立體幾何的解題技巧

1、立體幾何的解題技巧立體幾何大題的解題技巧綜合提升 【命題分析】 高考中立體幾何命題特點(diǎn)：1. 線(xiàn)面位置關(guān)系突出平行和垂直， 將側(cè)重于垂直 關(guān)系 2. 空間“角”與“距離”的計(jì)算常在解答題中綜 合出現(xiàn) 3. 多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇 題，填空題出現(xiàn) 4. 有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問(wèn)題，特別是 與球有關(guān)的問(wèn)題將是高考命題的熱點(diǎn) 此類(lèi)題目分值一般在 17-22 分之間，題型一般 為 1 個(gè)選擇題， 1 個(gè)填空題， 1 個(gè)解答題 . 【考點(diǎn)分析】掌握兩條直線(xiàn)所成的角和距離的概 念，對(duì)于異面直線(xiàn)的距離， 只要求會(huì)計(jì)算已給出 公垂線(xiàn)時(shí)的距離 .掌握斜線(xiàn)在平面上的射影、直 線(xiàn)和平面所成的角

2、、直線(xiàn)和平面的距離的概念 掌握二面角、 二面角的平面角、 兩個(gè)平行平面間 的距離的概念 .高考考查的重難點(diǎn) * 狀元總結(jié)】空間距離和角：六個(gè)距離”：1 兩點(diǎn)間距離 d . (xi X2)2 (yi y2)2 (zi Z2)2PQ* u2點(diǎn)P到線(xiàn)I的距離d二_ (Q是直線(xiàn)|上任 意一點(diǎn)，u為過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)I法向量)PQ* u3兩異面直線(xiàn)的距離d 一 ( P、Q分別是兩直 u線(xiàn)上任意兩點(diǎn)U為兩直線(xiàn)公共法向量)4點(diǎn)P到平面的距離d 也(Q是平面上任意 U一點(diǎn)，U為平面法向量)5直線(xiàn)與平面的距離【同上】6平行平面間的距離【同上】“三個(gè)角度”：1異面直線(xiàn)角【0，-】cos =；【辨】直線(xiàn)傾斜角范圍【0，)

3、2線(xiàn)面角【0，-】sin = cogv,n)|黑或者解三角2Ml n|形3二面角【0, 1 cos 鴿 或者找垂直線(xiàn),解三角形高中數(shù)學(xué) 源不論是求空間距離還是空間角，都要按照“- 作，二證，三算”的步驟來(lái)完成，即寓證明于運(yùn)算之中， 正是本專(zhuān)題的一大特色求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳 統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。其中，利用 空間向量 求空間距離和角的 套路與格式固 定，是解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)， 使得高考題具有很強(qiáng)的套路性?！纠}解析】考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線(xiàn) 段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足, 當(dāng)然別忘了 轉(zhuǎn)化法與等體積法 的應(yīng)

4、用 典型例題 例1 (福建卷)如圖，正三棱柱ABC ABC!的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CG中點(diǎn).(I)求證： AB,丄 平面 AiBD ；(H)求二面角A AD B的大小; (川)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.考查目的：本小題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)高中數(shù)學(xué) 源系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.BiCi解：解法一：（I）取BC中點(diǎn)。，連結(jié)AO .QA ABC 為正三角形 ， AO 丄 BC .Q正三棱柱 ABC A BG 中，平面 ABC丄平面BCAO丄 平面 BCCiBi .B連結(jié)BO，在正方形 BBiCiC 中，O, BC，CCi 的中點(diǎn) ，BiO

5、 丄 BD，ABi 丄 BD .在正方形 ABBiA 中, ABi 丄 AB，ABi 丄 平面 A BD .AB平面ABD . A AD B的平面角.（U）設(shè)AB,與A B交于點(diǎn)G，在平面ABD中，作GF丄A D 于F，連結(jié)AF，由（I）得AF 丄 AD，/ AFG 為二面角 在厶AA D中，由等面積法可求得AF 4-5，又 QAG 2AB 2，sin / AFG5AG .2_i0AF 545所以二面角 A A D.4（川） Ai BD 中,BD A D-,5， A B 2- 2? Sa Abd ： 6 ，Scd i .在正三棱柱中，A到平面BCCi Bi的距離為3 .設(shè)點(diǎn)C到平面Ai BD的

