冪級(jí)數(shù)測(cè)試題

1、               第十四章  冪級(jí)數(shù)單選題：1設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為  R ，則下列斷語(yǔ)中正確的是（A）在上一致收斂。（B）在內(nèi)某些點(diǎn)處非絕對(duì)收斂。（C） 的收斂半徑大于   。（D）對(duì)任意的  ，在上一致收斂。2。若冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則該級(jí)數(shù)(A)在處發(fā)散；     &

2、#160;              (B)在處收斂；(C)收斂區(qū)間為                (D)當(dāng)時(shí)發(fā)散。  3冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域是(A)           

3、;                 (B) (C)                            (D)  &#

4、160; 4若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R,那么(A),                    (B) ,(C),                      (D)不一

5、定存在 .  5如果能展開成  的冪級(jí)數(shù)，那么該冪級(jí)數(shù)     (A) 是 的麥克勞林級(jí)數(shù)；         (B)不一定是  的麥克勞林級(jí)數(shù)；     (C)不是 的麥克勞林級(jí)數(shù)；       (D) 是在點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)。6. 

6、如果,則冪級(jí)數(shù)(A)當(dāng)時(shí),收斂；                 (B) 當(dāng)時(shí),收斂；(C) 當(dāng)時(shí),發(fā)散；               (D) 當(dāng)時(shí),發(fā)散7.設(shè)級(jí)數(shù)在  處是收斂的，則此級(jí)數(shù)在處   

7、 (A)發(fā)散；                             (B)絕對(duì)收斂；    (C)條件收斂；            &#

8、160;            (D)不能確定斂散性。                       8冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處A  全是發(fā)散的.      

9、0;            B. 全是收斂的C.  左端點(diǎn)發(fā)散, 右端點(diǎn)收斂.       D  左端點(diǎn)收斂, 右端點(diǎn)發(fā)散9. 函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)的方法是.    10. 冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?#160;      

10、0;   答案:   110  DDBDA  ADDDA  填空題：1. 若冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂, 則應(yīng)滿足_.         2. 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2, 則級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_.  3.級(jí)數(shù)的和函數(shù)為_.  4. 設(shè)是一等差數(shù)列 , 則冪級(jí)數(shù)收斂域是_.  5

11、. 與有相同的_.  6. 的冪級(jí)數(shù)展開式_.  7. 冪級(jí)數(shù)只有在_區(qū)間內(nèi)才有和函數(shù).  8. 經(jīng)過(guò)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分后冪級(jí)數(shù)_不變.  9. 的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式_.  10. 級(jí)數(shù) 在區(qū)間_收斂. 答案： 1. .             4. ( -1, 1)

12、0;         5. 收斂區(qū)間. .        6.         7. 收斂.      8. 收斂半徑.     9. 計(jì)算題1.   

13、;    求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).  2. 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).  3. 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域     ( 1)    4. 將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù), 并指出收斂域.  5. 求函數(shù)在x=1處泰勒展開式.  6. 設(shè)冪級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)有  且  求該冪級(jí)數(shù)的函數(shù)

14、.  7. 將展成 x的冪級(jí)數(shù).  8. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).  9. 試求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域及和函數(shù)10. 設(shè)，確定的連續(xù)區(qū)間，并求積分的值 答案:    1. 解  因  且當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)都發(fā)散, 故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?#160;( -1, 1 ),      令 , 則 ,.2. 解:

15、   收斂半徑,  當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)發(fā)散, 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?#160;( -1, 1 ).   設(shè)其和函數(shù)為,        3. ( 1 )  解   記 ,   由于    , 故 收斂半徑R=1, 收斂區(qū)間為 ( -1, 1 ) &

16、#160;  當(dāng)時(shí), 由于, 故級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?#160;( -1, 1 ) .  ( 2 ) 解  記     因?yàn)?#160;       所以收斂半徑R=1, 收斂域?yàn)?#160; -1, 1 .     4. 解      

17、                       而                          而級(jí)數(shù)與的

18、收斂域都是  -1, 1 , 故當(dāng) 時(shí)                         5. 解     因            

19、0;              .       6. 設(shè)和函數(shù)  則                       即 .

20、          解上述關(guān)于的二階微分方程, 得  .      7. 解  易看出  ,  而                    &

21、#160; 兩邊求導(dǎo),  得  .8.       級(jí)數(shù)的和函數(shù)為                          9.  由于級(jí)數(shù)在上收斂，    

22、0;              所以當(dāng)時(shí)，有                                  

23、0;                                          10. 因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂域是，所以在上的連續(xù)，   

24、                   且可逐項(xiàng)積分。                   .證明題： 1. 設(shè) 在內(nèi)收斂, 若也收斂, 則  

25、0;          .           2. 設(shè)f為冪級(jí)數(shù)在 ( -R, R ) 上的和函數(shù), 若f為奇函數(shù), 則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng), 若f 為偶函數(shù), 則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng).3. 設(shè)函數(shù)定義在  0, 1上, 證明它在 (0, 1 ) 滿足下

26、述方程:                   4. 設(shè)   證明當(dāng)  時(shí), 級(jí)數(shù) 收斂.5.            設(shè)冪級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別為，設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。6.  

27、60;  設(shè)，求證：  其中       7. 設(shè)，。證明：當(dāng)時(shí)，滿足方程。   8. 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R(>0), 且在(或時(shí)收斂, 則級(jí)數(shù)在 0, R ( 或 -R, 0 )上一致收斂.  9. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界,即存在正數(shù)M, 對(duì)一切, 有,  證明: 對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)與有 

28、0;  .       10. 證明: 滿足方程.答案:  1. 證明: 因?yàn)楫?dāng) 收斂,  有             又當(dāng)時(shí), 收斂, 從而可知 在左連續(xù),于是. 2. ,   ,  &#

29、160;當(dāng)為奇函數(shù)時(shí), 有,  從而   ,   這時(shí)必有  .   當(dāng)為偶函數(shù)時(shí), 有此式當(dāng)且僅當(dāng).3.證明:  設(shè)   則                       

30、;       .   所以      故 . 0<x<1.4. 因?yàn)?#160; 所以 , ,取極限得到  ,  從而級(jí)數(shù)的收斂半徑故 時(shí), 級(jí)數(shù)收斂.5. 對(duì)于任意     ，由于，所以，絕對(duì)收斂。    

31、0;                     又所以絕對(duì)收斂。                          6. 時(shí),        ，                     ，故  從而                &