復(fù)變函數(shù)基本定義

1、 定義鄰域定義1.1點(diǎn)的鄰域指： 聚點(diǎn)、點(diǎn)、孤立點(diǎn)定義1.2給定點(diǎn)集，及點(diǎn)。稱為的聚點(diǎn)或極限點(diǎn)指：的任一鄰域都有的無窮多個(gè)點(diǎn)。 若，但非的聚點(diǎn)，則稱為的孤立點(diǎn); 若，又非的聚點(diǎn)，則稱為的外點(diǎn)。若有一鄰域全含于，則稱為的點(diǎn)。若的任一鄰域，同時(shí)有屬于和不屬于的點(diǎn)，則稱為的邊界點(diǎn)。邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界。記作。開集、閉集定義1.3若點(diǎn)集的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集；若點(diǎn)集的點(diǎn)皆為點(diǎn)，則稱為開集。有界性定義1.4點(diǎn)集稱為有界集，若使有。區(qū)域定義1.5非空開集稱為區(qū)域，若是連通的，即：中任意兩點(diǎn)可用全在中的折線連接。 閉域定義1.6區(qū)域加上它的邊界稱為閉域，記為：。約當(dāng)曲線定義1.7設(shè)是實(shí)變數(shù)的兩個(gè)實(shí)函

2、數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則由方程 所決定的點(diǎn)集，稱為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線。上式稱為的參數(shù)方程分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn) 。 單連通區(qū)域定義1.8設(shè)為復(fù)平面上的區(qū)域，若在無論怎樣劃簡單閉曲線，其部仍全含于，則稱為單連通區(qū)域；非單連通區(qū)域稱為多連通區(qū)域。 復(fù)變函數(shù)定義1.9設(shè)為一復(fù)數(shù)集，若對(duì)每一復(fù)數(shù)，有唯一確定的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱在上確定了一個(gè)單值函數(shù)。 若對(duì)每一復(fù)數(shù)，有幾個(gè)或無窮多個(gè)與之對(duì)應(yīng)，則稱在上確定了一個(gè)多值函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的極限定義1.10設(shè)，為的聚點(diǎn)。若存在一復(fù)數(shù)，使， 只要，就有 則稱沿于有極限，并記為。 連續(xù)函數(shù)定義1.11設(shè)子點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)，且。若 即對(duì)任給的，只要，就有 則稱沿于

3、連續(xù)。復(fù)球面復(fù)平面加上點(diǎn)后稱為擴(kuò)充復(fù)平面，與它對(duì)應(yīng)的就是整個(gè)球面，稱為復(fù)球面。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)考慮平面上一個(gè)以原點(diǎn)為心的圓周，在球面上對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)圓周。當(dāng)圓周的半徑越大時(shí)，圓周就越趨北極。北極可以看成是與平面上的一個(gè)模為無窮大的假想點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這個(gè)假想點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并記為。 主要定理約當(dāng)定理定理1.1任一簡單閉曲線將平面唯一地劃分成三個(gè)點(diǎn)集且滿足（1）彼此不交（2）是一個(gè)有界區(qū)域（稱為的部）（3）是一個(gè)無界區(qū)域（稱為的外部）（4）若簡單折線的兩個(gè)端點(diǎn)分屬，則必與有交點(diǎn)。極限的計(jì)算定理定理1.2設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義，則 的充要條件是 連續(xù)函數(shù)定理定理1.3設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義，則沿在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是

4、：二元實(shí)變函數(shù)，沿于點(diǎn)連續(xù)。一致連續(xù)定理定理1.4 設(shè)函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則 （1）在上有界，即，使。 （2）在上有最大值與最小值。 （3）在上一致連續(xù)。即 ，使對(duì)上滿足的任意兩點(diǎn)及，均有 定義復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義2.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義，考慮比值 若當(dāng)（或）時(shí)，上面比值的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為。即 。 （2.1） 此時(shí)稱在點(diǎn)可導(dǎo)。解析函數(shù)定義2.2如果函數(shù)在區(qū)域可微，則稱微區(qū)域的解析函數(shù)，或稱在區(qū)域解析。奇點(diǎn)定義2.3若在點(diǎn)不解析，但在的任一鄰域總有的解析點(diǎn)，則稱為的奇點(diǎn)。復(fù)指數(shù)函數(shù)定義2.4對(duì)于任何復(fù)數(shù)規(guī)定復(fù)指數(shù)函數(shù)為 。 易知，復(fù)指數(shù)函數(shù)有下列性質(zhì)： （1） 它