6、距離為d .高中數(shù)學(xué) 源由V BCDVc AlBD JS BCD g J33Sa A.BD31J3SA BCDSA AlBD點(diǎn)C到平面ABD的距離為2解法二：（I）取BC中點(diǎn)。，連結(jié)AOQ ABC 為正三角形，AO丄BCQ在正三棱柱 ABC ABG 中，平面 ABC丄 平面 BCC1 B1 ,BCCi B取BC中點(diǎn)Oi ,以O(shè)為原點(diǎn)，Ot, OO , 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，A(0,2,廳),A(0,0, 3),B (1,2,0)uuur-uuuur-AB,(1,2,3) , BD(210),BA (1,2, 3)uuur uuuuur uurQ AB1gBD22 0 0 ,AB BA1

7、 4 3 0 ,uur uuuuur uurAR 丄 BD ,AR 丄 BAABi丄 平面 ABD（H）設(shè)平面AAD的法向量為n （x, y, z）uujrADuurAA (0,2,0)uur Q n 丄 ADuujrn 丄 AA1 y 0,x乙ujjrngAD 0, x y 3z 0, ujirngAA 0,2y 0,令z 1得門(mén)（.3,0,1）為平面A AD的一個(gè)法向量. 由（I）知ABi丄平面ABD ,AB1為平面AiBD的法向量.uuur- l lcos n , AB _ngAB_336 |n |gABi| 2/24二面角 A AD B的大小為arccos工4（皿）由（n） , ab：

8、為平面abd法向量，uuuuur_QBC （ 2,0,0）, AB （1,2,.3）. uuu uuur點(diǎn)c到平面 A BD2二| AB 1 |2 近 2小結(jié)：本例中（皿）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面 的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法，把 不易直接求的B點(diǎn)到平面AMBi的距離轉(zhuǎn)化為容易 求的點(diǎn)K到平面AMBi的距離的計(jì)算方法，這是數(shù) 學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法， 這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單 些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法 考點(diǎn)2異面直線(xiàn)的距離 考查異目主面直線(xiàn)的距離的概念及其求法 考綱只要求掌握已給出公垂線(xiàn)段的異面直線(xiàn)的 距離.例2已知三棱錐S ABC ,底面

9、是邊長(zhǎng)為4 2的正三 角形，棱SC的長(zhǎng)為2,且垂直于底 面.E、D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求CD 與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線(xiàn) CD與SE的公垂線(xiàn)不 易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線(xiàn)的距離，轉(zhuǎn)化 成求直線(xiàn)與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到 平面的距離解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，EF 為 BCD 的中位線(xiàn)， EF / CD, CD / 面 SEF ,CD到平面SEF的距離即為兩異面直線(xiàn)間的距離又 線(xiàn)面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)CD上一點(diǎn)C 到平面SEF的距離，設(shè)其為h，由題意知，BC 42,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn)，CD 2 .6, EF =CD . 6,

10、 DF 2, SC 22Vs cef 1 1 EF DF SC 11 62 23 23 23在 Rt SCE 中，SE .SC2 CE22.3在 Rt SCF 中，SF、SC2 CF2.4 24 2.30又 EF . 6, S sef 3由于 Vc sef Vs cef S sef h，即 3 h 竽，解得333k 2.3h3故CD與SE間的距離為字.3小結(jié)：通過(guò)本例我們可以看到求空間距離的過(guò) 程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程 考點(diǎn)3直線(xiàn)到平面的距離 偶爾會(huì)再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn) 面、線(xiàn)面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ACi中，G是aa 的中點(diǎn)，求BD到平面GBiDi

11、的距離.思路啟迪：把線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,i再用點(diǎn) 到平面距離的方法求解解：解法一 BD /平面AiBiCiGB1D1 ,G畠丄斗一J 上DM土人ABD上任意一點(diǎn)到平面GBiDi的距離皆為所求，以 下求點(diǎn)0平面GBiDi的距離,BiDi AG , BiDi AiA ,EB| Di 平面 A ACCi,又 BiDi 平面GBiDi平面AACCi GBiDi，兩個(gè)平面的交線(xiàn)是 OiG,作OH OiG于H ,則有OH平面GBiDi ,即OH是0點(diǎn)到平面GBiDi的距離.在OiOG中，1IllSoog 2Oia 2 2 2 2.2.6又 SoiOG 1 OH OiG 丄 73 OH 42, OH2

