線性代數(shù)：第5章 相似矩陣第1節(jié)

1、第五章 相似矩陣第一節(jié) 特征值與特征向量第二節(jié) 相似矩陣第三節(jié) 向量的內(nèi)積第四節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化概念求法性質(zhì)AX = X其中，A為n階矩陣 X為n維非零向量特征向量特征向量特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法由定義可知是n n 階矩陣A 的特征值階矩陣A 的特征值0 使齊次線性方程組有非零解 。(A-E)X det0 是滿足的值。(A-E)特征矩陣特征矩陣 n對(duì) 階方陣 ，含有未知量的矩陣。AAE detn的一個(gè) 次多項(xiàng)式( -)。AE特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式det()0 。AE特征方程特征方程求特征值和特征向量的步驟求特征值和特征向量的步驟(1) det()計(jì)算特征多項(xiàng)式AE12(2

2、) det()0, n解特征方程求得特征值 ， ， ，AE(3) ()0 ii對(duì)每一個(gè) ，求解方程組的基礎(chǔ)解系A(chǔ)E X =121122, iiiiiiriiririkkk為則為的屬于特征值 基礎(chǔ)解系的全部特征向量XXXXXXA比如比如性質(zhì)性質(zhì)1 1111 ( ,0) tttkkkk不全為也是的特征向量X =XXA1 ,t為的一個(gè)特征值，為屬于特征值 特征向量AXX ,n 12的特征值為A111d et()niiniiiiinaA等式兩邊同次冪系數(shù)必相等跡性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4 4即教材定理即教材定理2 2性質(zhì)性質(zhì)3 301( )mmf xaa xa x為特征值為相應(yīng)特征向量X01( )( ),mm

3、faaaf的特征值為特征向量為AEAAX不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)證明？證明？1,mm1設(shè)是互不相等的特征值，相應(yīng)特征向量為。XXm對(duì) 用數(shù)學(xué)歸納法1X ,Xm線性無關(guān)110 m 當(dāng)時(shí)， 結(jié)論成立,Xmk假設(shè)時(shí)結(jié)論成立11111, kkkkkkkkmkcc1111當(dāng)時(shí)，設(shè)線性相關(guān)線性無關(guān)可由線性表示1120,0kkac cc不全為證證1111 1111kkkkkkkkkkkcccccc111兩邊同時(shí)左乘AAA1111()(0)kkkkkcc1111111(1,2, ), ,0()()0,ikkkkkkkikcccc1不全為，不全為線性相關(guān)1,kkk11與線性無關(guān)矛盾所以，線性無關(guān)性質(zhì)性質(zhì)5 5112, ,(1,2,)imiiirnmim是 階矩陣 的 個(gè)互異特征值線性