同濟(jì)高等數(shù)學(xué)1歸納

1、高等數(shù)學(xué)歸納(第一章第三章) 2010126137 彭偉奕第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù) 一 、 集合集合概念：集合（集）是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。元素（元）：組成某個(gè)集合的事物稱為該集合的元素（元）。(a屬于A,記作aA； a不屬于A，記作aA。)表示集合的方法：（1） 列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來，例：A=（2） 描述法：集合M=，例：M=集合間關(guān)系：A包含于B（AB），A不包含于B（AB） A是B的真子集（），A等于B（A=B）,空集是任何非空集合的真子集。集合的運(yùn)算：并，交，差A(yù)B=IA為A的余集或補(bǔ)集，亦記集合運(yùn)算法則：交換律：AB=BA,AB=BA結(jié)合律：（A

2、B）C=A(BC) A(BC)=(AB) C分配律：（AB）C=(AC) (BC) (AB) C=(AC) (BC)對偶律： 直積（笛卡爾乘積）：AB=（x,y）|xA且xB，例：RR=(x,y)|xR,yB為XOY面上全體點(diǎn)的集合，RR記作。 區(qū)間與鄰域：（1）區(qū)間開區(qū)間：（a,b）,a,b為開區(qū)間（a,b）的端點(diǎn)。閉區(qū)間：a,b 半開區(qū)間：a,b, a,b（2）鄰域：以a為中心的任何開區(qū)間稱以點(diǎn)a為鄰域，記作U（a）點(diǎn)a的鄰域，記U(a, )，其中為任一正數(shù)，U(a, )=x|a-xa+=x| |x-a|點(diǎn)a為鄰域的中心，為鄰域半徑。1 / 30點(diǎn)a的去心鄰域，為把鄰域中心去掉，=x|0|

3、x-a|點(diǎn)a的左鄰域：a-，a，點(diǎn)a的右鄰域：a,a+二、映射定義：X，Y兩非空集合，如有一對應(yīng)法則f使X中每一個(gè)元素x，按f，Y中有唯一確定的元素y一之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，f：X，其中y為元素x（在映射f下）的像。構(gòu)成映射的三要素：（1）定義域,=X;(2)值域，Y；（3）對應(yīng)法則f，對于每個(gè)xX,有唯一確定的y=f（x）與之對應(yīng)。滿射、單射、雙射l 從X到Y(jié)上的滿射：任一y都是x中某元素的像。l f為x到y(tǒng)的單射：x中任，且l 雙射：f為一一映射（或雙射）：f既單射，又雙射。逆映射與復(fù)合映射：1）設(shè)f是X到Y(jié)的單射，則由定義，對每一個(gè)y，有唯一的xX，適合f（x）=y.于是，我們

4、可以定義一個(gè)從到X的新映射g，即 g：X對每一個(gè)y，規(guī)定g（y）=x，這x滿足f（x）=y.這個(gè)映射g稱為f的逆映射，記作，其定義域，值域。*只有單射才有逆映射。復(fù)合映射：設(shè)兩個(gè)映射g: X， f：,其中,則由映射g合f可以定義出一個(gè)從X到Z的對應(yīng)法則，他將每一個(gè)xX映成fg（x） Z.顯然，這個(gè)對應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射，這個(gè)映射稱為映射g合f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，記作，即*映射g與f成復(fù)合映射的條件：g的值域必須包含在f定義域內(nèi)，即：三、函數(shù)定義：設(shè)數(shù)集D，則稱映射f：DR為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為 y=f（x），xD其中x稱為自變量，y因變量，記作，即.值域：或f（D）即 f與f（x