12、2即BD到平面GBiDi的距離等于 竽.3解法二 BD /平面GBiDi ,BD上任意一點(diǎn)到平面GED,的距離皆為所求, 以下求點(diǎn)B平面GBiDi的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面GBiDi的距離為h，將它視為三則丄 2 .2. 3. 6,2棱錐B GBiDi的高，VB GBiDi VDi GBBi ,由于 S GBiDih 46Vdi GBBi3 i 2 2 2 ,3 23 1即BD到平面GBiDi的距離等于 空.3小結(jié)：當(dāng)直線(xiàn)與平面平行時(shí)，直線(xiàn)上的每一點(diǎn)到 平面的距離都相等，都是線(xiàn)面距離 所以求線(xiàn)面 距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離 本 例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二 是等體積法求出點(diǎn)

13、面距離考點(diǎn)4異面直線(xiàn)所成的角【重難點(diǎn)】此類(lèi)題目一般是按定義作出異面直線(xiàn)所成的角，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角. 典型例題例4AB如圖，在 RtA AOB 中,斜邊6AB 4 . Rt AOC 可以通過(guò) Rt AOB 以直線(xiàn)AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B AO C的直 二面角.D是AB的中點(diǎn).平面(I )求證：平面COD 平面AOB ；(II )求異面直線(xiàn)AO與CD所成角的大小. 思路啟迪：(II )的關(guān)鍵是通過(guò)平移把異面直線(xiàn) 轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi).解：解法1 : ( I )由題意，CO AO , BO AO ,BOC是二面角B AO C是直二面角,CO BO，又 QAOI BO O ,CO平面AOB

14、,又CO平面COD . 平面 COD 平面 AOB .(| )作DE OB，垂足為E，連結(jié)CE (如圖)，則DE / AO ,A：在 RtACOE 中,CO BO 2，OE 1BO 1，CDE是異面直線(xiàn)AO與CD所成的角.CE .CO20E25 .又 DE 1A0 . 3 2在 RfCDE 中,tanCDE Cf 異面直線(xiàn)A0與CD所成角的大小為arctanJl.3解法2： ( I)同解法1.(II )建立空間直角坐標(biāo)系O xyz，如圖，則0(0,0,0),A(0,0,2 一 3) ,C(2,0,0) ,D(01,3),uucuuur-OA (0,0,2 3) , CD (21,3),uuu

15、uuu-uuu uuurOAgCD6聯(lián)cos OA,CDuuu i i uuu?=尸 OAgCD/3gRV24異面直線(xiàn)AO與CD所成角的大小為arccos4小結(jié)：求異面直線(xiàn)所成的角常常先作出所成角 的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線(xiàn)中 的一條直線(xiàn)上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線(xiàn)的 平行線(xiàn)，如解析一，或利用中位線(xiàn)，如解析二； 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目 的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系， 如解析 三一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異 面直線(xiàn)所成的角的首選方法同時(shí)要特別注意異 面直線(xiàn)所成的角的范圍：0,_.考點(diǎn)5直線(xiàn)和平面所成的角此類(lèi)題主要考查直線(xiàn)與平面所成的角的作法、證明以

16、及計(jì)算.線(xiàn)面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？?內(nèi)容.典型例題例5 （全國(guó)卷I理）四棱錐S ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,底面 ABCD . 已知 / ABC 45 , AB 2 , BC 2罷, SA SB 3 （I）證明 SA BC ；（U）求直線(xiàn)SD與平面SAB所成角的大小.考查目的：本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空 間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.解：解法一：（I）作SO丄BC，垂足為。，連結(jié)AO， 由側(cè)面SBC丄底面ABCD，得 SO丄 底面 ABCD 因?yàn)镾A SB，所以AO BO，又/ ABC 45，故 A

17、OB為等腰直角三角形，AO丄BO，由三垂線(xiàn)定理，得（H）由（I）知B故 SA丄 AD，由 AD BC 2.2 , SA 、3 , AO 2，得SO 1 , SD 陌. SAB的面積 S *AB平SA2 1 AB J2 .連結(jié) DB，得 DAB 的面積 S2 1 ABgADsin 135o 2設(shè)D到平面SAB的距離為h，由于Vd sab Vs abd，得3hgSi 3SOgSa，解得h 2.設(shè)SD與平面SAB所成角為,則 sinh 222SD 、11所以，直線(xiàn)SD與平面SBC所成的我為arcsin_H .11解法二：(I)作SO丄BC ,垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC丄 底面ABCD，得SO丄

