分式化簡求值幾大常用技巧

1、分式化簡求值幾大常用技巧在給定的條件下求分式的值，大多數(shù)條件下難以直接代入求值，它必須根據(jù)題目本身的特點(diǎn)，將已 知條件或所求分式適當(dāng)變形，然后巧妙求解常用的變形方法大致有以下幾種： 1、應(yīng)用分式的基本性質(zhì)24 X 2的值是多少？X X 1解：由x = 0，將待求分式的分子、分母同時除以X2，得原式=.X2 1丄(X -)2-1122 -11#2、倒數(shù)法2如果X = 2，X則 4 X 2的值是多少？X4 X2142.X X 12X解：將待求分式取倒數(shù)，得2 11 2 2=x 21 =(X ) _1 二2 _1 二3XX1二原式=_.33、平方法1 2 1例3 已知x 2，則X 的值是多少?XX解

2、：兩邊同時平方，得2 1 2 1 X2 22=4, X22 =4 2 = 2.XX4、設(shè)參數(shù)法a bcab 2bc -3ac &例4已知0，求分式飛 22的值.2 35a2 +2b2 -3c2解：設(shè)a*，貝y235a = 2k,b = 3k,c =5k .十、2k><3k+23k><5k -32k><5k6k26原式=2222(2k)2 +2(3k)2 - 3(5k)253k253例5 已知a =c,求a b _c的值.b c a a b +c解：設(shè)旦=b=c = k，貝yb c aa =bk,b =ck,c =ak.3二 c = ak = bk k

3、 = ck k k = ck , k3 =1,k =1原式=a b -ca -b c5、整體代換法例6已知1 -丄=3,求2x 3xy -2y的值.x yx_2xy_y解：將已知變形，得y - x 二 3xy,即 x - y - -3xy原式=2( x - y) 3xy _ 2 (-3xy) 3xy _ -3xy = 3 (xy)_2xy_3xy_2xy-5xy 5例:例 5.已知 a b ： 0 ,且滿足 a2 - 2ab - ba -42，a3 b31 -3ab的值。解：因?yàn)?a2 - 2ab ba -b =2所以(a b)2 - (a b) -2 =0所以(a b -2)(a b 10-

4、所以a b =2或a -1由 a b ： 0故有a b - -13322所以 a b 二(a bX- ab b )13 ab 一13 ab-1 (a2 - ab b2)1-3aba2 ab b23ab-1(a b)2 3ab3ab -1(-1)2 -3ab3ab -11 -3ab3ab 1評注：本題應(yīng)先對已知條件a2 2ab ba -b =2進(jìn)行變換和因式分解，并由a b ： 0確定出a-1，然后對所給代數(shù)式利用立方和公式化簡，從而問題迎刃而解。6、消元代換法例7 已知abc=1,則- -一 -ab+a+1 bc + b+1 ac + c+11解： abc =1, c ,ab原式=ab a 1

5、b ab b 1十 ab1 1彳a1ab aba ab a 11 ab a a 1 abab a 1“1.ab a 17、拆項(xiàng)法111111例 8 若 a 亠 b，c = O,求 a( ) b( ) c( ) 3 的值.bcacab解：原式：a(b T 12 =0 bG T 1_cG b111111111=a() b() c()abcabcabc111=()(a b c)ab c/ a b c = 0原式=0.8、配方法的值.例9 若 a -b=13b-c=1-、3 求一2a +b +c abac bc解：由 a -b =1 3,b - c = 1 - .、3,得 a c = 2 .- a a

6、2 -b2 = (a b)(a -b) a2 b2 = (a b)2 - 2ab = (a - b)2 2ab a3 b3 = (a b)(a2ab b2) = (a b)(a b)2 -3ab二(a b)33ab(a b) a3b3 = (a-b)(a2 ab b2) = (a-b)(a-b)2 3ab = (ab)3 3ab(ab) ab 二】(a b)2 -(a -b)2 b2 c2 _ab _ac _ b21 - 2 2 2= 3_(a-b) (b-c)(a-c)4#化簡求值切入點(diǎn)介紹解題的切入點(diǎn)是解題的重要方向，是解題的有效鑰匙。分式求值有哪些切入點(diǎn)呢？下面本文結(jié)合例題 歸納六個求分