5、）的區(qū)別：f表示x與y的對應(yīng)法則，f（x）表示x與對應(yīng)的函數(shù)值。表示函數(shù)的方法：表格法；圖形法；解析法（公式法）構(gòu)成函數(shù)的要素：定義域及對應(yīng)法則f。（如果兩個(gè)函數(shù)定義域和對應(yīng)法則都相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的）函數(shù)的幾種特性（1）函數(shù)的有界性：X, 使則f(x)有上界X, 使f(x)則f(x)有下界 X, 使|f(x)|則f(x)有界如這樣的M不存在則f(x)無界.（2）函數(shù)的單調(diào)性：設(shè) ,I,如I上任意當(dāng)時(shí),恒有則f(x)在I上單調(diào)增加,如I上任意當(dāng)時(shí),恒有則f(x)在I上單調(diào)減少。單調(diào)增加與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。（3）函數(shù)的奇偶性：前提關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果，f（-x）=f（x）則f

6、（x）為偶函數(shù),如果，則f(x)為奇函數(shù)（4）函數(shù)的周期性：設(shè)=D，存在一正數(shù)L使任一x有（xL）D，且f（x+L）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，L為周期，通常說的周期是最小正周期。反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（1）反函數(shù)：設(shè)函數(shù)f：Df（D）是單射，則它存在逆映射，稱此映射為f的反函數(shù)。于是。一般記為，x。F（x）稱為直接函數(shù)，兩函數(shù)關(guān)于y=x對稱。（2）復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u) u=g(x), 則有y=, x稱為由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),定義域,變量u稱為中間變量*構(gòu)成條件：函數(shù)g的值域函數(shù)的運(yùn)算：設(shè)函數(shù)f(x)，g（x）的定義域依次為，則可定義一函數(shù)和（差）fg： ；積：

7、商： 。初等函數(shù)（1）冪函數(shù)：y=（是常數(shù)），（2）指數(shù)函數(shù)：（3）對數(shù)函數(shù)：（4）三角函數(shù)：如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx=,y=cscx=（5）反三角函數(shù)：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等?；境醯群瘮?shù)：有常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次數(shù)的四則運(yùn)算和有限次數(shù)的符合步驟所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)，例如 等都是初等函數(shù)。第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義：設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，不等式 | 都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂

8、于a，記為 ，或 。如果不存在這樣的常數(shù)a，就說數(shù)列沒有極限，或者說數(shù)列是發(fā)散的，習(xí)慣上也說不存在。 定義表達(dá)為： 收斂數(shù)列的性質(zhì)：定理1（極限的唯一性） 如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一。定理2（收斂數(shù)列的有界性） 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。、定理3（收斂數(shù)列的保號性） 如果，且a0.（或a0時(shí)，都有0（或0）。 推論 如果數(shù)列從某一項(xiàng)起有，那么a0（或a0）。定理4 （收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系） 如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。第二節(jié) 函數(shù)的極限 定義：在自變量的某一變化過程中,如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù),那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函

9、數(shù)的極限.1、 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在整數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（無論它多么?。?，總存在，使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式 |f（x）-A| 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記作 當(dāng)（當(dāng)）*左極限 ： 把0|x-|改為，那么A就叫做函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)的左極限，記作 *右極限 ： 把0|x-|X時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式 |f（x）-A|0和0,使得當(dāng)0|x-|0(或A0,使得當(dāng)0|0(或f（x）.定理4 （函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）極限如果 存在，為函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任一收斂于的數(shù)列，且滿

10、足：，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列必收斂，且第三節(jié) 無窮大與無窮小 無窮小定義1 ： 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x（或）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f (x)為當(dāng)x（或）時(shí)的無窮?。ㄌ貏e地，以零為極限的數(shù)列 稱為n時(shí)的無窮小）定理1 在自變量的同一變化過程x（或）中，函數(shù)f (x)具有極限A的充分必要條件是f (x)=A+a，其中a是無窮小 無窮大定義2 ： 設(shè)函數(shù)f (x)在x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）如果對于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)M（或正數(shù)X），只要x適合不等式oIx-x。|X），對應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式|f(x)|M，則稱函數(shù)f(x)為x（或）時(shí)的