18、平面ABCD . 因?yàn)镾A SB,所以AO BO .Cz又/ABC 45o , AOB為等腰直角三角形，AO丄OB . 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直 坐標(biāo)系O xyz ,C(0,、2,0),S(0,0,1),SD62,0,1X,A0，所以SA丄BC .E匸7272門(mén)? E , ,0 ?2 2A( -2,0,0) , B(0,、. 2,0),uu-nr uunCB (0220), SAg：B(H)取ab中點(diǎn)連結(jié)SE，取SE中點(diǎn)G，連結(jié)OG ,，丄.442OG :身,SE 2 身，AB（ Z 2。） SEcpG 0 ? ABgOG 0 ? OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線(xiàn) SE ,

19、AB垂直.所以O(shè)G平面SAB , OG與DS的夾角記為，SD與平面 SAB所成的角記為，貝V與 互余.D（、.2,2 邁,0） , DS （ -.2,2 21）COSOGgDS 22OGgDS 11sin莎所以，直線(xiàn)SD與平面SAB所成的角為arcsin盤(pán)11小結(jié)：求直線(xiàn)與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題 是（1）先判斷直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng) 直線(xiàn)和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造一一 作出斜線(xiàn)與射影所成的角，證明論證作出 的角為所求的角，計(jì)算常用解三角形的方 法求角，結(jié)論一一點(diǎn)明直線(xiàn)和平面所成的角的 值.考點(diǎn)6二面角【重點(diǎn)】此類(lèi)題主要是如何確定二面角的 平面角， 并將 二面角的平面角轉(zhuǎn)化為

20、 線(xiàn)線(xiàn)角 角形中進(jìn)行求解二面角是高考的熱丄 典型例題例6.（湖南卷）BAC P的大小.如圖，已知直角，A PQ ? B ? C ? CA CB， BAP 45。， 直線(xiàn)CA和平面 所成二面的角為30。.BC 丄 PQ命題目的：本題主要考查直線(xiàn)與平面垂直、二面 角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能 力和運(yùn)算能力.過(guò)程指引：（I）在平面 內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CO丄PQ于點(diǎn)O , 連結(jié)OB .Q因?yàn)閬A，I PQ，所以CO丄, 又因?yàn)镃A CB，所以O(shè)A OB 而 BAO 45。，所以 ABO 45。,AOB從而 BO丄PQ，又 CO丄PQ , 所以PQ丄平面OBC 因?yàn)锽C 平面OBC,故 PQ 丄 B

21、C .（II ）解法一：由（I）知，BO丄PQ，又丄,I PQ ,BO ，所以BO丄.過(guò)點(diǎn)O作OH丄AC于點(diǎn)H 連結(jié)BH ,由三垂線(xiàn)定理知，BH 丄 AC .故BHO是二面角B AC P的平面角.由（I）知，CO丄，所以CAO是CA和平面 所成的 角，貝V CAO 30。,不妨設(shè) AC 2，貝 V AO、3 , OH AOsin 30。3 .7 7 2在 Rt OAB 中，ABO BAO 45。, 所以 BO AO .3 ,于是在只也BOH中，tan BHO j 2.2故二面角B AC P的大小為 arctan2 .解法二：由（I ）知，OC丄OA , OC丄OB , OA丄OB，故 可以O(shè)為

22、原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)OB, OA, OC為x軸，y軸, z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)镃O丄a，所以CAO是CA和平面 所成的角，則CAO 30 .不妨設(shè) AC 2，則 AO, CO 1 . 在 RtOAB 中，ABO BAO 45，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是所以 BO AO 靈.IT ULU0(0,0,0)， B(3,0,0)， A(0, 3,0)， C(0,0,1). 所以 AB( 3,、.3,0), Ac (O, 31).mgAC設(shè)S x, y, z是平面ABC的一個(gè)法向量，由nrgAB一 3x、3y 0,3y z 0取 x 1，得 ni （1,1,3）.易知nu（1皿）是平面 的一個(gè)法向量

23、.設(shè)二面角BACP的平面角為，由圖可知，ir in門(mén)仆門(mén)？IT ui所以cos七空Im gr2 I V5 15故二面角B AC P的大小為arccos.5小結(jié)：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題 解法 一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角 無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑： 由二面 角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)確定棱，由二面角 兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線(xiàn)找出棱，補(bǔ)形構(gòu)造 幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的 方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法， 即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量 計(jì)算的方法求出二面角的大小【課后練習(xí)】如圖，在四棱錐P ABCD 中，PA 底面ABCD, DAB

