復變函數(shù)基本定義

1、 定義鄰域定義1.1點的鄰域指： 聚點、點、孤立點定義1.2給定點集，及點。稱為的聚點或極限點指：的任一鄰域都有的無窮多個點。 若，但非的聚點，則稱為的孤立點; 若，又非的聚點，則稱為的外點。若有一鄰域全含于，則稱為的點。若的任一鄰域，同時有屬于和不屬于的點，則稱為的邊界點。邊界點的全體稱為的邊界。記作。開集、閉集定義1.3若點集的每個聚點都屬于，則稱為閉集；若點集的點皆為點，則稱為開集。有界性定義1.4點集稱為有界集，若使有。區(qū)域定義1.5非空開集稱為區(qū)域，若是連通的，即：中任意兩點可用全在中的折線連接。 閉域定義1.6區(qū)域加上它的邊界稱為閉域，記為：。約當曲線定義1.7設是實變數(shù)的兩個實函

2、數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則由方程 所決定的點集，稱為復平面上的一條連續(xù)曲線。上式稱為的參數(shù)方程分別稱為的起點和終點 。 單連通區(qū)域定義1.8設為復平面上的區(qū)域，若在無論怎樣劃簡單閉曲線，其部仍全含于，則稱為單連通區(qū)域；非單連通區(qū)域稱為多連通區(qū)域。 復變函數(shù)定義1.9設為一復數(shù)集，若對每一復數(shù)，有唯一確定的復數(shù)與之對應，則稱在上確定了一個單值函數(shù)。 若對每一復數(shù)，有幾個或無窮多個與之對應，則稱在上確定了一個多值函數(shù)。復變函數(shù)的極限定義1.10設，為的聚點。若存在一復數(shù)，使， 只要，就有 則稱沿于有極限，并記為。 連續(xù)函數(shù)定義1.11設子點集上有定義，為的聚點，且。若 即對任給的，只要，就有 則稱沿于

3、連續(xù)。復球面復平面加上點后稱為擴充復平面，與它對應的就是整個球面，稱為復球面。無窮遠點考慮平面上一個以原點為心的圓周，在球面上對應的也是一個圓周。當圓周的半徑越大時，圓周就越趨北極。北極可以看成是與平面上的一個模為無窮大的假想點相對應，這個假想點稱為無窮遠點，并記為。 主要定理約當定理定理1.1任一簡單閉曲線將平面唯一地劃分成三個點集且滿足（1）彼此不交（2）是一個有界區(qū)域（稱為的部）（3）是一個無界區(qū)域（稱為的外部）（4）若簡單折線的兩個端點分屬，則必與有交點。極限的計算定理定理1.2設函數(shù)于點集上有定義，則 的充要條件是 連續(xù)函數(shù)定理定理1.3設函數(shù)于點集上有定義，則沿在點連續(xù)的充要條件是

4、：二元實變函數(shù)，沿于點連續(xù)。一致連續(xù)定理定理1.4 設函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則 （1）在上有界，即，使。 （2）在上有最大值與最小值。 （3）在上一致連續(xù)。即 ，使對上滿足的任意兩點及，均有 定義復變函數(shù)的導數(shù)定義2.1設函數(shù)在點的某鄰域有定義，考慮比值 若當（或）時，上面比值的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點的導數(shù)，記為。即 。 （2.1） 此時稱在點可導。解析函數(shù)定義2.2如果函數(shù)在區(qū)域可微，則稱微區(qū)域的解析函數(shù)，或稱在區(qū)域解析。奇點定義2.3若在點不解析，但在的任一鄰域總有的解析點，則稱為的奇點。復指數(shù)函數(shù)定義2.4對于任何復數(shù)規(guī)定復指數(shù)函數(shù)為 。 易知，復指數(shù)函數(shù)有下列性質： （1） 它