5、是實(shí)指數(shù)函數(shù)的自然推廣 （2） 。 （3） 在平面上處處解析，且。 （4） 加法定理成立，即。 （5） 是以為基本周期的周期函數(shù)。 （6） 極限不存在。三角函數(shù)定義2.5稱 分別為復(fù)數(shù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。 復(fù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有以下性質(zhì)： （1） 它們是實(shí)函數(shù)情形的推廣 （2） 均處處解析，且 。 事實(shí)上， 同理，可證另一個(gè)。 （3） 是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；且遵從通常的三角恒等式，如 （4）均以為周期 （5）的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為 （6）不再是有界函數(shù)。正切、余切定義2.6稱 分別為的正切、余切、正割與余割函數(shù)。 這四個(gè)函數(shù)在其分母不為零的點(diǎn)處解析且 雙曲函數(shù)定義2.7規(guī)定 并分別稱為的雙曲正弦、雙

6、曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割及雙曲余割函數(shù)。 根式函數(shù)定義2.8規(guī)定根式函數(shù)為冪函數(shù)的反函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)定義2.9規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。即若 則復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)，記為。 主要定理可微的必要條件定理2.1（可微的必要條件） 設(shè)是定義在區(qū)域上的函數(shù)；且在一點(diǎn)可微，則必有：偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)存在；且滿足柯西-黎曼條件，即 可微的充要條件定理2.2（可微的充要條件）設(shè)是定義在區(qū)域上的函數(shù)。則在一點(diǎn)可微的充要條件是： （1） 在點(diǎn)可微； （2） 在點(diǎn)滿足柯西-黎曼條件。 此時(shí)，有： （2.7）定義復(fù)積分定義3.1設(shè)有向曲線： 以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，沿有定義，順著從到的方向在上取分點(diǎn)： 把曲線分成若

7、干個(gè)弧段（圖3.1*9）。在從到的每一弧段上任意取一點(diǎn)。作成和數(shù) 其中當(dāng)分點(diǎn)無限增多，而這些弧段長度的最大值趨于零時(shí)，如果和數(shù)的極限存在且等于，則稱沿（從到）的可積，而稱為沿（從到）的積分，并以記號(hào)表示 稱為積分路徑。表示沿的正方向的積分，表示沿的負(fù)方向的積分。 不定積分定義3.2在區(qū)域，如果連續(xù)，則稱合條件 的函數(shù)的一個(gè)不定積分或原函數(shù)。復(fù)圍線定義3.3考慮條圍線其中中每一條都在其余各條的外部，而它們又全都在的部。在的部同時(shí)又在外部的點(diǎn)集構(gòu)成一個(gè)有界的多連通區(qū)域，以為它的邊界。在這種情況下，我們稱區(qū)域的邊界是一條復(fù)圍線，它包括取正方向的，以及取負(fù)方向的換句話說，假如觀察者沿復(fù)圍線的正方向繞行

8、時(shí)，區(qū)域的點(diǎn)總在它的左手邊（圖3.10是的情形）。調(diào)和函數(shù)定義3.5如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域的調(diào)和函數(shù)。共軛調(diào)和函數(shù)定義3.6在區(qū)域滿足條件 ， 的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中，稱為在區(qū)域的共軛調(diào)和函數(shù)。（虛部是實(shí)部）主要定理積分估值定理定理3.2（積分估值）若沿曲線，連續(xù)，且有正數(shù)使,為之長，則 證由不等式 ， 取極限即得證。 柯西積分定理定理3.3設(shè)在平面上的單連通區(qū)域解析，為任一條圍線，則 要證明這個(gè)定理是比較困難的。牛頓萊布尼茲公式定理3.8在定理3.6或定理3.7的條件下，如果是在單連通區(qū)域的任意一個(gè)原函數(shù)，則 。復(fù)圍線的柯西積分定理定理3.10設(shè)是由復(fù)

9、圍線所圍成的有界多連通區(qū)域，在解析，在上連續(xù)，則 或?qū)懗桑ǖ忍?hào)是加號(hào)）， 或?qū)懗伞?柯西積分公式定理3.11設(shè)區(qū)域的邊界是圍線（或復(fù)圍線），在解析，在上連續(xù)，則有 (3.2) 這就是柯西積分公式。它是解析函數(shù)的積分表達(dá)式，因而是今后我們研究解析函數(shù)的重要工具。 平均值定理定理3.12如果函數(shù)解析，在閉圓上連續(xù)，則 即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù)。 證設(shè)表圓周，則 或 由此， 根據(jù)柯西積分公式 。無窮可微性定理定理3.13在定理3.11的條件下，函數(shù)在區(qū)域有各階導(dǎo)數(shù)，并且有 (3.5) 解析函數(shù)的第二判據(jù)定理3.15函數(shù) 在區(qū)域解析的充分必要條件是 （1）在連續(xù)； （2）在滿足條件。