24、 為直角，AB IICD，AD=CD=2AB, E、F 分另U 為PC、CD的中點(diǎn).（I）試證：CD平面BEF;（口）設(shè) PA= k AB,且二面角 E-BD-C的平面 角大于30 ,求k的取值范圍.過(guò)程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿?的空間距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和 角的一般方法.【高考熱點(diǎn)】空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的 表面積1棱柱、棱錐的表面積:r 2各個(gè)面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積：S rl r24圓臺(tái)的表面積S rl r2 RlR2 5球的表面積S 4 R26扇形的面積S扇形 n360 |lr（其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表 示半徑）注：

25、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于地面圓的周長(zhǎng)高中數(shù)學(xué) 源新夢(mèng)想教育中心授課老師；沈（二）空間幾何體的體積1柱體的體積Vs底h2錐體的體積VS底 h3底3臺(tái)體的體積1V（ S上, S上 S下S下）h34球體的體積V-R33【例題解析】考點(diǎn)8簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考 查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為 主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷 典型例題例12 .如圖（1），將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮 的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線(xiàn)折 起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個(gè)正六 棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為時(shí)容積最大.思路啟迪設(shè)四邊形一邊 AD，然后寫(xiě)出六棱柱 體積，利用均值不等式，求出體

26、積取最值時(shí)AD長(zhǎng)度即可解答過(guò)程：如圖（2）設(shè)AD = a，易知/ ABC =60，且/ ABD = 30 AB = 3a .BD = 2a正六棱柱體積為 V .1 9V = 6 - (1 2a)2 sin60 .3a = -(1 2a)2 a2 2=9(12a)(12a)4a - (-)3883當(dāng)且僅當(dāng)1 - 2a=4aa=1時(shí)，體積最大,此時(shí)底面邊長(zhǎng)為1-2a= 1-2X 1 = 2考點(diǎn)9簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算 棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱 柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于3sh其中S是底面積，h是棱錐3的高例15.如圖，

27、在三棱柱 ABC A1B1C1中，AB =2a, BC = CA = AA1 = a，BAi在底面 ABC上的射影0在AC上 求AB與側(cè)面ACi所成角； 若0恰好是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積思路啟迪找出AB與側(cè)面ACi所成角即是/ CAB ;三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個(gè)側(cè)面面積之和，側(cè)面 BCCiBi是正方形，側(cè)面 ACCiAi和側(cè)面ABBiAi 是平行四邊形，分別求其面積即可 解答過(guò)程：點(diǎn)Ai在底面ABC的射影在AC 上, 平面ACCiAi丄平面ABC.在厶 ABC 中，由 BC = AC = a，AB = 2a. / ACB = 90,二 BC 丄 AC.- BC丄平面 ACCiAi.即Z

28、CAB為AB與側(cè)面ACi所成的角在RtABC 中，Z CAB = 45 . AB與側(cè)面ACi所成角是45 . T O 是 AC 中點(diǎn)，在 RtAAAiO 中, AAi = a，AO=丄 a.2- AOi3a.側(cè)面 ACCiAi 面積 Si= ac Aoi= -2a2.又BC丄平面ACCiAi ,BC丄CCi.又BBi = BC = a，二 側(cè)面BCCiBi是正方形， 面積S2 = a2.過(guò)O作OD丄AB于DAiO丄平面ABC ,AiD丄AB.在 Rt AOD 中，AO = 2a ,/ CAD = 45OD =赴4在 RtAAiOD 中，AiD= jOD2+AiO2=呢a)2+(a)242側(cè)面

29、ABB iAi 面積 S3 = ABAD = - 2a , a = 8 7 2 Ta .三棱柱側(cè)面積S= Si + S2C+ S3= 2( 2+ 3+、7) a2.例16.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4, M、N 分別為AB、AC的中點(diǎn)，沿MN將厶AMN折起,使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30,則四棱錐A MNCB的體積為 ()A、3B、2 2D、3思路啟迪先找出二面角平面角，即/AKL ,再在 AKL中求出棱錐的高h(yuǎn),再利用V =Sh3 即可.解答過(guò)程：在平面圖中，過(guò) A作AL丄BC, 交MN于K，交BC于L.則 AK 丄 MN , KL 丄 MN. / AKL = 30 .則四棱錐 A

