常見的勾股數(shù)及公式

1、常見的勾股數(shù)及公式武安市黃岡實(shí)驗(yàn)學(xué)校翟升華搜集整理我們知道，如果/ C=90，a、b、c是直角三角形的三邊，則由勾股定理，得 a2+b2=c2； 反之，若三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形，c為斜邊與此 相類似，如果三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿足a2+b2=c2，則稱a、b、c為勾股數(shù)，記為(a，b, c).勾 股數(shù)有無(wú)數(shù)多組，下面向同學(xué)們介紹幾種：一、三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)(3, 4, 5)是我們所熟悉的一組三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)，除此之外是否還有第二組 或更多組呢？設(shè)三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組為(x-1，X, x+1 )，則由勾股數(shù)的定義，得(x+1) 2+x2=

2、(x+1) 2，解得x =4或x =0(舍去)，故三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)只有一組(3， 4，5);類似有3n,4n,5n(n是正整數(shù))都是勾股數(shù)。二、后兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)易知：(5， 12， 13) ， (9， 40， 41) ， (113， 6338， 6385)，, 都是勾股數(shù)，如此許許多多的后兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1 (其特點(diǎn)是斜邊與其中一股的差為 1).分別取n =1,2,3,就得勾股數(shù)組(3,4,5),(5,12,13),(7,2 4,25),三、前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)你知道(2 0,2 1,2 9

3、 ),(119,120,169),( 4 0 5 9,4 0 6 0,5 7 4 1 )，這些都是前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組。 其公式為：(x ,x +1, 2x2 2x 1 ) (x為正整數(shù))。設(shè)前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勺勾股數(shù)組為(x,x+1, y),y= 2x22x 1 則 x2x 1 2 y2(*)整理，得2x21,又12 12x 12 =y ,化為2x 12 2y21 ,即 2x1. 2y 2x 1.2y =2 =- 1,A1 2n 122n 11 2= 1(nN),故取2x 1、-2y =1 22n 12x 1.2y = 2n 112 ,解之，得x =1 11+ 12 2n1 -2,込

4、y =2n 112 1,22n1 ,44故前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勺勾股數(shù)組是(1l 2n1 21 + 1 22n 112,2n 11 2442n 1+ 1 2 -2+1，212n 122r1 21 1)4四、后兩數(shù)為連續(xù)奇數(shù)的勾股數(shù)2 2如(8 , 15, 17),(12 , 35, 37)其公式為：4(n+1),4(n+1) -1,4(n+1) +1(n 是正整數(shù)).五、其它的勾股數(shù)組公式：1.a=2m,b=mi 1,c=m2+1 （m大于 1 的整數(shù)）.=1 （rn n2） ,b=mn,c =丄（吊+n2）（其中 m>n 2 2且是互質(zhì)的奇數(shù)）.=2m,b=rh n2,c=m2+n2（

5、m>n,互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù)） 下面我們把100以內(nèi)的勾股數(shù)組列出來(lái)，供同學(xué)們參考：34 5; 512 13; 6810; 72425; 81517; 9 1215; 940 41; 102426; 116061; 12 16 20；12 35 37; 13 84 85; 14 48 50; 15 20 25; 15 36 39; 15112 113; 1630 34; 1663 6517144 145; 1824 30; 18 80 82; 19 180 181; 2021 29; 20 48 52; 20 99101; 2128 3521 72 75; 21 220 221;

6、22120 122; 23264 265; 2432 40; 24 45 51; 24 7074; 24 143 1452560 65; 25 312 313; 26168 170 ; 2736 45 ; 27120 123 ; 27364 365 ; 2845 53; 28 9610028195197;29420 421;304050 ; 30 72 78 ;30 224 226 ;31480 481 ;3260 68;32 12613032255 257;3344 55;33 5665 ;33 180 183 ;33544 545;34288 290 ;3584 91 ;35 120125

7、35612 613;3648 60 ;36 7785 ;36 105 111 ;36160 164;36323 325 ;37684 685;38360 3623952 65;39 8089 ; 39 252 255 ; 39760 761 ;4042 58 ;40 7585; 40 96104; 40198 20240399 401 ;41840 841;4256 70 ;42 144 150; 42440 442 ; 43924 925 ;44117125;44240 24444483 485 ;4560 75 ;45 108 117 ; 45200 205 ; 45336 339 ; 4

