靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

1、.第4章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算4.1 結(jié)構(gòu)位移的概念4.1.1 結(jié)構(gòu)位移結(jié)構(gòu)都是由變形材料制成的，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到外部因素的作用時(shí)，它將產(chǎn)生變形和伴隨而來(lái)的位移。變形是指形狀的改變，位移是指某點(diǎn)位置或某截面位置和方位的移動(dòng)。如圖4.1(a)所示剛架,在荷載作用下發(fā)生如虛線所示的變形，使截面A的形心從A點(diǎn)移動(dòng)到了A點(diǎn)，線段AA稱(chēng)為A點(diǎn)的線位移，記為，它也可以用水平線位移和豎向線位移兩個(gè)分量來(lái)表示如圖4.1(b)。同時(shí)截面A還轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，稱(chēng)為截面A的角位移，用表示。又如圖4.2所示剛架，在荷載作用下發(fā)生虛線所示變形，截面A發(fā)生了角位移。同時(shí)截面B發(fā)生了的角位移，這兩個(gè)截面的方向相反的角位移之和稱(chēng)為截面

2、A、B的相對(duì)角位移，即。同理，C、D兩點(diǎn)的水平線位移分別為如，這兩個(gè)指向相反的水平位移之和稱(chēng)為C、D兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移，既。除上述位移之外，靜定結(jié)構(gòu)由于支座沉降等因素作用，亦可使結(jié)構(gòu)或桿件產(chǎn)生位移，但結(jié)構(gòu)的各桿件并不產(chǎn)生內(nèi)力，也不產(chǎn)生變形，故把這種位移稱(chēng)為剛體位移。一般情況下，結(jié)構(gòu)的線位移、角位移或者相對(duì)位移，與結(jié)構(gòu)原來(lái)的幾何尺寸相比都是極其微小的。圖4.1圖4.2引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的主要因素有：荷載作用、溫度改變、支座移動(dòng)及桿件幾何尺寸制造誤差和材料收縮變形等。4.1.2 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的目的1. 驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度結(jié)構(gòu)在荷載作用下如果變形太大，即使不破壞也不能正常使用。既結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，要計(jì)算結(jié)構(gòu)的

3、位移，控制結(jié)構(gòu)不能發(fā)生過(guò)大的變形。讓結(jié)構(gòu)位移不超過(guò)允許的限值，這一計(jì)算過(guò)程稱(chēng)為剛度驗(yàn)算。2. 解算超靜定計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的的反力和內(nèi)力時(shí)，由于靜力平衡方程數(shù)目不夠，需建立位移條件的補(bǔ)充方程，所以必須計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。3. 保證施工在結(jié)構(gòu)的施工過(guò)程中，也常常需要知道結(jié)構(gòu)的位移，以確保施工安全和拼裝就位。4. 研究振動(dòng)和穩(wěn)定在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算中，也需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移?？梢?jiàn)，結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算在工程上是具有重要意義的。4.1.3 位移計(jì)算的有關(guān)假設(shè)在求結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，為使計(jì)算簡(jiǎn)化，常采用如下假定：(1)結(jié)構(gòu)的材料服從胡克定律，既應(yīng)力應(yīng)變成線性關(guān)系。(2)結(jié)構(gòu)的變形很小，不致影響荷載的作用。在建立平衡方

4、程時(shí)，仍然用結(jié)構(gòu)原有幾何尺寸進(jìn)行計(jì)算；由于變形微小，應(yīng)力應(yīng)變與位移成線性關(guān)系。(3)結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不需要考慮摩擦阻力等影響。對(duì)于實(shí)際的大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)，按照上述假定計(jì)算的結(jié)果具有足夠的精確度。滿足上述條件的理想化的體系，其位移與荷載之間為線性關(guān)系，常稱(chēng)為線性變形系。當(dāng)荷載全部去掉后，位移即全部消失。對(duì)于此種體系，計(jì)算其位移可以應(yīng)用疊加原理。位移與荷載之間呈非線性關(guān)系的體系稱(chēng)為非線性變形體系。線性變形體系和非線性變形體系統(tǒng)稱(chēng)為變形體系。本書(shū)只討論線性變形體系的位移計(jì)算。4.2 變形體系的虛功原理4.2.1 虛功和剛體系虛功原理實(shí)功：若力在自身引起的位移上做功，所做的功稱(chēng)為實(shí)功。虛功：若