5、是實指數(shù)函數(shù)的自然推廣 （2） 。 （3） 在平面上處處解析，且。 （4） 加法定理成立，即。 （5） 是以為基本周期的周期函數(shù)。 （6） 極限不存在。三角函數(shù)定義2.5稱 分別為復數(shù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。 復正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有以下性質： （1） 它們是實函數(shù)情形的推廣 （2） 均處處解析，且 。 事實上， 同理，可證另一個。 （3） 是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；且遵從通常的三角恒等式，如 （4）均以為周期 （5）的零點為的零點為 （6）不再是有界函數(shù)。正切、余切定義2.6稱 分別為的正切、余切、正割與余割函數(shù)。 這四個函數(shù)在其分母不為零的點處解析且 雙曲函數(shù)定義2.7規(guī)定 并分別稱為的雙曲正弦、雙

6、曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割及雙曲余割函數(shù)。 根式函數(shù)定義2.8規(guī)定根式函數(shù)為冪函數(shù)的反函數(shù)。對數(shù)函數(shù)定義2.9規(guī)定對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。即若 則復數(shù)稱為復數(shù)的對數(shù)，記為。 主要定理可微的必要條件定理2.1（可微的必要條件） 設是定義在區(qū)域上的函數(shù)；且在一點可微，則必有：偏導數(shù)在點存在；且滿足柯西-黎曼條件，即 可微的充要條件定理2.2（可微的充要條件）設是定義在區(qū)域上的函數(shù)。則在一點可微的充要條件是： （1） 在點可微； （2） 在點滿足柯西-黎曼條件。 此時，有： （2.7）定義復積分定義3.1設有向曲線： 以為起點，為終點，沿有定義，順著從到的方向在上取分點： 把曲線分成若

7、干個弧段（圖3.1*9）。在從到的每一弧段上任意取一點。作成和數(shù) 其中當分點無限增多，而這些弧段長度的最大值趨于零時，如果和數(shù)的極限存在且等于，則稱沿（從到）的可積，而稱為沿（從到）的積分，并以記號表示 稱為積分路徑。表示沿的正方向的積分，表示沿的負方向的積分。 不定積分定義3.2在區(qū)域，如果連續(xù)，則稱合條件 的函數(shù)的一個不定積分或原函數(shù)。復圍線定義3.3考慮條圍線其中中每一條都在其余各條的外部，而它們又全都在的部。在的部同時又在外部的點集構成一個有界的多連通區(qū)域，以為它的邊界。在這種情況下，我們稱區(qū)域的邊界是一條復圍線，它包括取正方向的，以及取負方向的換句話說，假如觀察者沿復圍線的正方向繞行

8、時，區(qū)域的點總在它的左手邊（圖3.10是的情形）。調和函數(shù)定義3.5如果二元實函數(shù)在區(qū)域有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域的調和函數(shù)。共軛調和函數(shù)定義3.6在區(qū)域滿足條件 ， 的兩個調和函數(shù)中，稱為在區(qū)域的共軛調和函數(shù)。（虛部是實部）主要定理積分估值定理定理3.2（積分估值）若沿曲線，連續(xù)，且有正數(shù)使,為之長，則 證由不等式 ， 取極限即得證。 柯西積分定理定理3.3設在平面上的單連通區(qū)域解析，為任一條圍線，則 要證明這個定理是比較困難的。牛頓萊布尼茲公式定理3.8在定理3.6或定理3.7的條件下，如果是在單連通區(qū)域的任意一個原函數(shù)，則 。復圍線的柯西積分定理定理3.10設是由復

9、圍線所圍成的有界多連通區(qū)域，在解析，在上連續(xù)，則 或寫成（等號是加號）， 或寫成。 柯西積分公式定理3.11設區(qū)域的邊界是圍線（或復圍線），在解析，在上連續(xù)，則有 (3.2) 這就是柯西積分公式。它是解析函數(shù)的積分表達式，因而是今后我們研究解析函數(shù)的重要工具。 平均值定理定理3.12如果函數(shù)解析，在閉圓上連續(xù)，則 即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術平均數(shù)。 證設表圓周，則 或 由此， 根據(jù)柯西積分公式 。無窮可微性定理定理3.13在定理3.11的條件下，函數(shù)在區(qū)域有各階導數(shù)，并且有 (3.5) 解析函數(shù)的第二判據(jù)定理3.15函數(shù) 在區(qū)域解析的充分必要條件是 （1）在連續(xù)； （2）在滿足條件。

