體積dxxhrV2)(dxxhrdV2)(體積元素2022-2-203hdxxhrV02)( 體積hxhr0322332hr2022-2-204. 1:22222而成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所圍成圖形繞計(jì)算由橢圓例xbyax解: 旋轉(zhuǎn)橢球體可由半個(gè)橢圓22xaaby及x軸圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而得.取x為積分變量, 變化區(qū)間為a, a任一小區(qū)間x, x+dx所對應(yīng)的薄片體積.dxxaabV222)(xax+dxxyob2022-2-205體積元素dxxaabdV222)

3、(aadxxaabV)(2222aaxxaab33222234ab.34 2abV橢球體積 ,球的體積時(shí)當(dāng)ba 234abV橢球體積.34 3aV2022-2-206二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積取定軸為x軸. 設(shè)該立體在過點(diǎn) x=a, x=b 且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間.A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積, 且A(x)在a, b上連續(xù).選x為積分變量, 變化區(qū)間為a, b, 任一小區(qū)間x, x+dx對應(yīng)的薄片的體積 V A(x) dx體積元素dxxAdV)(badxxAV)(x+dxoxabx體積2022-2-207例3: 如圖, 平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角 , 計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.解: 取x為積分變量, 變化區(qū)間為R, R, 在R, R 上任取一點(diǎn)x, 過x作垂直于x軸的平面截立體, 截面的面積tan)(21tan21)(22xRyyxARRoxyyx222RyxRRdxxAV)(RRdxxRtan)(2122