5、力在彼此無(wú)關(guān)的位移上做功，所做的功稱(chēng)為虛功。虛功有兩種情況：其一，在做功的力與位移中，有一個(gè)是虛設(shè)的，所做的功是虛功；其二，力與位移兩者均是實(shí)際存在的，但彼此無(wú)關(guān)，所做的功是虛功。剛體系虛功原理：剛體系處于平衡的充分必要條件是，對(duì)于任何虛位移，所有外力所做虛功總和為零。所謂虛位移是指約束條件所允許的任意微小位移。4.2.2 變形體系虛功原理變形體系虛功原理：變形體系處于平衡的充分必要條件是，對(duì)任何虛位移，外力在此虛位移上所做虛功總和等于各微段上內(nèi)力在微段虛變形位移上所做虛功總和。此微段內(nèi)力所做虛功總和在此稱(chēng)為變形虛功(其他書(shū)也稱(chēng)內(nèi)力虛功或虛應(yīng)變能)。用表示或接下去著重從物理概念上論證變形體系虛

6、功原理的成立。做虛功需要兩個(gè)狀態(tài)，一個(gè)是力狀態(tài)，另一個(gè)是與力狀態(tài)無(wú)關(guān)的位移狀態(tài)。如圖4.3(a)所示，一平面桿件結(jié)構(gòu)在力系作用下處于平衡狀態(tài)，稱(chēng)此狀態(tài)為力狀態(tài)。如圖4.3(b)所示該結(jié)構(gòu)由于別的原因而產(chǎn)生了位移。稱(chēng)此狀態(tài)為位移狀態(tài)。這里，位移可以是與力狀態(tài)無(wú)關(guān)的其他任何原因(例如另一組力系、溫度變化、支座移動(dòng)等)引起的，也可以是假想的。但位移必須是微小的，并為支座約束條件如變形連續(xù)條件所允許，既應(yīng)是所謂協(xié)調(diào)的位移。圖4.3現(xiàn)從如4.3(a)所示力狀態(tài)任取出一微段來(lái)作用在微段上的力既有外力又有內(nèi)力，這些力將在如圖4.3(b)所示位移狀態(tài)中的對(duì)應(yīng)微段由ABCD移到了ABCD的位移上做虛功。把所有微

7、段的虛功總和起來(lái)，便得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的虛功。(1)按外力虛功和內(nèi)力虛功計(jì)算結(jié)構(gòu)總虛功。設(shè)作用于微段上所有各力所做虛功總和為，它可分為兩部分：一部分是微段表面上外力所做的功dwe，另一部分是微段截面上的內(nèi)力所做的功，既沿桿段積分求和，得整個(gè)結(jié)構(gòu)的虛功為簡(jiǎn)寫(xiě)為是整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有外力(包括荷載和支座反力)所做虛功總和，簡(jiǎn)稱(chēng)外力虛功；是所有微段截面上的內(nèi)力所做虛功總和。由于任何相鄰截面上的內(nèi)力互為作用力與反作用力，它們大小相等方向相反，且具有相同位移，因此每一對(duì)相鄰截面上的內(nèi)力虛功總是互相抵消。由此有于是整個(gè)結(jié)構(gòu)的總虛功便等于外力虛功 (a)(2)按剛體虛功與變形虛功計(jì)算結(jié)構(gòu)總虛功我們可以把如圖4.1(b)

8、所示位移狀態(tài)中微段的虛位移分解為兩部分，第一部分僅發(fā)生剛體位移 (由ABCD移到)，然后再發(fā)生第二部分變形位移(移到)。作用在微段上的所有力在微段剛體位移上所做虛功為，由于微段上的所有力含微段表面的外力及截面上的內(nèi)力，構(gòu)成一平衡力系。其在剛體位移上所做虛功。作用在微段上的所有力在微段變形位移上所做虛功為，由于當(dāng)微段發(fā)生變形位移時(shí)，僅其兩側(cè)面有相對(duì)位移，故只有作用在兩側(cè)面上的內(nèi)力做功，而外力不作功。實(shí)質(zhì)是內(nèi)力在變形位移上所做虛功，即沿桿段積分求和、得整個(gè)結(jié)構(gòu)的虛功為 簡(jiǎn)寫(xiě)為由于 (b)所以有結(jié)構(gòu)力狀態(tài)上的力在結(jié)構(gòu)位移狀態(tài)上的虛位移所做虛功只有一個(gè)確定值，比較(a)、(b)式可得 這就是要證明的結(jié)

