《高等數(shù)學(xué)》第6章常微分方程

1、 知識(shí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)u了解二階微分方程解的結(jié)構(gòu)；了解二階微分方程解的結(jié)構(gòu)；u理解微分方程、階、解、通解、初始條件各理解微分方程、階、解、通解、初始條件各特解等概念；特解等概念；u掌握可分離變量方程的解法；掌握可分離變量方程的解法；u掌握一階線性微分方程的解法；掌握一階線性微分方程的解法；u掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，掌握兩種常見類型的二階常系數(shù)非齊次線性掌握兩種常見類型的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法微分方程的解法. 能力目標(biāo)能力目標(biāo) 通過微分方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)通過微分方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主的思考能力，明辨是非的判斷能力立

2、自主的思考能力，明辨是非的判斷能力. 德育目標(biāo)德育目標(biāo) 培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生小心求證，大膽應(yīng)用于實(shí)際的綜學(xué)生小心求證，大膽應(yīng)用于實(shí)際的綜合能力合能力. 通過實(shí)際例子；了解微分方程的概念和微分方程的階的概念；掌握求微分方程通解的方法；能夠利用初始條件求微分方程的特解. .(0,1),求曲線方程點(diǎn)且過二倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的已知曲線上各點(diǎn)的切線想一想：想一想：解析：解析：. 1 :, 0),1)0(, 1|)(1 , 0().(,2,.2,),(),(,202xycyyccxyxdxyxxdxdyyxMxfyx為于是所求曲線方程將其代入到上式得可寫成也或?qū)懗蓷l件又因曲線通過點(diǎn)為任意常數(shù)即得積分兩端對(duì)依題意

3、有則為曲線上任意一點(diǎn)設(shè)所求曲線方程為且過二倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的已知曲線上各點(diǎn)的切線 .,/80,/402的函數(shù)關(guān)于時(shí)間向前行駛的路程求開始制動(dòng)后汽車?yán)^續(xù)速度為制動(dòng)后汽車的加的速度在直道上行駛一輛汽車以tSsmsm想一想：想一想：解析：解析：.404 . 0:,. 0,40:,. ),(4 . 0,.8 . 0,8 . 0).40)0(, 0)0(40, 00:, 8 . 0)(,2212121212222ttStSccccctctSctdtdSvxdtSdSSdtdSvStdtSdtSS的函數(shù)為關(guān)于時(shí)間路程于是得上式將所滿足的條件代入都是任意常數(shù)其中得再積分一次得積分兩端對(duì)將或?qū)懗蓵r(shí)且滿足條

4、件應(yīng)滿足函數(shù)制動(dòng)階段汽車運(yùn)動(dòng)規(guī)律由題意知 .8 . 0,2 22都是常微分方程dtSdxdxdy例例含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程偏微分方程.在一個(gè)微分方程中,未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分微分方程的階方程的階.8 . 0,2 22都是二階微分方程是一階微分方程dtSdxdxdy例例 . 0),( nyyyyxFn為：階微分方程的一般形式通常注注 . 22都是微分方程的解和函數(shù)xycxy例例若把某個(gè)函數(shù)代入微分方程后,使該方程成為恒等式,則這個(gè)函數(shù)稱為微分方程的解微分方程的

5、解.如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則這樣的解稱為微微分方程的通解分方程的通解.8 . 04 . 0 22212的通解是微分方程函數(shù)dtSdctctS例例 ., )(,便可得到它的通解次只要通過逐次積分的微分方程形如nxfyn注注 .8 . 040)0(, 0)0( 22的初始條件就是微分方程dtSdSS例例確定微分方程通解中的任意常數(shù)值的條件稱為初始條件初始條件.微分方程的不包含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解微分方程的特解.2 2的特解是微分方程函數(shù)xyxy例例 yyyxdxxdyxyyy33023222124 ：判斷下列各方程的階數(shù)1 1.

6、.解：解： 四階微分方程 一階微分方程 二階微分方程321 .的特解初始條件求滿足的通解是微分方程驗(yàn)證10, 00,023221 yyyyyeCeCyxx2 2. .解：解：.ee.11120,.ee,0ee2e2e3e4e23,e4e,e2e221212122121221221221221221xxxxxxxxxxxxxxyCCCCCCCCyCCCCCCCCyyyCCyCCy 故所求特解為：得將條件代入通解中是微分方程的通解故為任意常數(shù)同時(shí)代入微分方程得： 建設(shè)綠地、防止土地沙漠化的環(huán)保意識(shí)已成為人們的共識(shí).現(xiàn)已查明，有一塊土地正在沙化，并且沙化的數(shù)量正在增加，其增加的速率與剩下的綠地?cái)?shù)量成

