抽象函數(shù)定義域的求法例題

1、抽象函數(shù)的定義域1、已知的定義域，求復合函數(shù)的定義域由復合函數(shù)的定義我們可知，要構成復合函數(shù)，則內層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此可得其方法為：若的定義域為，求出中的解的范圍，即為的定義域。2、已知復合函數(shù)的定義域，求的定義域方法是：若的定義域為，則由確定的范圍即為的定義域。3、已知復合函數(shù)的定義域，求的定義域 結合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。4、已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域 若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。例

2、1、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域解：的定義域為，故函數(shù)的定義域為練習：若函數(shù)的定義域為，則的定義域為 。解：依題意知： 解之，得：的定義域為例2、已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域分析：若的定義域為，則由確定的的范圍即為的定義域這種情況下，的定義域即為復合函數(shù)的內函數(shù)的值域。本題中令，則，由于與是同一函數(shù)，因此的取值范圍即為的定義域解：由，得令，則，故的定義域為練習： 已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為_。解：由，得 所以，故填例3. 函數(shù)定義域是，則的定義域是（ ）A. B. C. D. 解：先求的定義域的定義域是，即的定義域是，再求的定義域的定義域是，故應選A練習：已知函數(shù)f(2x）的定義

3、域是-1，1，求f(log2x)的定義域.解 y=f(2x)的定義域是-1，1，即-1x1,2x2.函數(shù)y=f(log2x)中l(wèi)og2x2.即log2log2xlog24,x4.故函數(shù)f(log2x)的定義域為，4例4若的定義域為，求的定義域解：由的定義域為，則必有解得所以函數(shù)的定義域為練習：已知函數(shù)的定義域是，求的定義域。分析：分別求f(x+a)與f(x-a)的定義域，再取交集。解：由已知，有，即函數(shù)的定義域由確函數(shù)的定義域是例5 若函數(shù)f(x+1)的定義域為，2，求f(x2)的定義域解：先求f(x)的定義域：由題意知x2，則x13，即f(x)的定義域為，3，再求fh(x) 的定義域： x2

4、3，解得x或xf(x2)的定義域是x|x或x例6、 某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省?分析：應用題中的定義域除了要使解析式有意義外，還需考慮實際上的有效范圍。實際上的有效范圍，即實際問題要有意義，一般來說有以下幾中常見情況：（1）面積問題中，要考慮部分的面積小于整體的面積；（2）銷售問題中，要考慮日期只能是自然數(shù)，價格不能小于0也不能大于題設中規(guī)定的值（有的題沒有規(guī)定）；（3）生產問題中，要考慮日期、月份、年份等只能是自然數(shù)，增長率要滿足

5、題設；（4）路程問題中，要考慮路程的范圍。本題中總面積為，由于，于是，即。又，的取值范圍是。解：由題意得 xy+x2=8,y=(0<x<4). 于是, 框架用料長度為 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 當(+)x=,即x=84時等號成立. 此時, x2.343,y=22.828. 故當x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.變式訓練：13.（2007·北京理，19）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上.記CD=2x,梯形面積為S.(1)求面積S以x為自變量

6、的函數(shù)式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值.解（1）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系O-xy（如圖），則點C的橫坐標為x,點C的縱坐標y滿足方程(y0),解得y=2 (0<x<r).S=(2x+2r)·2=2(x+r)·,其定義域為x|0<x<r.（2）記f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x<r,則f(x)=8(x+r)2(r-2x).令f(x)=0,得x=r.因為當0<x<時，f(x)>0;當<x<r時,f(x)<0，所以f（r）是f(x)的最大值.因此，當x=r時，S也取得最大值，最大值為.即梯形面積S的最大值為鞏固訓練（各專題題目數(shù)量盡量一致，各題均附答案及解析）1. 設函數(shù)的定義域為，則（1）函數(shù)的定義域為_。（2）函數(shù)的定義域為_。2、已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為_。3、已知函數(shù)的定義域為，則y=