9、論。的計(jì)算如下：對(duì)平面桿系結(jié)構(gòu)，微段的變形如圖4.36(b)所示?？梢苑纸鉃檩S向變形，彎曲變形和剪切變形為。微段上的外力無(wú)對(duì)應(yīng)的位移因而不做功，而微段上的軸力、彎矩和剪力的增量和在變形位移所做虛功為高階微量，可略去。因此微段上各內(nèi)力在其對(duì)應(yīng)的變形位移上所做虛功為 對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)有為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，將外力虛功改用表示，變形體虛功方程為： (4-1)對(duì)于平面桿件結(jié)構(gòu)有 (4-2)故虛功方程為 (4-3)上面討論中，沒(méi)有涉及到材料的物理性質(zhì)，因此對(duì)于彈性、非彈性、線性、非線性的變形體系，虛功原理都適用。剛體系虛功原理是變形體系虛功原理的一個(gè)特例，即剛體發(fā)生位移時(shí)各微段不產(chǎn)生變形，故變形虛功。此時(shí)(4-1)式

10、成為 (4-4)虛功原理在具體應(yīng)用時(shí)有兩種方式：一種是對(duì)于給定的力狀態(tài)，另外虛設(shè)一個(gè)位移狀態(tài)，利用虛功方程來(lái)求解力狀態(tài)中的未知力，這樣應(yīng)用的虛功原理可稱(chēng)為虛位移原理。在理論力學(xué)中曾討論過(guò)這種應(yīng)用方式。虛功原理的另一種應(yīng)用方式是對(duì)于給定的位移狀態(tài)，另外虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，利用虛功方程來(lái)求解位移狀態(tài)中的未知位移，這樣應(yīng)用的虛力原理可稱(chēng)為虛功原理。4.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般方式虛力原理是在虛功原理兩個(gè)彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài)中，在位移狀態(tài)給定的條件下，通過(guò)虛設(shè)平衡力狀態(tài)而建立虛功方程求解結(jié)構(gòu)實(shí)際存在的位移。4.3.1 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式1. 公式推導(dǎo)如圖4.4(a)所示,剛架在荷載支座移動(dòng)及溫度變化等因素影響

11、下，產(chǎn)生了如虛線所示的實(shí)際變形，此狀態(tài)為位移狀態(tài)。為求此狀態(tài)的位移需按所求位移相對(duì)應(yīng)的虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)。若求4.4(a)所示剛架K點(diǎn)沿方向的位移，現(xiàn)虛設(shè)如圖4.4(b)所示剛架的力狀態(tài)。即在剛架K點(diǎn)沿?cái)M求位移的方向虛加一個(gè)集中力，為使計(jì)算簡(jiǎn)便令。為求外力虛功W，在位移狀態(tài)中給出了實(shí)際位移、和，在力狀態(tài)中可根據(jù)的作用求出、支座反力。力狀態(tài)上的外力在位移狀態(tài)上的相應(yīng)位移做虛功為。為求變形虛功，在位移狀態(tài)中任取一微段，微段上的變形位移分別為在力狀態(tài)中，可在與位移狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的相同位置取微段，并根據(jù)的作用可求出微段上的內(nèi)力。這樣力狀態(tài)微段上的內(nèi)力，在位移狀態(tài)微段上的變形位移所做虛功為：圖4.4而整個(gè)結(jié)構(gòu)的

12、變形虛功為 由虛功原理有 可得 (4-5)(4-5)式就是平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。如果確定了虛擬力狀態(tài)，其反力和微段上的內(nèi)力，可求，同時(shí)若已知了實(shí)際位移狀態(tài)支座的位移C，并可求解微段的變形。則位移可求。若計(jì)算結(jié)果為正，表示單位荷載所做虛功為正，即所求位移的指向與單位荷載的指向相同，為負(fù)則相反。4.3.2 單位荷載的設(shè)置利用虛功原理來(lái)求結(jié)構(gòu)的位移，很關(guān)鍵的是虛設(shè)恰當(dāng)?shù)牧顟B(tài)，而方法的巧妙之處在于虛設(shè)的單位荷載一定在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向設(shè)置，這樣虛功恰等于位移。這種計(jì)算位移的方法稱(chēng)為單位荷載法。在實(shí)際問(wèn)題中，除了計(jì)算線位移外，還要計(jì)算角位移、相對(duì)位移等。因集中力是在其相應(yīng)的線位移上做功