10、維爾定理定理3.16維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù)。摩勒拉定理定理3.17若函數(shù)在單連通區(qū)域連續(xù)，且對(duì)的任一圍線，有 ， 則在解析，解析函數(shù)的第三判據(jù)定理3.18在區(qū)域解析的充要條件是： （1）在連續(xù)； （2）對(duì)任一圍線，只要及其部全含于，就有 。 定義復(fù)數(shù)及級(jí)數(shù)定義4.1 對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)的無窮級(jí)數(shù) ， （4.1） 命 （部分和）。若復(fù)數(shù)列 以有限復(fù)數(shù)為極限，即若 ， 則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)（4.1）收斂于 ，且稱為級(jí)數(shù)（4.1）的和，寫成 ； 若復(fù)數(shù)列無有限極限，則稱級(jí)數(shù)（4.1）為發(fā)散。 絕對(duì)收斂、條件收斂定義4.2若級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)稱為絕對(duì)收斂；非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)，稱為條件收斂。復(fù)函數(shù)

11、項(xiàng)級(jí)數(shù)定義4.3設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （4.2） 的各項(xiàng)均在點(diǎn)集上有定義，且在上存在一個(gè)函數(shù)，對(duì)于上的每一個(gè)點(diǎn) ，級(jí)數(shù)（4.2）均收斂于，則稱為級(jí)數(shù)（4.2）的和函數(shù)，記為 。一致收斂定義4.4對(duì)于級(jí)數(shù)（4.2），如果在點(diǎn)集上有一個(gè)函數(shù)，使對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的均有 ， 則稱級(jí)數(shù)（4.2）在上一致收斂于。閉一致收斂定義4.5設(shè)函數(shù)定義于區(qū)域，若級(jí)數(shù)（4.2）在任一有界閉集上一致收斂，則稱此級(jí)數(shù)在閉一致收斂。 泰勒級(jí)數(shù)定義4.6定理中的級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的泰勒展式，（4.4）稱為其泰勒系數(shù)。零點(diǎn)定義4.7設(shè)在解析區(qū)域一點(diǎn)的值為零，則稱為解析函數(shù)的零點(diǎn)。 主要定理復(fù)級(jí)數(shù)收斂的判據(jù)定理4.1

12、設(shè)，及為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)級(jí)（4.1）收斂于的充要條件為：實(shí)級(jí)數(shù)及分別收斂于及。 柯西收斂準(zhǔn)則定理4.2 （柯西收斂準(zhǔn)則）復(fù)數(shù)級(jí)（4.1）收斂的充要條件為：對(duì)任給，存在正整數(shù)，當(dāng)且為任何正整數(shù)時(shí) 。 收斂的充分條件定理4.3復(fù)數(shù)級(jí)（4.1）收斂的一個(gè)充分條件為級(jí)數(shù)收斂。 柯西一致收斂準(zhǔn)則定理 4.4 （柯西一致收斂準(zhǔn)則）級(jí)數(shù)（4.2）在點(diǎn)集上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是：任給，存在正整數(shù)，使當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，均有 。優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則定理4.5 （優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則）若存在正數(shù)列，使對(duì)一切，有 ， 而且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在集上絕對(duì)收斂且一致收斂。 級(jí)數(shù)連續(xù)定理定理4.6設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在點(diǎn)集上連續(xù)，且一致收斂于，

13、則和函數(shù) 也在上連續(xù)。 逐項(xiàng)積分定理定理4.7設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在曲線上連續(xù)，并且在上一致收斂于，則沿可以逐項(xiàng)積分： 閉一致收斂判據(jù)定理4.8級(jí)數(shù)（4.2）在圓閉一致收斂的充要條件為：對(duì)任意正數(shù)，只要,級(jí)數(shù)（4.2）在閉圓上一致收斂。 維爾斯特拉斯定理定理4.9設(shè)（1）在區(qū)域解析， （2）在閉一致收斂于函數(shù)： ， 則（1）在區(qū)域解析。 （2）。 阿貝爾（Abel)定理定理4.10如果冪級(jí)數(shù)（4.3）在某點(diǎn)收斂，則它必在圓（即以為心，圓周通過的圓）絕對(duì)收斂且閉一致收斂。 收斂半徑的計(jì)算公式定理4.12如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)合于 ，（達(dá)朗貝爾（DAlembert） 或，（柯西） 或，（柯西阿達(dá)瑪） 則冪級(jí)數(shù)的

