XX屆高考數(shù)學(xué)雙曲線14

1、XX屆高考數(shù)學(xué)雙曲線14第二節(jié)雙曲線一、基本知識(shí)概要：雙曲線的定義定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集。無(wú)外面的絕對(duì)值則為半條雙曲線，左- -右為右支，上- -下為下支等。第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F F 和一條定直線的距離的 比是常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。即點(diǎn)集 = =，一個(gè)比產(chǎn)生整條雙曲線。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn) F1F1。軸實(shí)軸長(zhǎng) 2a2a，虛軸長(zhǎng) 2b2b準(zhǔn)線漸近線共漸近線的雙曲線系方程或焦半徑 P P 在右支上，P P 在左支上，P P 在上支上，P P 在下支上，平面幾何性質(zhì)，大開口大離心率焦準(zhǔn)距準(zhǔn)線間距= =焦?jié)u距= =。說(shuō)明：雙曲線的兩

2、個(gè)定義是解決雙曲線的性質(zhì)問(wèn)題和求 雙曲線方程的兩個(gè)有力工具，所以要對(duì)雙曲線的兩個(gè)定義有 深刻的認(rèn)識(shí)。雙曲線方程中的與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，只有焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐 標(biāo)，準(zhǔn)線及漸近線方程與坐標(biāo)系有關(guān)，因此確定一個(gè)雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件，一個(gè)定位條件， 焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線，漸近線方程。求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法或軌跡方 程法。直線和雙曲線的位置關(guān)系，在二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件 下和橢圓有相同的判定方法和有關(guān)公式，求解問(wèn)題的類型也 相同。唯一不同的是直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不一 定相切。利用共漸近線的雙曲線系或方程解題，常使解法簡(jiǎn)捷。雙曲線的焦半徑，當(dāng)點(diǎn) P P 在右支上時(shí)，為當(dāng)

3、點(diǎn) P P 在左支 上時(shí)，為利用焦半徑公式，解題簡(jiǎn)潔明了，注意運(yùn)用，重點(diǎn)、難點(diǎn)：深刻理解確定雙曲線的形狀，大小的幾個(gè) 主要特征量，掌握定義，性質(zhì)，掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系。思維方式：方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想；待定系數(shù)法， 參數(shù)思想等。二、例題：例 1 1:根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：與雙曲線有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)；與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)。【解】：設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為。設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為。【思維點(diǎn)撥】利用共漸近線的雙曲線系方程解題簡(jiǎn)捷明了。要善于選擇恰當(dāng)?shù)姆匠棠Ｐ汀＠?2 2:在雙曲線上求一點(diǎn) P P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它 到右焦點(diǎn)距

4、離的兩倍。【解】：設(shè) P P 點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)。雙曲線的準(zhǔn)線方程為。二 P P 在雙曲線的右支上。 。把代入方程得。所以，P P 點(diǎn)的坐標(biāo)為【思維點(diǎn)撥】運(yùn)用焦半徑公式，解題簡(jiǎn)潔明了. .例 3 3.設(shè)點(diǎn) P P 到點(diǎn)，N N 距離之差為 2 2,到 x x 軸、y y 軸距離 之比為 2 2,求的取值范圍。解：設(shè)點(diǎn) P P 的坐標(biāo)為，依題意得 因此，點(diǎn) P,NP,N 三點(diǎn)不共線，得因此，點(diǎn) P P 在以，N N 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 2 2 的雙曲線上， 故將代入，并解得，解得 0 0V,即的取值范圍為?！舅季S點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識(shí)，考查了邏輯思維能力

5、及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義。例 4 4:已知雙曲線的離心率，左，右焦點(diǎn)分別的為，左 準(zhǔn)線為，能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P P,使得是 P P 到的距離與的等比中項(xiàng)。【解】：設(shè)在左半支上存在點(diǎn)P P,使，由雙曲線的第二定義知，即再由雙曲線的定義，得由，解得：由在中有，利用，從式得解得與已知矛盾。符合條件的點(diǎn) P P 不存在?！舅季S點(diǎn)撥】利用定義及假設(shè)求出離心率的取值是關(guān)鍵。例 5 5.如圖，在雙曲線的上支有三點(diǎn)，它們與點(diǎn)F F 的距離成等差數(shù)列。求證明：線段 AcAc 的垂直平分線經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)坐標(biāo)解：故 F F 雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)準(zhǔn)線為，離心率為，由題

6、設(shè)有分別過(guò)AB B、c c 作 x x 軸的垂線，則由雙曲線的第二定義 有，代入式，得，于是兩邊均加上準(zhǔn)線與x x 軸距離的 2 2 倍，有AcAc 的中垂線方程為由于A c在雙曲線上，所以有相減得故式化為，易知此直線過(guò)定點(diǎn)?！舅季S點(diǎn)撥】利用第二定義得焦半徑，可使問(wèn)題容易解 決，中垂線過(guò)弦 AcAc 的中點(diǎn)，中點(diǎn)問(wèn)題往往把 A A、c c 的坐標(biāo)代 入方程，兩式相減、變形，即可解決問(wèn)題。例 6 6:已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)和， P P 是雙曲 線上異于A B的任一點(diǎn)，如果 APBAPB 的垂心 H H 總在此雙曲線 上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！窘狻浚涸O(shè)雙曲線方程為為雙曲線上任一點(diǎn)，BN,B

7、N, P P 是 APBAPB 的兩條高，則 BNBN 方程為P P 方程為又得，又 H H 在雙曲線上，.,所以雙曲線方程為【思維點(diǎn)撥】設(shè)方程，消參數(shù)。例 7 7:雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸的長(zhǎng)的積為，它的兩個(gè) 焦點(diǎn)分別為F1,F2F1,F2,直線過(guò) F2F2 且與直線 F1F2F1F2 的夾角為，且， 與線段 F1F2F1F2 的垂直平分線的交點(diǎn)為 P,P,線段 PF2PF2 與雙曲線的 交點(diǎn)為 Q,Q,且:=:=:，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線的方程?！窘狻浚阂?F1F2F1F2 的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F1，F(xiàn)2F2 所在的直線為 軸建立坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程為，設(shè)，不妨設(shè)的方程為，它與軸交點(diǎn)由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式 Q Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為即由點(diǎn) Q Q 在雙曲線上可得又解得，所以雙曲線方程為三、課堂小結(jié)：漸近線是刻畫雙曲線的一個(gè)十分重要的概念，漸進(jìn)線方 程為的雙曲線方程