7、式的值的常見切入點(diǎn)，供同學(xué)們借鑒：切入點(diǎn)一：“運(yùn)算符號”點(diǎn)撥：對于兩個 分母互為相反數(shù)的分式 相加減，只須 把其中一個分式的分母的運(yùn)算符號 提出來，即可 化成同分母分式進(jìn)行相加減。b22a -b4a2b -2a解：原式=b22a b2 2 24a b -4aab 2ab4a22a - b(2ab)(2a -b)(2a -b)=-(2a b) = -2a -b評注：我們在求解異分母分式相加減時，先要仔細(xì)觀察這兩個分式的分母是否互為相反數(shù)。若互為 相反數(shù)，則可以通過改變運(yùn)算符號來化成同分母分式，從而避免盲目通分帶來的繁瑣。切入點(diǎn)二：“常用數(shù)學(xué)運(yùn)算公式”點(diǎn)撥：在求分式的值 時,有些數(shù)學(xué)運(yùn)算公式直接應(yīng)

8、用難以奏效，這時，需要對這些數(shù)學(xué)公式進(jìn)行變形應(yīng)用。例2 :若a2 -3a +1 =0，則a3 的值為a解：依題意知，a = 0，由a2 -3a= 0得2 1a2，1=3a，對此方程兩邊同時除以 a得a 3a- a3A=(a )(a2一12)=(a 丄)(a丄)2-3 =3 (32 3) =18aaaaa評注：在求分式的值時，要高度重視以下這些經(jīng)過變形后的公式的應(yīng)用：切入點(diǎn)三：“分式的分子或分母”點(diǎn)撥：對于分子或分母含有比較繁雜多項(xiàng)式的分式求值，往往需要對這些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式變形處 理，然后再代題設(shè)條件式進(jìn)行求值。例 3 :已知 x y = 3, xy - -5，求2 2x 3xy 2yx*

9、2 * y 2xy2的值。6#例4 :已知xx2 x 1解：依題意知,xx2x 121 得 X +x+13=得,=3，31即x 1 = 3從而得x42.x x 12x=X2 1 A =(x 丄)2 一1 =22 1 =3xx解:2 2x 3xy 2y(x 2y)(x y)x yxy 2xy2xy(x 2y)xy/ xy = 3, xy = _533原式='-55評注:分解因式的方法是打開分式求值大門的有效鑰匙，也是實(shí)現(xiàn)分式約分化簡的重要工具。像本題先利用十字相乘法對分子分解因式，利用提公因式法對分母分解因式，然后約去相同的因式，再代題設(shè)條 件式求值，從而化繁為簡。切入點(diǎn)四：“原分式中的

10、分子和分母的位置”#7評注：取倒數(shù)思想是處理那些分母比分子含有更繁雜代數(shù)式的分式求值問題的重要法寶。像本題利用取倒數(shù)思想巧變原分式中的分子和分母的位置，從而化難為易。切入點(diǎn)五：“題設(shè)條件式”點(diǎn)撥：當(dāng)題設(shè)條件式難以直接代入求值時，不妨對其進(jìn)行等價變換，也許可以找到解題鑰匙。例5:已知32=3，則2x _3y _xy的值為x y7xy +9y 6x3 2解：由3得3y 2x =3xy，貝U 2x 3y - -3xyx y2x -3y -xy7xy 9y - 6x2x-3y-xy_3xy-xy - 4xy 1 , 3(3y2x) 7xy 3 3xy 7xy 16xy 4評注：等價變換思想是溝通已知條

11、件和未知結(jié)論的重要橋梁，是恒等變形的充分體現(xiàn)。像本題通過對 #題設(shè)條件式作等價變換，找到重要解題條件“3y 2x =3xy”和“ 2x 3y = 3xy”，然后作代換處理,從而快速求值。切入點(diǎn)六：“分式中的常數(shù)值”點(diǎn)撥：當(dāng)題設(shè)條件式的值和所要求解的分式的常數(shù)相同時，應(yīng)注意考慮是否可以作整體代入變形求解,以便更快找到解題的突破口。例 6 :設(shè) abc 二 1，ab+ab a 1 bc b 1的值ac c 18題設(shè)條件式作等價變換，找到重要解題條件“3y 2x =3xy”和“ 2x 3y = 3xy”，然后作代換處理,解： abc =1原式aab a abcbc b 1ac c 1#題設(shè)條件式作等價變換，找到重要解題條件“3y 2x =3xy”和“ 2x 3y = 3xy”，然后作代換處理,=IP b 1 bc bc b 1 ac c 11 bc1 b1= =bc b1 ac cabc bcb1 a 1ab1 babc1bbcbc b 1 a abc ab bc b 11 bc b1 b bc ,= 1be + b +1評注：整體代入變形是分式求值的重要策略。像本題緊扣“abc = 1 ”，多次作整體代入處理，先繁后簡，逐項(xiàng)通分，最后順利得到分式的值。綜上可見，找準(zhǔn)切入點(diǎn)，靈活變形可以巧妙求解分式的值。所以，當(dāng)你遇到分式求值題找不到