考研偏導(dǎo)全微分關(guān)系特詳細解

1、微分偏導(dǎo)之間的關(guān)系下面舉例說明相關(guān)關(guān)系（對于A B的我們舉反例對于A =B的證 明之）。（1） 首先證明可微則f ,f存在。即對應(yīng)上圖的全微分偏導(dǎo)存在。ex cy證：由可微的定義有 Z=x+BA y+o（）所以：f（x+ x,y+ y）-f（x,y）= A x+B y+o（）令： y=0再對等式兩邊取極限有：蘭= lim f（x ：x，y）-f（x,y）=A 同理 H=Bx x0x:-y（2） 在一點M（xo, yo）可微不能推出偏導(dǎo)連續(xù)。對應(yīng)上圖可微 丄冷偏導(dǎo)連續(xù)。例：（x2+y2）si nJ 2x2+y20Vx +yf（x,y）= v-0 ,x2 + y2=0在點（0,0 ）可微但是偏導(dǎo)并

2、不連續(xù)。 Z= A x+B- y+o( ?)由全微分可微的判別式（或稱定義）：求一點的偏導(dǎo)我們用定義（可用偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性直接代入該點，但是在此偏導(dǎo)連續(xù)性是我們需證明的問題所以在這里我們只能用定義求一點偏導(dǎo)）1 x sin A=fx(0,0) =lim f(x,0) - f(0,0)x_y衛(wèi)xOB=fy(0,0)=limf(0, y) f(，0)x z00y -01y sin =vy1門ysin 2=0 y. y2 Z=f( x, y)-f(O,O)=2 2 1(=x-y )sin .jA 2,.2limolz -0 * x -0 * y2 2(X 逍)sin 2寸也X十3匕2丄人2.門X y

3、sin-=2= 0(Ax 十Ayx2 ： -y2所以函數(shù)在（0,0 ）可微。下面證明在（0, 0）偏導(dǎo)不連續(xù)。首先求f ,fex cyf （x, y）二（2x）sin-x cos xx2 y2x2 y2x2 y2由于x,y的輪換性（也就是x與y可交換，地位相同在此不詳述，后 面空間積分用它時再詳述）所以（將x與y位置調(diào)換即可）f (x, y)y再利用二元函數(shù)連續(xù)定義（在此證明它的不存在故取特殊路徑） 取X=0的路徑=曾2 x)777 cos?x7 =0取y=xlim蘭區(qū)yl;J:x_1_、X2X2X、X2X2cos= lim(2 x)sin x_0y仝不存在。即limx0 y 0f (x, y

4、).X（0,0）所以偏導(dǎo)在（0,0 ）不連續(xù)。（3）偏導(dǎo)存在不能直接推出微分存在即偏導(dǎo)存在證畢一全微分例（教材71）xyx2y2 = 0f(X,y)= Y0在（0， 0）偏導(dǎo)存在但不可微fx(0,0)=|ixm7Tr=0彳丫0) XMx =0 x y全微分定義 Z= A x+BA y+o( ：) Z=f( x, y)-f(0,0)=x y =0 x+0 y+o()J 二x2 ： -y2兩邊取極限:x * yZ-0 * x 0 yx2 =y2x* y叫叫叫帀托證明它的不存在我們?nèi)√厥饴窂?取x=0lim I、X衛(wèi)八xy=0取y=x2AxAy廣Z1lim 22 = lim 22 :y J x 紹

5、x ：0 厶 x. x 2證畢由上知不可微(4) 偏導(dǎo)存在且連續(xù)可以推導(dǎo)出可微證明見教材(72頁)。(證明了 解，結(jié)果必須會用)(5) 全微分可以推出二元函數(shù)連續(xù)即全微分，-函數(shù)連續(xù)證明：直接由定義 Tj=A x+B y+o( )所以：f (x+Ax,y+ y) -f(x,y)二 A x+B y+o()對上式取極限有：即:ljm I f (x =x, y =y) - f (x,y)/ = lim : A ：X B * ：yf limlim 1 f (x 亠:x, y ： =y) - f (x, y) ,0 ：v ；0所以:f (x ： =x, y =y)二 f (x, y)證畢(6) 函數(shù)連續(xù)

6、不能推出可微我們不舉例了。這個最簡單下面重點討論偏導(dǎo)和方向?qū)?shù)的問題(7) 可微分推出方向?qū)?shù)即可微分 = 方向?qū)?shù)存在沿L方向的方向?qū)?shù)定義：ff(X0 t cos ： , y t cos ：) - f(X0, y。)a人必廠四+t全微分定義： Z =f (x+Ax,y+ y) -f(x,y)= A x+B y+o( )由于偏導(dǎo)是直線沿著一個方向起點在（x,y ）的射線微分中的厶x, y是沿著任意方向趨近于（0, 0）不妨設(shè)（取特殊路徑沿著L趨近）：.vx=tcos.lyrtcosl 而0 于是微分式變?yōu)? Z =f ( x+tcos： ,y+ tcos ： ) -f(x,y)= A tco

7、s： +B - tcos -+o( )其中= (tcos：) (tcos：) t對微分兩邊取極限:llmff (x tcos：, y tcos ：) - f x, y = ”吧 A tcos 工，B *tcos；o(t)再由可微定義：Acos 篇Bcos :) = Acost Bcos !：:;llmtt當(dāng)(x,y )取(xo,y。)時仍然成立f(x tcos ttcos f(xD，yo)正好是偏導(dǎo)定義。f(xo tcos： ,% tcos f(x0，yo)=Acosa B.cosf (x t cos ： , y t cos - f (x, y) , =lim t0而左邊llm -十所以有斗k

8、sL巴J 在全微分中 A=fx(xo,yo)B=fy(xo, yo)所以有：齊。）.f (xo +tcosa, y +tcosP) - f (xo, yo) 二 limt= fx(Xo,yo) 90S：fy(xo, yo)cos :證畢（8）函數(shù)在一點偏導(dǎo)存在但方向?qū)?shù)不存在即偏導(dǎo)存在1方向?qū)?shù)例f(x,y) =xyx2y2x2y2 = 0x2y2 =0f(x0)f(0,0)匸02- 0由定義：fX(0,0) = 1卯卩由于x,y具有輪換性所以fy(0,0)=0方向?qū)?shù)定義：:扁y0)巴+f(X0+tCOSy0+ttCOSB)f(X0，yo)(t cos： ) (tcos ：) n t2-clim1limT titxo,yo)LX所以-f 1(0,0尸.1t2tcos叱不存在（此處證畢cos cos =也就是說此處L與X,Y軸不重合）（9）函數(shù)在一點方向?qū)Т嬖诘珜?dǎo)數(shù)不存在即方向?qū)?shù)偏導(dǎo)例f（x, y x2 y2方向?qū)?shù)（此處假設(shè)沿著方向 =（1,0）偏導(dǎo)fx(0,0)舉f( ：x,0) -f(0,0)z.：x202 - 0Ax不存在證畢總結(jié)：雖然考試不直接考結(jié)論但是我們可以從上面知道，要斷定他們關(guān)系時對定義的理解要深刻且會用于判斷。下面列舉幾個數(shù)學(xué)思維方法：（1） 舉反例駁倒命題