30、 MNCB的高h(yuǎn)= AK sin30 =仝.2SMNCBKL = 3 ,3 .VA-MNCB =1-3.33.33T = 2.答案A【專(zhuān)題綜合訓(xùn)練】一、選擇題1如圖，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB=1， D在BBi上，且BD=1,若AD與側(cè)面AAiCCi所成的角為 ，則 的值為（）A. 3Carcta n 西42 直線(xiàn)a與平面成角,是平面內(nèi)與a異面的任意直線(xiàn)，則a與b所成的角（）B.A. 最小值，最大值C.最小值，無(wú)最大值D.最小值，最大值-604.如圖, 均為2,BAD成直平行六面體 ABCD-AiBiddi的棱長(zhǎng)無(wú)最小值，最大值-43.在一個(gè)45的二面角的一平面內(nèi)有一條直

31、線(xiàn)與 二面角的棱成45角，則此直線(xiàn)與二面角的另一平 面所成的角為（）A. 30B. 45C.D. 9060，則對(duì)角線(xiàn)AiC與側(cè)面/DCCDC所IrA B的角的正弦值為（A.C.1222B.D.5已知在 abc中，AB=9, AC=15, bac 120，它 所在平面外一點(diǎn)P到abc三頂點(diǎn)的距離都是14,那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.13C. 9D. 7B. 116如圖，在棱長(zhǎng)為 3的正方體ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則點(diǎn)BA B到平面AMN的距離是（ ）A. 9B. 3C.65D. 27將qmn 60，邊長(zhǎng)MN=a的菱形MNPQ沿對(duì) 角線(xiàn)NQ

32、折成60的二面角，則MP與NQ間的距 離等于（）A.仝aB. 3aC.a244D.-3a48 二面角 i的平面角為120，在內(nèi)，AB 1于B, AB=2,在 內(nèi)，cd i于 D, CD=3,BD = 1, M 是棱i上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM +CM的最小值為（）A. 25B. 22C.a/26D. 2 晶9空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每?jī)牲c(diǎn)所連線(xiàn)段的 長(zhǎng)都等于a,動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線(xiàn) 段CD上，則P與Q的最短距離為（）C.B. 厶2D.a3a2它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均10.在一個(gè)正四棱錐，,那么包裝紙的最小邊為a ,現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包?。ú?能裁剪紙，但可以折疊） 長(zhǎng)應(yīng)為（）A.

33、 ( 26)a B.、2 .6a2C. (1 、3)a1 -3D.11.已知長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi 中，AiA=AB=2, 若棱AB上存在點(diǎn) 的取值范圍是（A. 0,1D.0,2P,使Df pc ,則棱AD的長(zhǎng))B. 0, 21, 2C.12.將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使點(diǎn)D 在平面ABC夕卜，則DB與平面ABC所成的角一 定不等于（ ）30B.45C.60D. 901、填空題B1.女口圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1，E是AiBi的中點(diǎn)， 則下列四個(gè)命題： E到平面ABCiDi的距離是 ； 直線(xiàn)BC與平面ABCiDi所成角等于45 ； 空間四邊形ABCDi在

34、正方體六個(gè)面內(nèi)的射 影圍成面積最小值為i； BE與CDi所成的角為arcsin評(píng)2. 如圖，在四棱柱 ABCD-AiBiCDi中予是 AiCi/B/上的動(dòng)點(diǎn)，E為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD足 寸，體積Vpaaeb恒為定值（寫(xiě)上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可）3邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，沿BC邊高線(xiàn)AD折起,使得折后二面角B-AD-C為60 ,則點(diǎn)A到BC的距離為點(diǎn)D到平面ABC的距離為4 在水平橫梁上A、B兩點(diǎn)處 各掛長(zhǎng)為50cm的細(xì)繩，AM、BN、AB的長(zhǎng)度為 60cm,在MN處掛長(zhǎng)為60cm的木條，MN平行于橫梁，木條的中點(diǎn)為O,若木條繞過(guò)O的鉛垂線(xiàn)旋轉(zhuǎn)60,則木條比原來(lái) 升高了5 多面體