7、正比.有統(tǒng)計(jì)得知，每年沙化土地的增長率是綠地的 ，現(xiàn)有土地10萬畝，試求沙化土地與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.101 了解可分離變量的微分方程的概念，掌握求解的步驟；了解一階齊次線性微分方程和非齊次線性微分方程的概念；掌握求解一階線性方程的基本步驟，并能夠靈活運(yùn)用. .,)()(2)()(1即通解的一個(gè)關(guān)系式與得到兩邊積分：的形式；分離變量：化原方程為為兩步：這類方程的求解一般分yxdxxfygdydxxfygdy.)()(方程的微分的一階微分方程稱為形如可可分分離離變變量量ygxfdxdy .2的通解求微分方程xydxdy1 1. .解：解：).,0(ee.ln2,221212為任意常數(shù)故也是解由于所

8、以兩邊積分得分離變量為CyCyCxyxdxydyxdxydyxCx .00e2的特解滿足條件求微分方程yyyx2 2. .解：解：.21e21e,21,0)0().(e21e2e21ee,ee22222xyxyxyxyxyCyCCxddyedxdydxdy故所求特解為：得代入通解中將初始條件為任意常數(shù)兩邊積分得分離變量為 ).(e,2)(10)()(為任意常數(shù)得通解兩邊積分；分離變量：的通解分為兩步：求方程CCydxxPydyyxPdxdydxxP.)()(一一階階線線性性微微分分方方程程的方程稱為形如xQyxPdxdy.0,)(,0)(齊齊次次微微分分方方程程一一階階線線性性稱為方程變?yōu)闀r(shí)當(dāng)

9、yxPdxdyxQ ).(e .e ,e, .e)(e, ,e,2,0)(,1)()()()()()()()()()(為任意常數(shù)因此原方程通解為：兩邊積分得：得入原方程代與將得兩邊求導(dǎo)對(duì)通解是原方程的通解令用常數(shù)變易法；得通解先解方程分離變量的通解分為兩步：求方程CdxxQCeydxxQCxCxQxCyyxPxCxCyxCyCeyyxPdxdyxQyxPdxdydxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxP.)()(,0)(非非齊齊次次微微分分方方程程一一階階線線性性為稱方程時(shí)當(dāng)xQyxPdxdyxQ .1123的通解求微分方程xyxy1 1. .解：解： ).(112111

10、21:.121:, 1,1112121,.121,1,.1,12, 01224222322222為任意常數(shù)解為因此原方程通兩邊積分得得代入原方程與將則是原方程的通解令用常數(shù)變易法得兩邊積分得分離變量先解方程CxCxxCxyCxxCxxCxxxCxxCxxxCyyxCxxxCyxxCyxCydxxydyyxy 解：解： .022的特解滿足條件求微分方程yxyxy2 2. . 22222443242422244, 4,0)2().(4141:.41:,22,.2,.,202xxyCyCxCxxCxyCxxCxxCxxxCxxxxCxxCyyxxxCxxCyxxCyCxydxxydyyxy故所求特解

11、為：得代入通解中將初始條件為任意常數(shù)因此原方程通解為兩邊積分得得代入原方程與將則是原方程的通解令兩邊積分得先解方程 .,C15.C,10,數(shù)關(guān)系的函與時(shí)間求電機(jī)溫度恒溫的房子里設(shè)電機(jī)安置在熱量發(fā)散同時(shí)將按冷卻定律不斷每分鐘溫度升高一電機(jī)開動(dòng)后t 了解二階常系數(shù)線性微分方程的概念及分類；掌握二階常系數(shù)齊次、非齊次線性微分方程的求解方法及分類；能夠靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題. .,0)(20,0)(.)(,)(微分方程微分方程二階常系數(shù)非齊次線性二階常系數(shù)非齊次線性分方程分方程二階常系數(shù)齊次線性微二階常系數(shù)齊次線性微程程二階常系數(shù)線性微分方二階常系數(shù)線性微分方方程稱為時(shí)當(dāng)；稱為方程時(shí)當(dāng)是已知函數(shù)是常

12、數(shù)、其中的一般形式為 xfqyypyxfxfqpxfqyypy.)2()(,)2(2122112121的通解是方程為任意常數(shù)與則數(shù)不是常即的兩個(gè)線性無關(guān)的特解是方程與設(shè)函數(shù)CCyCyCyyyyy .)2(e,. 0,)2(,e,e2的解就是方程函數(shù)是這個(gè)方程的根若這表明得式求導(dǎo)后代入令數(shù)選擇適當(dāng)常性質(zhì)求導(dǎo)后仍為指數(shù)函數(shù)的利用指數(shù)函數(shù)rxrxrxyrqprryr .20212特特征征根根特特征征方方程程稱為、；特征方程的兩個(gè)根的性方程稱為二階常系數(shù)齊次線其中方程rrqprr .,ee2.,e,)2(e2121212121212121為任意常數(shù)的通解為：所以方程即線性無關(guān)數(shù)常且的兩個(gè)特解是方程、因