11、無窮大。*當(dāng)x（或）時(shí)的無窮大的函數(shù)f(x)，按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的但我們可以說“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作 （或）* 如果在無窮大的定義中，把換成 (或f(x)0，當(dāng)x時(shí)，有g(shù)(x)，則 第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限（及 ）夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列、及滿足下列條件： (1)從某項(xiàng)起，即N，當(dāng)n時(shí)，有 , (2) 那么數(shù)列 的極限存在，且準(zhǔn)則 如果 (1)當(dāng)x(,r)（或|x| M）時(shí)，g(x)f(x)h(x) (2) ,，那么存在，且等于A.準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。準(zhǔn)則 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則f（x）在的左極限必定存在?？挛鞔嬖跍?zhǔn)則 數(shù)列收斂的

12、充要條件：對于任意給定的正數(shù)，存在著正整數(shù)N使mN，nN時(shí)，有 |*兩個(gè)重要極限：（1） （2） 第七節(jié) 無窮小的比較定義：如果0就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮小如果0，就說與是同階無窮??；如果0，k0，就說是關(guān)于的k階無窮小，如果1就說與是等價(jià)無窮小，記作.定理1是等價(jià)無窮小的充分必要條件為 定理2 設(shè)，且lim存在，則lim=lim第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、 函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ，那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)連續(xù). 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，如果區(qū)間包括端點(diǎn)，

13、那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義在此前提下，如果函數(shù)，f(x)有下列三種情形之一： (1)在x=x。沒有定義； (2)雖在x=x。有定義，但不存在； (3)雖在x=x。，有定義，且存在，但f()， 則函數(shù)在點(diǎn)x。為不連續(xù)，而點(diǎn)x。，稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)*第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)、可去間斷點(diǎn)）：x。是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限)都存在，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)（ 無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)）第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)

14、性定理1 設(shè)函數(shù)和g(x)在點(diǎn)x。連續(xù)，則它們的和（差）fg、積fg及商 (當(dāng)g(x。)O時(shí)）都在點(diǎn)x。連續(xù)二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 如果函數(shù)y=在區(qū)間Ix，上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=也在對應(yīng)的區(qū)間Iy=y|y=，xIx上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù).定理3 設(shè)函數(shù)y=fg(x)由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，若，而函數(shù)y=f(u)在u=u。連續(xù)，則定理4 設(shè)函數(shù)y=是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y= (u)復(fù)合而成，U(x。) ，若函數(shù)u=g(x)在x=x。連續(xù)，且g(xo)=uo，而函數(shù)y=f(u)在u=uo連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=在x=x。也連續(xù)。

15、三、初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。如果法f（x）是初等函數(shù)，且是f（x）的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一 有界性與最大值最小值定理最大最小值：對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x。I，使得對于任一xI都有f(x)f(x。) (f(x)f(x。),則稱f（x。）是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）。定理1(有界性與最大值最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值二、零點(diǎn)定理與介值定理定理2(零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)，f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即，f(a) (b)0)，那么在開區(qū)間(a，

16、b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f()=0。定理3(介值定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A 及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f()=C (ab)推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.三、一致連續(xù)性定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義如果對于任意給定的正數(shù)?？偞嬖谥龜?shù)，使得對于區(qū)間，上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)|-|時(shí)。就有 |-| 那么稱函數(shù)，f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的定理4(一致連續(xù)性定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一致連續(xù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)

17、 導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的定義定義 設(shè)函數(shù)y=(x)在點(diǎn)x。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x。處取得增量x(點(diǎn)x。+x仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量y=f(x。+x)一f(x。)；如果y與x之比當(dāng)x 0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處可導(dǎo)并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)，記為，即也可記做或（導(dǎo)數(shù)的定義式(4)也可取不同的形式，常見的有和）。單側(cè)導(dǎo)數(shù)左極限叫左導(dǎo)數(shù)，右極限叫右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)，右導(dǎo)統(tǒng)稱單側(cè)導(dǎo)數(shù)二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(,f(x。)處的切線的斜率，即 =tan a，其中a是切線的傾角.