35、上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱(chēng)為相 鄰的.如圖正方體的一個(gè)頂點(diǎn) A在 平面內(nèi). 其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相 鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到 的距離分別是1、2和4. P 是正方體其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平號(hào))6.如圖，棱長(zhǎng)為1m的正方體密封容器的三個(gè) 面上有三個(gè)銹蝕的小孔(不計(jì)小孔直徑) 01、 02、03它們分別是所在面的中心如果恰當(dāng)放置 容器，容器存水的最大容積是m3.三、解答題1. 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為a,D為BC為中點(diǎn)，M在BB1上，且BM= 3B1M，又 CM 丄AC1；3(1) 求證：CM 丄 C1D;(2) 求AA1的長(zhǎng).B高中數(shù)學(xué)新夢(mèng)想教育中心授課老師；沈

36、源2. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是矩形且 AD=2，AB=PA= 42，PA丄底面 ABCD , E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上.(1) 求F在何處時(shí)，EF丄平面PBC ;(2) 在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公 垂線(xiàn)段.若是，求出公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若不是， 說(shuō)明理由；(3) 在(1)的條件下，求直線(xiàn)BD與平面BEF所 成的角.3. 如圖，四棱錐 SABCD的底面是邊長(zhǎng)為1 的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB= 3.(1) 求證 BC SC;(2) 求面ASD與面BSC所成二面角的大小；(3) 設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線(xiàn)DM 與SB所成角的大小./高中數(shù)學(xué) 源4. 在直

37、角梯形 ABCD 中,D= BAD=90 ,AD=DC= 1AB=a,（如圖一）將厶ADC沿AC折起，使D到d .記面ACd為, 面ABC為.面BCd為.（1）若二面角 AC 為直二面角（如圖二）， 求二面角 BC 的大?。唬?）若二面角 AC 為60 （如圖三），求 三棱錐d ABC的體積.DD1高中數(shù)學(xué) 源5如圖，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF 的中點(diǎn).(1) 求證AM/平面BDE ;(2) 求二面角A DF B的(3) 試在線(xiàn)段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與BC所成的角是60 .【參考答案】.選擇題1. D 提示：AD在面ACC1A1上的射影應(yīng)在 AC

38、 與AiCi中點(diǎn)的連線(xiàn)上，令射影為 E,則/ EAD 為所求的角在 Rt EAD 中，DE , AD . 2. sin EAD 匹 26.2AD V24EAD arcs in2. B 提示：由最小角定理知，最小角為，又異面直線(xiàn)所成角的范圍為0,-，最大角為-.2 1 23. A 提示：由最小角定理知，此直線(xiàn)與另一面 所成的角應(yīng)小于等于它與交線(xiàn)所成的角，故排除C、D，又此二面角為45，則此直線(xiàn)與另一平 面所成的角只能小于它與交線(xiàn)所成的角，故選A.4. D 提示：由題意，Ai在面DCCiDi上的射影應(yīng)在CiDi延長(zhǎng)線(xiàn)E上，且DiE = 1,則/ AiCE 為所求角，在 Rt AAiC 中，I 22

39、ACAAi AC4, Ai E. 3, sin AQEAiEAiC5. D 提示：由P到厶ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是 i4,知P在底面ABC的射影是厶ABC的外心， 所以PO為所求.由余弦定理得：BC=2i.由2RBCsin i20孕i43得外接圓半徑為7淪，即OB任，32在 Rt POB 中，POPB2 BO2 7.6. D提示：由題圖得113AMNVN AMB ._ h S AMNS AMB3323SAMB2.2SAMN2 S AMN7. B提示：連結(jié)MP、NQ交于O，由四邊形MNPQ是菱形得MP丄NQ于0,將MNQ折起 后易得M0丄QN, 0P丄QN，所以/ MOP=60, 且QN丄面M0

40、P，過(guò)0作0H丄MP，所以0H 丄QN，從而0H為異面直線(xiàn)MP、QN的公垂線(xiàn)， 經(jīng)計(jì)算得0H 3 a.48. C 提示：把半平面展到半平面 內(nèi)，此時(shí)，連結(jié)AC與棱的交點(diǎn)為M，這時(shí)AM +CM取最小值等于 AC. (AM+CM)min= 1 (2 3)226.9. B提示：P、Q的最短距離即為異面直線(xiàn)AB 與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD 的中點(diǎn)時(shí)符合題意.10. B提示：將正棱錐展開(kāi)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m， 則,2m a 3a, m211. A 提示：D,p PC, DP PC,在長(zhǎng)方形ABCD中 AB邊存在P，作dp pc，又因?yàn)锳B =2，由對(duì)稱(chēng) 性可知，P為AB的中點(diǎn)時(shí)，AD最大為

