數(shù)列求和(講)9種方法分類將

1、數(shù)列的求和數(shù)列的求和一一. .公式法公式法等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式：項和公式：等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項和公式項和公式 11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq1123(1)2nn n 例例1 1：求和：求和：23. nxxx1. 468+2n+2 （）2311112 12 222n .1 10 0看通項，是什么數(shù)列，用哪個公式；看通項，是什么數(shù)列，用哪個公式；2 20 0注意項數(shù)注意項數(shù)公公式式法法二、倒序相加法二、倒序相加法如果一個數(shù)列如果一個數(shù)列 a an n ，與首末兩項等與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項

2、之和距的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），（都相等，為定值），可采用正著可采用正著寫和倒著寫的兩個和式相加，就得寫和倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法法稱為倒序相加法. . 等差中：等差中：a1 1+an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=例例2 2、已知、已知lg(xy)2n nn n- -1 11 1n n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )+ +l lg gy y , ,

3、( (x x 0 0, ,y y 0 0) )求求S Sn nn n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy yn nn n- -1 1n nS S = =l lg g+ +l lg g( (x x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy yx xn nn nn n2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) )= = 2 2n n( (n n + +1 1) )S S = = n

4、 n( (n n + +1 1) )解：解：三、錯位相減法：三、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項乘積組成，此時求和對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法可采用錯位相減法. .既既an nbn n型型等差等差等比等比例例3.已知數(shù)列已知數(shù)列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前，求其前n項和項和當a1時，Snn2. 設數(shù)列設數(shù)列 滿足滿足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求數(shù)列求數(shù)列 的通項；的通項；(2)設設bn ，求數(shù)列，求數(shù)列 的前的前n項和項和Sn.變式探究變式探究1變式探究變式探

5、究2 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an 的首項為的首項為1，前，前10項的和為項的和為145，求，求a2a4.na232n12n6.四、裂項求和法：四、裂項求和法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前于是前n n項的和變成首尾若干少數(shù)項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為分裂通項之和，這一求和方法稱為分裂通項法項法. .（見到分式型的要往這種方見到分式型的要往這種方法聯(lián)想法聯(lián)想） 例例4.在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an中，中，a13，d2，S

6、n是其前是其前n項的和，求：項的和，求：S .1特別是對于特別是對于 ，其中，其中 是各項均不為是各項均不為0的等差數(shù)列，通常用裂項的等差數(shù)列，通常用裂項相消法，即利用相消法，即利用 (其中其中dan1an)常見的拆項公式有：常見的拆項公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn16.11nnnn2114.1121212121nnnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn求數(shù)列求數(shù)列 ,的前的前n項和項和.8 84 41 1, ,6 63 31 1, ,4 42 21 1, ,2 21 11

7、 12 22 22 22 2+32n3-4 2(n1)(n2)變式探究變式探究1：例例4.設數(shù)列設數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，點，點(n， )(nN*)均在函數(shù)均在函數(shù)y=3x-2的圖象上的圖象上.（1）求數(shù)列）求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；（2） ，Tn是數(shù)列是數(shù)列bn的前的前n項和，項和，求使得求使得Tn 對所有對所有nN*都成立的最小都成立的最小正整數(shù)正整數(shù)m.n nS Sn n1 1n nn nn na aa a3 3b b+=2 20 0m man=6n-5(nN*).m10.變式探究變式探究2：4.(2010年廣州一模年廣州一模)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足對任意的滿足對任

8、意的nN*，都有，都有an0，且，且 (a1a2an)2. (1)求求a1，a2的值；的值； (2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式an； (3)設數(shù)列設數(shù)列 的前的前n項和為項和為Sn，不等，不等式式Sn loga(1a)對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù)n恒成立，恒成立，求實數(shù)求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍變式探究變式探究3：解析：(1)當n1時，有 ，由于an0，所以a11. 由于a2a11，即當n1時都有an1an1，所以數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列故ann. cn=an+bn(an、bn為等差或等比數(shù)列。）為等差或等比數(shù)列。）項的特征項的特征五五. . 分組求和法分組求和法例例

9、5.求下面數(shù)列的前求下面數(shù)列的前n項和項和 111112 ,4 ,6,248162nn111(1)22nn n , + n 1練習練習1.求數(shù)列求數(shù)列 + 2 3 , + 的前的前n項和項和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 nn(n+1)2+2 -2n+1分組求和法分組求和法2求數(shù)列求數(shù)列1,3 ，32 ，3n 的各項的和的各項的和例例6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？局部重組轉化為常見數(shù)列局部重組轉化為常見數(shù)列六、并項求和六、并項求和21.( ),:22( 2008)( 200

10、7)(0)(1)(2008)(2009)xf xffffff設求練習練習1：練習練習2 2：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21七七. .奇偶法奇偶法 通過分組，對通過分組，對n n分奇偶討論求和分奇偶討論求和 23(),31()nnnnnnnaananS為奇數(shù)例7.數(shù)列中為偶數(shù)求的前 項和 。(3) 數(shù)列數(shù)列an中中，a

11、n2n(1)n，求求Sn.122212(1).1234( 1)(2).1357.( 1)(21)nnnSnSn 練習：求和練習：求和例例8 8：已知數(shù)列：已知數(shù)列5 5，5555，555555，555555，求滿足前求滿足前4 4項條件的數(shù)列的通項公式及項條件的數(shù)列的通項公式及前前n n項和公式。項和公式。練習：求和練習：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+ +(+(1+2+21+2+22 2+ +2+2n-1n-1) ) 八八. 構造通項求和構造通項求和通項通項=2n n-1-1練 習

12、求 和：1 11 11 11 1+ + + +. . . . . . + +1 1 1 1+ +2 2 1 1+ +2 2+ +3 31 1+ +2 2+ +3 3+ +4 4+ +. . . . . + +n n先求通項先求通項再處理通再處理通項項21nn 九九.周期轉化法周期轉化法 如果一個數(shù)列具有周期性，那么只如果一個數(shù)列具有周期性，那么只要求出了數(shù)列在一個周期內(nèi)各項的和，要求出了數(shù)列在一個周期內(nèi)各項的和，就可以利用這個和與周期的性質對數(shù)就可以利用這個和與周期的性質對數(shù)列的前列的前n項和進行轉化合并項和進行轉化合并周期為周期為4，和為，和為1003練習：練習：1 1要求數(shù)列的前要求數(shù)列的

13、前n n項和，關鍵是抽取出其通項項和，關鍵是抽取出其通項來加以分析，根據(jù)數(shù)列的通項的結構特點去選擇適來加以分析，根據(jù)數(shù)列的通項的結構特點去選擇適當?shù)姆椒ó數(shù)姆椒? 2等價轉換思想是解決數(shù)列問題的基本思想等價轉換思想是解決數(shù)列問題的基本思想方法，它可將復雜的數(shù)列轉化為等差、等比數(shù)列問方法，它可將復雜的數(shù)列轉化為等差、等比數(shù)列問題來解決題來解決3 3數(shù)列求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容，其實質數(shù)列求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容，其實質是將多項式化簡，等差、等比數(shù)列及可以轉化為等是將多項式化簡，等差、等比數(shù)列及可以轉化為等差、等比數(shù)列的求和問題應掌握，還應掌握一些特差、等比數(shù)列的求和問題應掌握，還應掌握一些特殊數(shù)列的求和殊數(shù)列的求和歸納小結歸納小結4 4解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路思路(1)(1)轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往