13、，力偶是在其相應(yīng)的角位移上做功，則若擬求絕對(duì)線位移，則應(yīng)在擬求位移處沿?cái)M求線位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位集中力；若擬求絕對(duì)角位移，則應(yīng)在擬求角位移處沿?cái)M求角位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位集中力偶；若擬求相對(duì)位移，則應(yīng)在擬求相對(duì)位移處沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的一對(duì)平衡單位力或力偶。圖4.5分別表示了在擬求的單位荷載設(shè)置。圖4.5為研究問(wèn)題的方便，在位移計(jì)算中，我們引入廣義位移和廣義力的概念。線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移以及某一組位移等，可統(tǒng)稱(chēng)為廣義位移；而集中力、力偶、一對(duì)集中力、一對(duì)力偶以及某一力系等，則統(tǒng)稱(chēng)為廣義力。這樣在求任何廣義位移時(shí)，虛擬狀態(tài)所加的荷載就應(yīng)是與所求廣義位移相應(yīng)的單位廣義力。這

14、里的“相應(yīng)”是指力與位移在做功的關(guān)系上的對(duì)應(yīng)，如集中力與線位移對(duì)應(yīng)、力偶與角位移對(duì)應(yīng)等。4.4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算這里所說(shuō)的結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算，僅限于線彈性結(jié)構(gòu)，即位移與荷載成線性關(guān)系，因而計(jì)算位移時(shí)荷載的影響可以疊加，而且當(dāng)荷載全部撤除后位移也完全消失。這樣的結(jié)構(gòu)，位移應(yīng)是微小的，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系符合胡克定律。設(shè)位移僅是荷載引起，而無(wú)支座移動(dòng)，故式(4-5)中的一項(xiàng)為零，位移計(jì)算公式為 (a)式中，用了兩個(gè)腳標(biāo)，第一個(gè)腳標(biāo)K表示該位移發(fā)生的地點(diǎn)和方向，第二個(gè)腳標(biāo)P表示引起該位移的原因，既是廣義荷載引起的。為虛擬力狀態(tài)中微段上的內(nèi)力，如圖4.6(b)所示。是實(shí)際位移狀態(tài)中微

15、段發(fā)生的變形位移。若引起實(shí)際位移的原因是荷載，既結(jié)構(gòu)在荷載作用下微段上的變形位移，由荷載在微段上引起的內(nèi)力通過(guò)材料力學(xué)相關(guān)公式可求。設(shè)荷載作用下微段上的內(nèi)力為，如圖4.6(a)所示，分別引起的變形位移為 (b) (c) (d)式中，E為材料的彈性模量；I和A分別為桿件截面的彈性矩和面積；G為材料的切變模量；K為切應(yīng)力沿截面分布不均勻而引用的修正系數(shù)。其值與截面形狀有關(guān)，矩形截面，圓形截面，薄壁圓環(huán)截面，工字形截面為腹板截面面積。應(yīng)該指出：上述關(guān)于微段變形位移的計(jì)算，對(duì)于直桿是正確的，而對(duì)于曲桿還需考慮曲率對(duì)變形的影響。不過(guò)對(duì)于工程中常用的曲桿結(jié)構(gòu)，由于其截面高度與曲率半徑相比很小(稱(chēng)小曲率桿)

16、，曲率的影響不大，仍可按直桿公式計(jì)算。將前面的(b)、(c)、(d)式代入(a)式得 (4-6)上式為平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。(4-6)式中右邊三項(xiàng)分別代表結(jié)構(gòu)的彎曲變形、軸向變形和剪切變形對(duì)所求位移的影響。圖4.6在荷載作用下的實(shí)際結(jié)構(gòu)中，不同的結(jié)構(gòu)形式其受力特點(diǎn)不同，各內(nèi)力項(xiàng)對(duì)位移的影響也不同。為簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)不同結(jié)構(gòu)常忽略對(duì)位移影響較小的內(nèi)力項(xiàng)，這樣既滿足于工程精度求，又使計(jì)算簡(jiǎn)化。各類(lèi)結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算簡(jiǎn)化公式如下1)梁和剛架位移主要是彎矩引起，為簡(jiǎn)化計(jì)算可忽略剪力和軸力對(duì)位移的影響。 (4-7)2)桁架各桿件只有軸力 (4-8)3)拱對(duì)于拱，當(dāng)其軸力與壓力線相近(兩者的距離