10、維爾定理定理3.16維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù)。摩勒拉定理定理3.17若函數(shù)在單連通區(qū)域連續(xù)，且對的任一圍線，有 ， 則在解析，解析函數(shù)的第三判據(jù)定理3.18在區(qū)域解析的充要條件是： （1）在連續(xù)； （2）對任一圍線，只要及其部全含于，就有 。 定義復數(shù)及級數(shù)定義4.1 對于復數(shù)項的無窮級數(shù) ， （4.1） 命 （部分和）。若復數(shù)列 以有限復數(shù)為極限，即若 ， 則稱復數(shù)項無窮級數(shù)（4.1）收斂于 ，且稱為級數(shù)（4.1）的和，寫成 ； 若復數(shù)列無有限極限，則稱級數(shù)（4.1）為發(fā)散。 絕對收斂、條件收斂定義4.2若級數(shù)收斂，則原級數(shù)稱為絕對收斂；非絕對收斂的收斂級數(shù)，稱為條件收斂。復函數(shù)

11、項級數(shù)定義4.3設復變函數(shù)項級數(shù) （4.2） 的各項均在點集上有定義，且在上存在一個函數(shù)，對于上的每一個點 ，級數(shù)（4.2）均收斂于，則稱為級數(shù)（4.2）的和函數(shù)，記為 。一致收斂定義4.4對于級數(shù)（4.2），如果在點集上有一個函數(shù)，使對任意給定的，存在正整數(shù)，當時，對一切的均有 ， 則稱級數(shù)（4.2）在上一致收斂于。閉一致收斂定義4.5設函數(shù)定義于區(qū)域，若級數(shù)（4.2）在任一有界閉集上一致收斂，則稱此級數(shù)在閉一致收斂。 泰勒級數(shù)定義4.6定理中的級數(shù)稱為在點的泰勒展式，（4.4）稱為其泰勒系數(shù)。零點定義4.7設在解析區(qū)域一點的值為零，則稱為解析函數(shù)的零點。 主要定理復級數(shù)收斂的判據(jù)定理4.1

12、設，及為實數(shù)，則復數(shù)級（4.1）收斂于的充要條件為：實級數(shù)及分別收斂于及。 柯西收斂準則定理4.2 （柯西收斂準則）復數(shù)級（4.1）收斂的充要條件為：對任給，存在正整數(shù)，當且為任何正整數(shù)時 。 收斂的充分條件定理4.3復數(shù)級（4.1）收斂的一個充分條件為級數(shù)收斂。 柯西一致收斂準則定理 4.4 （柯西一致收斂準則）級數(shù)（4.2）在點集上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是：任給，存在正整數(shù)，使當時，對一切，均有 。優(yōu)級數(shù)準則定理4.5 （優(yōu)級數(shù)準則）若存在正數(shù)列，使對一切，有 ， 而且正項級數(shù)收斂，則復函數(shù)項級數(shù)在集上絕對收斂且一致收斂。 級數(shù)連續(xù)定理定理4.6設級數(shù)的各項在點集上連續(xù)，且一致收斂于，

13、則和函數(shù) 也在上連續(xù)。 逐項積分定理定理4.7設級數(shù)的各項在曲線上連續(xù)，并且在上一致收斂于，則沿可以逐項積分： 閉一致收斂判據(jù)定理4.8級數(shù)（4.2）在圓閉一致收斂的充要條件為：對任意正數(shù)，只要,級數(shù)（4.2）在閉圓上一致收斂。 維爾斯特拉斯定理定理4.9設（1）在區(qū)域解析， （2）在閉一致收斂于函數(shù)： ， 則（1）在區(qū)域解析。 （2）。 阿貝爾（Abel)定理定理4.10如果冪級數(shù)（4.3）在某點收斂，則它必在圓（即以為心，圓周通過的圓）絕對收斂且閉一致收斂。 收斂半徑的計算公式定理4.12如果冪級數(shù)的系數(shù)合于 ，（達朗貝爾（DAlembert） 或，（柯西） 或，（柯西阿達瑪） 則冪級數(shù)的