18、三、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系如果函數(shù)y=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)另一方面，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo).函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且 (1； (2)；(3);二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)在區(qū)間=xI x=f(y)，y內(nèi)也可導(dǎo)，且 或*反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理3 如果u=g(x)

19、在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為或四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1) =0 (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， (7)， (8)， (9)， (10)， (11)， (12)， (13，(14)， (15)，(16)2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)都可導(dǎo)，則(1)， (2) (C是常數(shù))，(3)，(4) (v0)3反函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)x=f(y)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)在內(nèi)也可導(dǎo)，且或4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u)，而u=g(x)且，f(u)及g

20、(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為或第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)（二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)）一般的，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù)我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或,即 或 相應(yīng)的，把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù) 類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般的，(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，分別記作,或，.二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)1 2 3 4 5 0！=16. 7 8 布萊尼茨公式 第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)：一般的，如果變量x和y滿足一個(gè)方程F(x,y

21、)=0，在一定條件下，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)的總有滿足這方程的唯一的y值存在，那么就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的求導(dǎo)：對隱函數(shù)方程兩邊分別對x求導(dǎo)例：求由所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：把方程兩邊分別對x求導(dǎo),得則【對數(shù)求導(dǎo)法：先在y=f（x）的兩邊取對數(shù)，然后再求出y的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般的，若參數(shù)方程 （3）確定y與x的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)為由參數(shù)方程（3）所確定的函數(shù)。 三、相關(guān)變化率設(shè)x=x(t)及Y=Y(t)都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量x與Y間存在某種關(guān)系，從而變化率與間也存在一定關(guān)系這兩個(gè)

22、相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率第五節(jié) 函數(shù)的微分一、微分的定義定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x。及x。+x在這區(qū)間內(nèi)，如果增量y=f(x。+z)-f (x。)可表示為y=Ax+o(x)，(1)其中A是不依賴于x的常數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。是可微的，而Ax叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即dy=Ax函數(shù)的微分 dy或df(x) dy=f(x) x自變量的微分 dx dx=x于是y=f(x)的微分又可記作 導(dǎo)數(shù)也叫微商二、微分的幾何意義對于可微函數(shù)y=f(x)而言，當(dāng)y，是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，dy就是曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

23、相應(yīng)增量.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 (sinx)=cosx d(sin x)=cosxdx (cosx)=- sin x d(cosx)=- sinxdx (tanx)= d(tanx)=玉2xdx (cot x)=- d(cot x)=- =secx.tanx d(sec x)=secx.tanxdx (csc x)=- csc xcotx d(cscr)=-cscxcotxdx = d()=dx = =dx = d()=dx 2函數(shù)和、差、積、商的微分法則 函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 函數(shù)和、差、積、商的微分法則 = = 3復(fù)合函數(shù)的微分法則 Y=f(

24、u) ，u=g(x) 且都可導(dǎo)， y=fg(x)的微分 微分形式不變性四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理一、羅爾定理 費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某鄰域U()內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對任意的x，有f（x）（或f（x），那么=0.（通常導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）羅爾定理：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù);（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)（ab），使得f（）=0二、拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù);（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少

25、有一點(diǎn)（ab），使等式f（b）-f（a）=成立。有限增量公式：（0N時(shí)與都存在，且0；(3)存在(或?yàn)闊o窮大)，那么=第三節(jié) 泰勒公式泰勒(Taylor)中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x。，的某個(gè)開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到(n十1)階的導(dǎo)數(shù)，則對任一x(a，b)有其中 = 這里是x。與x之間的某個(gè)值拉格朗日型余項(xiàng)：=佩亞諾型余項(xiàng)：=麥克勞林公式：第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1設(shè)函數(shù)y=f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a，b)內(nèi) 0，那么函數(shù)y=f(x)在a，b上單調(diào)增加； (2)如果在(a，b)內(nèi)0，則f(x)在a，b上的圖形是凹的； (2)若在(a。b)內(nèi) 0，則f(x)在a，b上的圖形是凸的一般的，設(shè)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x。是I的內(nèi)點(diǎn)如果曲線y=-f(x)在經(jīng)過點(diǎn)(x。，f(x。)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)(x。，f(x。)為這曲線的拐點(diǎn)第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法定義 設(shè)函數(shù)fx)在點(diǎn)x。的某鄰域U(x。)內(nèi)