17、與拱截面高度為同一數(shù)量級(jí))或者為扁平拱時(shí)要考慮彎矩和軸力對(duì)位移的影響。 (4-9)其他情況下一般只考慮彎矩對(duì)位移的影響。 (4-10)4)組合結(jié)構(gòu)此類(lèi)結(jié)構(gòu)中梁式桿以受彎為主、只計(jì)算彎亂一項(xiàng)的影響；對(duì)于鏈桿只有軸力影響。 (4-11)【例4.1】如圖4.7(a)所示剛架，各桿段抗彎剛度均為EI，試求B截面水平位移。圖4.7解：已知實(shí)際位移狀態(tài)如圖4.7(a)所示，設(shè)立虛擬單位力狀態(tài)如圖4.7(b)。剛架彎矩以內(nèi)側(cè)受拉為正，有BA桿： BC桿： 將內(nèi)力及代入(4-7)式有【例4.2】求如圖4.8(a)所示等截面圓弧形曲桿B點(diǎn)的豎向位移?？紤]彎曲、軸向、剪切變形,并設(shè)桿的截面高度與其曲率半徑之比很小

18、(小曲率桿)。圖4.8解：已知實(shí)際位移狀態(tài)如圖4.8(a)所示設(shè)立虛擬單位力狀態(tài)如圖4.8(b)所示，取圓心O為極坐標(biāo)原點(diǎn)，角為自變量，則內(nèi)力正向示于圖4.8(c)，將以上內(nèi)力和代入(4-6)式有積分得分析：以分別表示彎曲變形、軸向變形和剪切變形引起的位移，則有舉一個(gè)具體例子，比較其大小。對(duì)于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，若截面為矩形此時(shí) 通常，則有可見(jiàn)，在豎向荷載作用下，對(duì)于一般曲桿，剪切變形，軸向變形與彎曲變形引起的位移相比很小，可以略去?！纠?.3】試計(jì)算如圖4.9(a)所示桁架結(jié)點(diǎn)C的豎向位移。設(shè)各桿EA為同一常數(shù)。圖4.9解：實(shí)際位移狀態(tài)如圖4.9(a)所示，并求內(nèi)力，設(shè)立虛擬單位力狀態(tài)如圖4.9

19、(b)所示，并求內(nèi)力，代入(4-8)式有4.5 圖 乘 法計(jì)算梁和剛架在荷載作用下的位移時(shí)，先要寫(xiě)出和的方程式，然后代入公式 (a)進(jìn)行積分運(yùn)算。當(dāng)荷載比較復(fù)雜時(shí)，兩個(gè)函數(shù)乘積的積分計(jì)算很繁瑣。當(dāng)結(jié)構(gòu)的各桿段符合下列條件時(shí)，問(wèn)題可以簡(jiǎn)化。(1)桿軸線為直線。 (2)EI為常數(shù)。(3)和兩個(gè)彎矩圖至少有一個(gè)為直線圖形。若符合上述條件，則可用下述圖乘法來(lái)代替積分運(yùn)算，使計(jì)算工作簡(jiǎn)化。如圖4.10所示為等截面直桿AB段上的兩個(gè)彎矩圖，圖為一段直線，圖為任意形狀對(duì)于圖示坐標(biāo)，于是有 (b)圖4.10式中，表示圖的微面積，因而積分就是圖形面積對(duì)Y軸的靜矩。這個(gè)靜矩可以寫(xiě)為 (c)其中為圖形心到Y(jié)軸的距離

20、。將式(c)代入(b)式，得。而為圖中與圖形心相對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。于是(b)式可寫(xiě)為 (4-12)上述積分式等于一個(gè)彎矩圖的面積乘以其形心所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖的豎標(biāo)再除以EI。這種利用圖形相乘來(lái)代替兩函數(shù)乘積的積分運(yùn)算稱(chēng)為圖乘法。根據(jù)上面的推證過(guò)程，在應(yīng)用圖乘法時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)必須符合前進(jìn)前述的條件。(2)豎標(biāo)只能取自直線圖形。(3)與若在桿件同側(cè)圖乘取正號(hào)，異側(cè)取負(fù)號(hào)。(4)需要掌握幾種簡(jiǎn)單圖形的面積及形心位置，如圖4.12所示。(5)當(dāng)遇到面積和形心位置不易確定時(shí)，可將它分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，分別與另一圖形相乘，然后把結(jié)果疊加。例如如圖4.11(a)所示兩個(gè)梯形相乘時(shí)，梯形的形心不易