14、收斂半徑 冪級數(shù)和的解析性定理4.13（1）冪級數(shù) 的和函數(shù)在起收斂圓解析。 （2）在，冪級數(shù)（4.4）可以逐項求導至任意階，即 。 (3) 泰勒公式定理4.14（泰勒定理） 設在區(qū)域解析，只要 含于,則在能展成冪級數(shù) ， 其中系數(shù) 。 （4.4） 且展式是唯一的。 解析函數(shù)的第四判據(jù)定理4.15在區(qū)域解析的充要條件為： 在任一點的鄰域可展成的冪級數(shù)，即泰勒級數(shù)。 收斂圓周上的性質定理4.16如果冪級數(shù)的收斂半徑,且 則在收斂圓周上至少有一奇點，即不可能有這樣的函數(shù)存在，它在與恒等，而在上處處解析。m級零點的判據(jù)定理4.17不恒為零的解析函數(shù)以為級零點的充要條件為： ， 其中在點的鄰域解析，且

15、。 零點的孤立性定理4.18如在的解析函數(shù)不恒為零，為其零點，則必有的一個鄰域，使得在其中無異于的零點。（簡單說來就是：不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的。） 唯一性定理定理4.20（唯一性定理）設（1）函數(shù)和在區(qū)域解析； （2）有一個收斂于的點列，在其上和等值，則 和在恒等。 最大模原理定理4.23（最大模原理）設在區(qū)域解析，則在任何點都不能達到最大值，除非在恒等于常數(shù)。定義羅朗級數(shù)定義5.1 （5.2）稱為在點的羅朗展式，（5.3）稱為其羅朗系數(shù)，而（5.2）右邊的級數(shù)則稱為羅朗級數(shù)。孤立奇點定義5.2若在奇點的某一去心鄰域解析，則稱為的一個孤立奇點。 若為的一個孤立奇點，則必存在函數(shù)，使

16、在的去心鄰域可展成羅朗級數(shù)。 可去奇點、極點、本性奇點定義5.3設是的孤立奇點， （1） 若主要部分為0，則稱是的可去奇點。 （2） 若主要部分為有限多項，則稱是的極點，此時主要部分的系數(shù)必滿足，此處稱為極點的級，亦稱為級極點。 （3） 若主要部分有無限多項，則稱是的本性奇點。 無窮遠點的孤立奇點性定義5.4設函數(shù)在無窮遠點（去心）鄰域 解析，則稱為的一個孤立奇點。 主要定理雙邊冪級數(shù)的解析性定理5.1設雙邊冪級數(shù) 的收斂圓環(huán)為 則（1）（5.1）在絕對收斂且閉一致收斂于 （2）在解析 （3） 級數(shù)在可逐項求導任意次。 羅朗定理定理5.2（羅朗定理） 在圓環(huán)解析的函數(shù)必可展開成雙邊冪函數(shù) (5

17、.2) 其中 （5.3） 且展式唯一。可去奇點判據(jù)定理5.3設為的孤立奇點，則下述等價： （1） 在的主要部分為0； （2） （3）在點的某去心鄰域有界。 極點判據(jù)定理5.4若以點為孤立奇點，則下述等價 （1）是級極點，即主要部分為 （2）在點的去心鄰域有 且解析且（3） 以為級零點。 本性奇點判據(jù)定理5.6的孤立奇點為本性奇點的充分必要條件是 即不存在。 畢卡定理定理5.8若為的本性奇點，則對任意數(shù)（可以是），都有一個收斂于 的點列，使 定義殘數(shù)定義6.1設以為孤立奇點，即在的去心鄰域解析，則稱積分 為在點的殘數(shù)（residue），記作 為羅朗展式中那項的系數(shù) 無窮遠點的殘數(shù)定義6.2設為的一個孤立奇點，則稱 為在殘數(shù)。若在的羅朗展式為 則主要定理柯西殘數(shù)定理定理6.1 （柯西殘數(shù)定理）在圍線或復圍線所圍的區(qū)域，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則 極點的殘數(shù)計算定理6.2若為級極點，則，則 極點的殘數(shù)計算定理6.3若為一級極點， 則極點的殘數(shù)計算定理6.4若為二級極點 極點的殘數(shù)計算定理6.5若為的一級極點，則 殘數(shù)總和為零定理定理6.6若在擴充平面上只有有限個孤立奇點，設為，則殘數(shù)總和為0 有理分式的廣義積分定理定理6.7設為有理積分式，其中 為互質多項式