概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題

1、第一章 概率論的基本概念一、填空題:1.設則 , , 。2.設在全部產(chǎn)品中有2%是廢品,而合格品中有85%是一級品,則任抽出一個產(chǎn)品是一級品的概率為 。3.設A，B，C為三事件且P(A)=P(B)=P(C)=,則A,B,C中至少有一個發(fā)生的概率為 .4.一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品,不放回的抽取兩次,則第二次取到次品的概率為 .5. 設A，B為兩事件, 當A，B不相容時, 當A，B相互獨立時, 。 二.、選擇題 1. 1設A，B為兩隨機事件，且則下列式子正確的是（ ）。（A） （B）（C） （D）2.每次試驗成功的概率為p(0< p<1),進行重復試驗,直到第10次試驗才取得4

2、次成功的概率為( )。（A） （B）（C） （D） 3.設A,B為兩事件,則P(A-B)等于( )。 (A) (B) （C） (D) 4.關于獨立性,下列說法錯誤的是( )。(A)若則其中任意多個事件仍然相互獨立;（B）若則它們之中的任意多個事件換成其對立事件后仍然相互獨立（C） 若A與B相互獨立, B與C相互獨立, A與C相互獨立, 則A,B,C相互獨立;（D） 若A,B,C相互獨立,則與C相互獨立5. n張獎券中含有m 張有獎的, k個人購買,每人一張,其中至少有一人中獎的概率是( )。(A) (B) （C） (D) 三、解答題1寫出下列隨機式驗的樣本空間及事件A包含的樣本點（1）擲一顆骰

3、子，設事件A=出現(xiàn)奇數(shù)點；（2）一袋中有5只球，分別編號為1，2，3，4，5，從中任取3球。A=取出了3只球的最小號碼為2。2設A，B，C為三個隨機事件，用A，B，C的運算關系表示下列各事件：（1）A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）A，B，C中到少有一個發(fā)生；（4）A，B，C都發(fā)生；（5）A，B，C都不發(fā)生； （6）A，B，C中不多于一個發(fā)生。3已知，求下列三種情形下的值（1）A與B互不相容；（2）；（3）A與B相互獨立。4一批產(chǎn)品共40個，其中5個次品，現(xiàn)從中任意取4個，求下列事件的概率。A=取出的4個產(chǎn)品中恰有1個次品; B=取出的4個產(chǎn)品中至少有1個次品5已

4、知在10件產(chǎn)品中有2只次品，在其中兩次，每次取一只，作不放回抽樣求下列事件的概率（1）兩只都是正品；（2）兩只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。6三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為求：（1）三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率； （2）三人全部將此密碼譯出的概率。7已知男性中有5%是色盲，女性中有0.25%是色盲，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機挑選一人，恰好是色盲，問此人是男性的概率是多？8設工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該產(chǎn)品是工廠A生產(chǎn)的概率。第二章

5、 隨機變量及其分布一、填空題:1一袋中裝有5只球，編號分別為1，2，3，4，5在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，則隨機變量X的分布律為 .2.設隨機變量X的分布律為則常數(shù)c = 3.若隨機變量在(1,6)上服從均勻分布，則方程有實根的概率是 . 4. 設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為,則常數(shù)A= ,= 5.一射手對同一目標獨立地進行四次射擊,若至少命中一次的概率為,則該射手的命中率為 . 二、選擇題1.常數(shù)b=( )時, 為離散型隨機變量的概率分布. (A) 2; (B) 1; (C) ; (D)3 2.若要可以成為隨機變量X的概率密度,則X的可能取值區(qū)間為( ) (A) (B

6、) (C) (D) 3.設隨機變量X與Y 均服從正態(tài)分布, 記,則( ) (A) 對任何實數(shù),都有 (B) 對任何實數(shù),都有 (C) 只對的個別值,才有 (D) 對任何實數(shù),都有 4.如下四個函數(shù),哪個是分布函數(shù)( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答題1一批零件有9個合格品,3個廢品，安裝機器時,從這批零件中任取一個,若果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的分布律.2設離散型隨機變量的分布函數(shù)為，求X的分布律。3設隨機變量X的分布律為X-2-1013求：（1）的分布律 （2） (3)X的分布函數(shù) 4設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為，求：（1）常數(shù)A（2）（3）X