8、6528 530 ;4855 73 ;48 64804890 102;48140148;48189 195 ;48286 290 ;48575 577 ;49168175; 50120 130 ; 50624 6265168 85 ;51 140149 ; 51432 435; 52165173; 52336 340 ; 52675 677 ;5472 90 ;54 240 24654728 730 ;55132143;55300 305 ;5690 106 ;56105 119 ;56192200; 56390 394 ; 56783 7855776 95 ;57176185 ; 57540

9、 543; 58840 842 ; 6063 87 ; 60 80100 ; 6091 109;6014460221 229;60297 303 ;60448 452 ;60899 901 ;62960962; 6384105 ; 63216 22563280 287 ;63660 663 ;64120 136;64252 260 ;64510 514;657297; 65 156 169; 65420 4256688 110 ; 66112 130 ; 66360 366; 68285 293 ; 68576 580 ; 6992115 ; 69260 269 ;

10、69792 79570168182;70240 250 ;7296 120 ;72135 153 ;72154 170 ;72210222; 72320 328 ; 72429 43572646 650 ;75100125;75180 195 ;75308 317 ;75560 565 ;75936939; 76357 365 ; 76720 72477 264 275；77420 427；78104 130；78160 178；78504 510；8084116；80150 170；80192 20880315 325；80396 404；80798 802；81108 135；81360

11、369；84112140；84135 159；84187 20584245 259；84288 300；84 437 445；84585 591；84880 884；85132157；85204 221；85720 72587116 145；87 416 425；88105 137；88165 187；88234 250；88480488；88966 970；90120 15090216 234；90400 410；90672 678；91312 325；91588 595；92525533；93124 155；93476 48595168 193；95 228 247；95900 905；9

12、6110 146；96128 160；96180204；96247 265；96280 29696378 390；96572 580；96765 771；98336 350；99132 165；99168195；99440 451；99540 549100 105 145；0；100 495 505；9. 以下是大于 100 的勾股數(shù)： 第 223 組： 102 136 170 第 224 組： 102 280 298 第 225 組： 102 864 870 第 226 組： 104 153 185 第 227 組： 104 195 221 第 228 組： 104 330 346 第 22

13、9 組： 104 672 680 第 230 組： 105 140 175 第 231 組： 105 208 233 第 232 組： 105 252 273 第 233 組： 105 360 375 第 234 組： 105 608 617 第 235 組： 105 784 791 第 236 組： 108 144 180 第 237 組： 108 231 255 第 238 組： 108 315 333 第 239 組： 108 480 492 第 240 組： 108 725 733 第 241 組： 108 969 975 第 242 組： 110 264 286 第 243 組： 1

14、10 600 610 第 244 組： 111 148 185 第 245 組： 111 680 689 第 246 組： 112 180 212 第 247 組： 112 210 238 第 248 組： 112 384 400 第 249 組： 112 441 455 第 250 組： 112 780 788 第 251 組： 114 152 190 第 252 組： 114 352 370第 253 組 第 254 組 第 255 組 第 256 組 第 257 組 第 258 組 第 259 組 第 260 組 第 261 組 第 262 組 第 263 組 第 264 組 第 265

15、 組 第 266 組 第 267 組 第 268 組 第 269 組 第 270 組 第 271 組 第 272 組 第 273 組 第 274 組 第 275 組 第 276 組 第 277 組 第 278 組 第 279 組 第 280 組 第 281 組 第 282 組 第 283 組 第 284 組 第 285 組 第 286 組 第 287 組 第 288 組 第 289 組 第 290 組 第 291 組 第 292 組 第 293 組 第 294 組 第 295 組 第 296 組 第 297 組 第 298 組115 252 277115 276 299116 837 8451

16、17 156 195117 240 267117 520 533117 756 765119 120 169119 408 425120 126 174120 160 200120 182 218120 209 241120 225 255120 288 312120 350 370120 391 409120 442 458120 594 606120 715 725120 896 904121 660 671123 164 205123 836 845124 957 965125 300 325126 168 210126 432 450126 560 574128 240 272128

17、504 520129 172 215129 920 929130 144 194130 312 338130 840 850132 176 220132 224 260132 351 375132 385 407132 475 493132 720 732133 156 205133 456 475135 180 225135 324 351第 299 組 第 300 組 第 301 組 第 302 組 第 303 組 第 304 組 第 305 組 第 306 組 第 307 組 第 308 組 第 309 組 第 310 組 第 311 組 第 312 組 第 313 組 第 314 組

18、第 315 組 第 316 組 第 317 組 第 318 組 第 319 組 第 320 組 第 321 組 第 322 組 第 323 組 第 324 組 第 325 組 第 326 組 第 327 組 第 328 組 第 329 組 第 330 組 第 331 組 第 332 組 第 333 組 第 334 組 第 335 組 第 336 組 第 337 組 第 338 組 第 339 組 第 340 組 第 341 組 第 342 組 第 343 組 第 344 組135 352 377135 600 615136 255 289136 273 305136 570 586138 18