13、為、CCCCyyyyeyrrxrxrxrrxrxr是是兩兩相相異異實(shí)實(shí)根根( (一一) ) .,e)2(,2e,e)2(,21211212121為任意常數(shù)為：的通解所以方程線性無關(guān)的特解的另一個(gè)與方程是而只有一個(gè)特解則方程因?yàn)?、CCxCCyyxyyrrrrrrxrxrx是是兩兩相相等等實(shí)實(shí)根根( (二二) ) .,sincose2.)2(sine,cose,2121212121為任意常數(shù)的通解為：所以方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解程是方則、令、CCxCxCyxyxyirirrrxxx是是一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù)根根( (三三) )的兩個(gè)根是方程0,221qprrrr的通解方程0 qyypy21rr 兩相

14、異實(shí)根xrxrCCy21ee2121rr 兩相等實(shí)根rxxCCye21irir21,一對(duì)共軛復(fù)根xCxCyxsincose21 .032的通解求微分方程 yyy1.1.解：解：),(ee.1, 3,03221231212為任意常數(shù)所以方程的通解為：解得特征根為其特征方程為CCCCyrrrrxx.0)0(, 2)0(044的特解滿足求微分方程 yyyyy2.2.解：解：.e2. 1, 2,e21e,),(e.21, 01442212212221221212xxxxxyCCxCCCyCCxCCyrrrr故特解為：得初始條件代入得對(duì)通解求導(dǎo)為任意常數(shù)所以方程的通解為：解得特征根為其特征方程為 .,)

15、(性微分方程的通解線就是二階常系數(shù)非齊次則解應(yīng)的齊次微分方程的通是對(duì)的任一特解是非齊次線性微分方程設(shè)yYyYxfqyypyy 定理定理:,e )()(e )()(且特解分三種形式數(shù)乘積型的特解式與指數(shù)函故可推出它應(yīng)該有多項(xiàng)方程為xnnxnxPqyypynxxPxPxf 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式) )的的一一個(gè)個(gè)是是是是常常數(shù)數(shù), ,( (其其中中（一一）.)()(式次多項(xiàng)是都與表中nxQxPnnxnxPxfe )()(xnxQye )(xnxxQye )(xnxQxye )(2的形式)(xf不是特征根是特征單根是特征復(fù)根件條的形式特解y注注 .32的通解求微分方程 xyy1 1. .解：解： ).,(

16、e:.:,1132223222,.2,2,).,()(:,0,e)(132).,(e:. 1, 00,021221222121212為任意常數(shù)因此原方程的通解為解為它的一個(gè)特得代入原方程與將得求導(dǎo)為待定常數(shù)為故設(shè)原方程的一個(gè)特解是特征方程的單根因型的屬于為任意常數(shù)為則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程為的通解先解方程CCxxCCyYyxxyBABAAxBAxAyyAyBAxyBABxAxBAxxyxPnxxfCCCCYrrrryyxxnx .e322的通解求微分方程xxyyy 2 2. .解：解： ).,(e3231ee:.e3231:,9/23/103213323.e)444(,e)22(,).,(

17、e)(:,2,e)(1e).,(ee:.1, 3032,0322123212222221321212為任意常數(shù)因此原方程的通解為解為它的一個(gè)特代入得得求導(dǎo)為待定常數(shù)為故設(shè)原方程的一個(gè)特解是特征方程的單根因型的屬于為任意常數(shù)為則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程為的通解先解方程CCxCCyxyBABAAxBAAxBAxAyBAxAyBABAxyxPnxxfCCCCYrrrryyyxxxxxxxxnxxx :, )sincos(e,)sincos(e)(且特解分兩種形式型的特解角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積故可推出它應(yīng)該有三方程為xBxAqyypyBAxBxAxfxx 是是待待定定常常數(shù)數(shù)) )是是常常數(shù)數(shù), ,(

18、 (其其中中（二二）的形式)(xf是特征根不i特征單根是i件條的形式特解y)sincos(e)(xBxAxfx)sincos(exBxAyx)sincos(exBxAyx .sin22的通解求微分方程xeyyyx 1 1. .解：解： ).,(cose21sincose:.cose21:,02/10212sinsin2cos2,.cos2sin2sincos2sincos2e,cossinsincossincose,).,(sincose:,1.1, 1,sincosesine).,(sincose:.1,1022,02221212121212為任意常數(shù)因此原方程的通解為解為它的一個(gè)特得代入原方程與將得求導(dǎo)為待定常數(shù)為故設(shè)原方程的一個(gè)特解是特征方程的根因其中型屬于為任意常數(shù)為則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程為的通解先解方程CCxxxCxCyxxyBABAxxAxByyxBxAxxxBxxAyxxBxxAxxBxAyBAxBxAxyiixBxAxxfCCxCxCYirirrryyyxxxxxxxxx .2cos