41、1，ad 0,1 故選A.12. D 提示：若BD與平面ABC所成的角為90， 則平面ABD平面ABC，取AC的中點(diǎn)O，則BD AC，DO AC 且BO=DO， BD與BO不垂直，故BD與平面ABC 所成的角一定不等于90.高中數(shù)學(xué) 源填空題1 提示：對(duì)于，由Ve ABC1Vs ABE得S ABCiS ABE，S ABES ABC1錯(cuò).對(duì)于連CB1交BC1于0,則0為C在面ABC1D1上的射影，CB0 45為所成的線(xiàn)面角，正確.作圖易知正 確，對(duì)于連A1B，則ABE為所成的角，解ABE得 前A1BE晉，正確.2. AB II CD 提示：Vpaeb 1 hp S abe，要使體積為3定值，則S

42、abe為定值，與E點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，則 AB II CD彳.-，評(píng) 提示：作DE BC與E,易知AD平面BCD， 從而 AE BC ， BDC 60 又由 BD DC ， 得DE ，又 AD ，42AE DE2 AD2于，由可解的點(diǎn)到平面的距離為1510 .4.10cm 提示：MO = NO=30cm，過(guò) O 作mn與 旋轉(zhuǎn)前的MN平行且相等，所以旋轉(zhuǎn)后AB與平 面MON的距離為502 302 40 ，故升高了高中數(shù)學(xué) 源50-40=10cm.5 .6.|三、解答題1.（ 1）證明：在正三棱柱ABC AiBiCi中，D 為BC中點(diǎn)，貝IAD丄面BCCiBi，從而AD丄 MC又 CM丄ACi,則MC和

43、平 面ADC i內(nèi)兩相交直線(xiàn) AD , ACi均 垂直MC丄面ADC i,于是MCDCi.（2）解：在矩形BBiCiC中，由CM丄DCi 知厶 DCCiBMC，設(shè) BBi=h,則 BM=h4ia ih：a=2: h，求得h 2a從而所求AAi= 2a2解：（I ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線(xiàn) AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，貝U p（0, 0，2），A（0, 0，0），B（0，2，0），C（2,2 , 0）, D（2, 0, 0）, E（1, 0, 0） F在PC上，可令pf亦設(shè)F(x, y, z)BC 20,0 ,PC 2, .2, .2 ,EF x 1,y,z EF 丄

44、平面 PBC,二 EF ?PC 0 且 EF ?BC 0，又PF PC , 可得1，x 1y z 故F為PC的中點(diǎn).(n )由(I )可知：EF 丄 PC, 且 EF 丄 BC 即 EF 丄ADEF是PC與AD的公垂線(xiàn)段，其長(zhǎng)為網(wǎng)=1(川)由(I )可知PC 2, 2 2即為平面BEF的一個(gè)法向量而B(niǎo)D 2, 2 0設(shè)BD與平面BEF所成角B ,則：sin 0=cos BD?PC bd ?pc bd|? pc 6 0 =arcsin曽.故BD與平面 BEF所成角為3arcs in 才L圖23. (1)證法一：如圖， 底面ABCD是正方形, 二 BC 丄 DC .& SD丄底面 ABCD , D

45、C是SC在平面 上的射影，由三垂線(xiàn)定理得BC丄SC.證法二：如圖1,底面ABCD是正方形,BC丄DC . SD丄底面 ABCD ,SD丄BC，又DC n SD=D, BC丄平面SDC,BC丄SC.(2) 解：如圖2,過(guò)點(diǎn)S作直線(xiàn)iad, i在面ASD 上，底面 ABCD為正方形，iADBc, I在面BSC 上,i為面ASD與面BSC的交線(xiàn).I SD AD,BC SC, I SD,I SC,/ CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面 角.T BD= 2, SB= 3, SAD=1 二 csd 45(3) 解 1:如圖 2,T SD=AD=1 , / SDA=90 , SDA是等腰直角三角形.又 M是斜邊SA 的中點(diǎn)， DM 丄 SA. I BA 丄 AD , BA 丄 SD, AD n SD=D , BA丄面ASD ,SA是SB在面ASD上的射影.由 三垂線(xiàn)定理得DM丄SB.異面直線(xiàn)DM與SB所成的角為90 .解2:如圖3