19、4 230138 520 538140 147 203140 171 221140 225 265140 336 364140 480 500140 693 707140 975 985141 188 235143 780 793143 924 935144 165 219144 192 240144 270 306144 308 340144 420 444144 567 585144 640 656144 858 870145 348 377145 408 433147 196 245147 504 525150 200 250150 360 390150 616 634152 285 3

20、23152 345 377152 714 730153 204 255153 420 447153 680 697154 528 550154 840 854155 372 403155 468 493156 208 260156 320 356156 455 481156 495 519第 345 組 第 346 組 第 347 組 第 348 組 第 349 組 第 350 組 第 351 組 第 352 組 第 353 組 第 354 組 第 355 組 第 356 組 第 357 組 第 358 組 第 359 組 第 360 組 第 361 組 第 362 組 第 363 組 第 3

21、64 組 第 365 組 第 366 組 第 367 組 第 368 組 第 369 組 第 370 組 第 371 組 第 372 組 第 373 組 第 374 組 第 375 組 第 376 組 第 377 組 第 378 組 第 379 組 第 380 組 第 381 組 第 382 組 第 383 組 第 384 組 第 385 組 第 386 組 第 387 組 第 388 組 第 389 組 第 390 組156 667 685159 212 265160 168 232160 231 281160 300 340160 384 416160 630 650160 792 808

22、161 240 289161 552 575162 216 270162 720 738165 220 275165 280 325165 396 429165 532 557165 900 915168 224 280168 270 318168 315 357168 374 410168 425 457168 490 518168 576 600168 775 793168 874 890170 264 314170 408 442171 228 285171 528 555171 760 779174 232 290174 832 850175 288 337175 420 455175

23、 600 625176 210 274176 330 374176 468 500176 693 715176 960 976177 236 295180 189 261180 240 300180 273 327180 299 349第 391 組 第 392 組 第 393 組 第 394 組 第 395 組 第 396 組 第 397 組 第 398 組 第 399 組 第 400 組 第 401 組 第 402 組 第 403 組 第 404 組 第 405 組 第 406 組 第 407 組 第 408 組 第 409 組 第 410 組 第 411 組 第 412 組 第 413

24、組 第 414 組 第 415 組 第 416 組 第 417 組 第 418 組 第 419 組 第 420 組 第 421 組 第 422 組 第 423 組 第 424 組 第 425 組 第 426 組 第 427 組 第 428 組 第 429 組 第 430 組 第 431 組 第 432 組 第 433 組 第 434 組 第 435 組 第 436 組180 385 425180 432 468180 525 555180 663 687180 800 820180 891 909182 624 650183 244 305184 345 391184 513 545185 4

25、44 481185 672 697186 248 310186 952 970189 252 315189 340 389189 648 675189 840 861190 336 386190 456 494192 220 292192 256 320192 360 408192 494 530192 560 592192 756 780195 216 291195 260 325195 400 445195 468 507195 748 773196 315 371196 672 700198 264 330198 336 390198 880 902200 210 290200 375

26、425200 480 520200 609 641201 268 335203 396 445203 696 725204 253 325204 272 340204 560 596第 437 組 第 438 組 第 439 組 第 440 組 第 441 組 第 442 組 第 443 組 第 444 組 第 445 組 第 446 組 第 447 組 第 448 組 第 449 組 第 450 組 第 451 組 第 452 組 第 453 組 第 454 組 第 455 組 第 456 組 第 457 組 第 458 組 第 459 組 第 460 組 第 461 組 第 462 組 第

27、 463 組 第 464 組 第 465 組 第 466 組 第 467 組 第 468 組 第 469 組 第 470 組 第 471 組 第 472 組 第 473 組 第 474 組 第 475 組 第 476 組 第 477 組 第 478 組 第 479 組 第 480 組 第 481 組 第 482 組204 595 629204 855 879205 492 533205 828 853207 224 305207 276 345207 780 807207 920 943208 306 370208 390 442208 660 692208 819 845210 280 35

28、0210 416 466210 504 546210 720 750213 284 355215 516 559215 912 937216 288 360216 405 459216 462 510216 630 666216 713 745216 960 984217 456 505217 744 775219 292 365220 231 319220 459 509220 528 572220 585 625222 296 370224 360 424224 420 476224 768 800224 882 910225 272 353225 300 375225 540 58522

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