21、定出，我們可以把它分解為兩個(gè)三角形，形心對(duì)應(yīng)豎標(biāo)分別為，則式中 當(dāng)或圖的豎標(biāo)不在基線的同一側(cè)時(shí)，可繼續(xù)分解為位基線兩側(cè)的兩個(gè)三角形，如圖4.11(b)所示(基線上)(基線下)(基線下)(基線下)圖4.11如圖4.12所示為幾種簡(jiǎn)單圖形，其中各拋物線圖形均為標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。在采用圖形數(shù)據(jù)時(shí)一定要分清楚是否標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。所謂標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形，是指拋物線圖形具有頂點(diǎn)(頂點(diǎn)是指切線平行于底邊的點(diǎn))，并且頂點(diǎn)在中點(diǎn)或者端點(diǎn)。圖4.12(6)當(dāng)所在圖形是折線時(shí)，或各桿段截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加，如圖4.13所示。圖4.13如圖4.13(a)所示應(yīng)為圖4.13(b)應(yīng)為【例4.4】試用圖乘法計(jì)

22、算如圖4.14(a)所示簡(jiǎn)支剛架距截面C的豎向位移，B點(diǎn)的角位移和D、E兩點(diǎn)間的相對(duì)水平位移，各桿EI為常數(shù)。圖4.14解：(1)計(jì)算C點(diǎn)的豎向位移。作出圖和C點(diǎn)作用單位荷載時(shí)的圖所示，分別如圖4.14(b)、(c)所示。由于圖是折線，故需分段進(jìn)行圖乘，然后疊加。(2)計(jì)算B結(jié)點(diǎn)r 角位移。在B點(diǎn)處加單位偶，單位彎矩圖如圖4.14(d)所示，將與圖乘得式中最初所用負(fù)號(hào)是因?yàn)閮蓚€(gè)圖形在基線的異側(cè)，最后結(jié)果為負(fù)號(hào)表示的實(shí)際轉(zhuǎn)向與所加單位力偶的方向相反。(3)為求D、E兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移，在D、E兩點(diǎn)沿著兩點(diǎn)連線加一對(duì)指向相反的單位力為虛擬狀態(tài)，作出圖如圖4.14(e)所示，將與圖乘得計(jì)算結(jié)果為正號(hào)

23、，表示D、E兩點(diǎn)相對(duì)位移方向與所設(shè)單位力的指向相同，即D、E兩點(diǎn)相互靠近?！纠?.5】試求如圖4.15(a)所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移。梁的EI為常數(shù)。圖4.15解：作和圖，分別如圖4.15(b)、(c)。BC段圖是標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形；AB段圖不是標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，現(xiàn)將其分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。由圖乘法可得【例4.6】試求如圖4.16(a)所示組合結(jié)構(gòu)D端的豎向位移。，受彎桿件截面慣性矩，拉桿BE的截面面積。 (a) (b) (c)圖4.16解：作出實(shí)際荷載作用下的彎矩圖，并求出BE桿軸力，如圖4.16(b)所示，在D端加一豎向單位力，作出圖和BE桿軸力，如圖4.16(c)所

24、示按(4-11)式圖乘及運(yùn)算。從上面的計(jì)算可知：彎矩和軸力對(duì)位移的影響分別占89%和11%，顯然在組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算中鏈桿的軸力是不能略去的。4.6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化引起的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生變形，從而產(chǎn)生位移。如圖4.17(a)所示，結(jié)構(gòu)外側(cè)升高時(shí)內(nèi)側(cè)升高，現(xiàn)要求由此引起的K點(diǎn)豎向位移。此時(shí)，位移計(jì)算的一般公式(4-5)成為 (a)為求，需求先微段上由于溫度變化而引起的變形位移.實(shí)際位移狀態(tài) 虛擬單位力狀態(tài)圖4.17取實(shí)際位移狀態(tài)中的微段如圖4.17(a)所示，微段上、下邊緣處的纖維由于溫度升高而伸長(zhǎng)，分別為和，這里又是材料的線膨脹系數(shù)。為簡(jiǎn)化計(jì)算，可假設(shè)溫度沿截面高度成