14、收斂半徑 冪級(jí)數(shù)和的解析性定理4.13（1）冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)在起收斂圓解析。 （2）在，冪級(jí)數(shù)（4.4）可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，即 。 (3) 泰勒公式定理4.14（泰勒定理） 設(shè)在區(qū)域解析，只要 含于,則在能展成冪級(jí)數(shù) ， 其中系數(shù) 。 （4.4） 且展式是唯一的。 解析函數(shù)的第四判據(jù)定理4.15在區(qū)域解析的充要條件為： 在任一點(diǎn)的鄰域可展成的冪級(jí)數(shù)，即泰勒級(jí)數(shù)。 收斂圓周上的性質(zhì)定理4.16如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,且 則在收斂圓周上至少有一奇點(diǎn)，即不可能有這樣的函數(shù)存在，它在與恒等，而在上處處解析。m級(jí)零點(diǎn)的判據(jù)定理4.17不恒為零的解析函數(shù)以為級(jí)零點(diǎn)的充要條件為： ， 其中在點(diǎn)的鄰域解析，且

15、。 零點(diǎn)的孤立性定理4.18如在的解析函數(shù)不恒為零，為其零點(diǎn)，則必有的一個(gè)鄰域，使得在其中無異于的零點(diǎn)。（簡單說來就是：不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的。） 唯一性定理定理4.20（唯一性定理）設(shè)（1）函數(shù)和在區(qū)域解析； （2）有一個(gè)收斂于的點(diǎn)列，在其上和等值，則 和在恒等。 最大模原理定理4.23（最大模原理）設(shè)在區(qū)域解析，則在任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值，除非在恒等于常數(shù)。定義羅朗級(jí)數(shù)定義5.1 （5.2）稱為在點(diǎn)的羅朗展式，（5.3）稱為其羅朗系數(shù)，而（5.2）右邊的級(jí)數(shù)則稱為羅朗級(jí)數(shù)。孤立奇點(diǎn)定義5.2若在奇點(diǎn)的某一去心鄰域解析，則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。 若為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則必存在函數(shù)，使

16、在的去心鄰域可展成羅朗級(jí)數(shù)。 可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)定義5.3設(shè)是的孤立奇點(diǎn)， （1） 若主要部分為0，則稱是的可去奇點(diǎn)。 （2） 若主要部分為有限多項(xiàng)，則稱是的極點(diǎn)，此時(shí)主要部分的系數(shù)必滿足，此處稱為極點(diǎn)的級(jí)，亦稱為級(jí)極點(diǎn)。 （3） 若主要部分有無限多項(xiàng)，則稱是的本性奇點(diǎn)。 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)性定義5.4設(shè)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（去心）鄰域 解析，則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。 主要定理雙邊冪級(jí)數(shù)的解析性定理5.1設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù) 的收斂圓環(huán)為 則（1）（5.1）在絕對(duì)收斂且閉一致收斂于 （2）在解析 （3） 級(jí)數(shù)在可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次。 羅朗定理定理5.2（羅朗定理） 在圓環(huán)解析的函數(shù)必可展開成雙邊冪函數(shù) (5

17、.2) 其中 （5.3） 且展式唯一?？扇テ纥c(diǎn)判據(jù)定理5.3設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，則下述等價(jià)： （1） 在的主要部分為0； （2） （3）在點(diǎn)的某去心鄰域有界。 極點(diǎn)判據(jù)定理5.4若以點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，則下述等價(jià) （1）是級(jí)極點(diǎn)，即主要部分為 （2）在點(diǎn)的去心鄰域有 且解析且（3） 以為級(jí)零點(diǎn)。 本性奇點(diǎn)判據(jù)定理5.6的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)的充分必要條件是 即不存在。 畢卡定理定理5.8若為的本性奇點(diǎn)，則對(duì)任意數(shù)（可以是），都有一個(gè)收斂于 的點(diǎn)列，使 定義殘數(shù)定義6.1設(shè)以為孤立奇點(diǎn)，即在的去心鄰域解析，則稱積分 為在點(diǎn)的殘數(shù)（residue），記作 為羅朗展式中那項(xiàng)的系數(shù) 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)定義6.2設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則稱 為在殘數(shù)。若在的羅朗展式為 則主要定理柯西殘數(shù)定理定理6.1 （柯西殘數(shù)定理）在圍線或復(fù)圍線所圍的區(qū)域，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則 極點(diǎn)的殘數(shù)計(jì)算定理6.2若為級(jí)極點(diǎn)，則，則 極點(diǎn)的殘數(shù)計(jì)算定理6.3若為一級(jí)極點(diǎn)， 則極點(diǎn)的殘數(shù)計(jì)算定理6.4若為二級(jí)極點(diǎn) 極點(diǎn)的殘數(shù)計(jì)算定理6.5若為的一級(jí)極點(diǎn)，則 殘數(shù)總和為零定理定理6.6若在擴(kuò)充平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，設(shè)為，則殘數(shù)總和為0 有理分式的廣義積分定理定理6.7設(shè)為有理積分式，其中 為互質(zhì)多項(xiàng)式