25、直線變化，這樣在溫度變化時(shí)截面仍保持為平面。由幾何關(guān)系可求微段在桿軸處的伸長(zhǎng)為 (b)式中，為桿軸線處的溫度變化。若桿件的截面對(duì)稱(chēng)于形心軸，即，則而微段兩端截面的轉(zhuǎn)角為 (c)式中，為兩側(cè)溫度變化之差。對(duì)于桿件結(jié)構(gòu)，溫度變化并不引起剪切變形，即。將以上微段的溫度變形，即式(b)、(c)代入式(a)，可得 (4-13)若各桿均為等截面桿，則 (4-14)式中，為圖的面積。圖的面積。(4-13)(4-14) 為圖的面積是溫度變化所引起的位移計(jì)算的一般公式，它右邊兩項(xiàng)的正負(fù)號(hào)作如下規(guī)定：若虛擬力狀態(tài)的變形與實(shí)際位移狀態(tài)的溫度變化所引起的變形方向一致則取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。對(duì)于梁和剛架，在計(jì)算溫度變化

26、所引起的位移時(shí)，一般不能略去軸向變形的影響。對(duì)于桁架，在溫度變化時(shí)，其位移計(jì)算公式為 (4-15)當(dāng)桁架的桿件長(zhǎng)度因制造而存在誤差時(shí)，由此引起的位移計(jì)算與溫度變化時(shí)相類(lèi)似。設(shè)各桿長(zhǎng)度誤差為，則位移計(jì)算公式為 (4-16)式中，以伸長(zhǎng)為正，以拉力為正；否則反之?！纠?.7】如圖4.18(a)所示剛架，已知?jiǎng)偧芨鳁U內(nèi)側(cè)溫度無(wú)變化，外側(cè)溫度下降16，各桿截面均為矩形，高度為，線膨脹系數(shù)。試求溫度變化引起的點(diǎn)豎向位移。圖4.18解：設(shè)立虛擬單位力狀態(tài)，作出相應(yīng)的和圖，分別如圖4.18 (b)、(c)所示。AB桿由于溫度變化產(chǎn)生軸向收縮變形，與所產(chǎn)生的變形(壓縮)方向相同。而AB和BC桿由于溫度變化產(chǎn)生

27、的彎曲變形(外側(cè)纖維縮短，向外側(cè)彎曲)與由所產(chǎn)生的彎曲變形(外側(cè)受拉，向內(nèi)側(cè)彎曲)方向相反，故計(jì)算時(shí)，第一項(xiàng)取正號(hào)而第二項(xiàng)取負(fù)號(hào)。代入(4-14)式得由于，所得結(jié)果為負(fù)值，表示C點(diǎn)豎向位移與單位力方向相反，即實(shí)際位移 向上。4.7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算由于靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)不會(huì)引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形，只會(huì)使結(jié)構(gòu)發(fā)生剛體位移，此時(shí)，位移計(jì)算的一般公式(4-5)或?yàn)?(4-17)式(4-17)為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算公式。式中，為虛擬單位力狀態(tài)的支座反力。為反力虛功的總和。當(dāng)與實(shí)際支座位移C方向一致時(shí)其乘積取正，相反時(shí)為負(fù)。此外，式(4-17)右項(xiàng)，前有一負(fù)號(hào)，系原來(lái)移項(xiàng)時(shí)產(chǎn)生，不可漏掉?！纠?.8】如圖4.19(a)所示三鉸剛架，若支座B發(fā)生如圖所示位移，求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角。圖4.19解：在A點(diǎn)處加一單位力偶，建立虛擬力狀態(tài)。依次求得支座反力，如圖4.19(b)所示。由式(4-17)得 ( )若靜定結(jié)構(gòu)同時(shí)承受荷載、溫度變化和支座移動(dòng)的作用，則計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式為 (4-18)4.7 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理對(duì)于線性變形體，由虛功原理可推導(dǎo)出4個(gè)互等定理，其中虛功互等定理是最基本的，其他幾個(gè)互等定理皆可由虛功互等定理推出。1. 虛功互等定理(也稱(chēng)功的互等定理)定義：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的功等于第二狀態(tài)的外力在第