7、的分布函數(shù)。5設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為，某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘，他就離開他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)。寫出Y的分布律，并求。6由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度(cm)服從參數(shù)的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍內(nèi)為合格品，求一螺栓不合格的概率。7設隨機變量X在上服從均勻分布，求Y=sinX的概率密度。第三章 多給隨機變量及其分布一、填空題：1若（X，Y）的分布律（下表）已知，則a,b應滿足的條件是_，若X與Y獨立，則a=_，b=_，F(xiàn)(2,1)=_。 XY12312ab2設（X，Y）在以原點為中心，r為半徑的圓盤

8、上服從均勻分布，即,則c=_。3用(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表述以下概率：=_;=_;=_。4為(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，則它的聯(lián)合概率密度=_。5設隨機變量X與Y的相互獨立，且，則_。二、選擇題：1設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：則概率為（ ）。(A) 0.5 (B) 0.3 (C) (D) 0.42設隨機變量X與Y相互獨立，其概率分布為下表（1），（2），則下列式子正確的是（ ）。(A) X=Y (B) (C) (D) 3.下列四個二元函數(shù)，哪個不能作為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)（ ）。（A）；（B）；（C） ；（D）。4設X，Y是相互獨立的兩個隨機變量，它們的分

9、布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為( )。（A）；（B）；（C）；（D）；5隨機變量X與Y相互獨立，且和，則以下正確的是( )。（A） （B） （C） （D）三、計算題：1在一箱了中有12只開關，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：（1）放回抽樣：（2）不放回抽樣。 定義隨機變量如下：試分別就(1)(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。2甲乙兩人獨立地進行兩次射擊，設甲乙的命中率分別為0.2，0.5，以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合概率分布律和邊緣分布律。3.設X和Y是兩個相互獨立隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的概率密度為，求（1

10、）（X，Y）的聯(lián)合概率密度；（2）。4.設（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：求：（1）常數(shù)k; (2) (X,Y)的分布函數(shù)；（3）求。5設(X,Y)，的聯(lián)合概率密度為求（1）關于X,Y的邊緣概率密度；（2）判別X與Y是否獨立。6離散型隨機變量（X,Y）的分布律如下圖：求Y=0時，X的條件概率分布。012-10.10.30.1500.20.050200.10.17設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N(160,20z)分布，隨機地取4只，求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。（(1)=0.8413）8已知X與Y的分布律為：（下表所求），且X和Y相互獨立，求X+Y的分布律。X120.50.

11、5 Y120.50.59設平面區(qū)域D由曲線及直線所圍成，二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域口上服從均勻分布，則(X,Y)關于X的邊緣概率密度在處的值為_。（1998年數(shù)學一）10已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。（1995年數(shù)學四）。第四章 隨機變量的數(shù)學特征一、填空：1設，且，則E(x)=_，D(x)=_。2設隨機變量X的概率密度為：則E(x)=_。3若Xb(3,0.4)，則Y=1-2X所服從的分布中E(X)=_, D(X)=_。4若X與Y相互獨立，E(X)=0, E(Y)=1, D(X)=1,則EX(X+Y-2)=_。5設是一組兩兩獨立的隨機變量，且,令，則服從的分布是_

12、。二、選擇題1設X和Y為兩個隨機變量，已知E(XY)=E(X)E(Y)，則必有（ ）。（A）（B）（C）X與Y相互獨立（D）X與Y相關2若隨機變量X與Y滿足D(X+Y)=D(X-Y)，則下列式子正確的是（ ）（A）D(Y)=0（B）D(X)D(Y)=0（C）X與不相關（D） X與Y相互獨立3若，則當且僅當（ ）成立：（A） （B）（C）D(XY)=D(X)D(Y)（D）X與Y相關4X與Y相互獨立，且D(X)=6,D(Y)=3，則Z=2X-3Y的D(Z)為（ ）（A）51 （B）21 （C） 3 （D）365（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為則X與Y的相關系數(shù)= ( )。（A）-1（B） （C） （

13、D）三、計算：1擲一骱子，X為其出現(xiàn)的點數(shù)，求X的E(X),D(X)。2已知（X,Y）的聯(lián)合分布律：（1）判定X與Y是否獨立；（2）求X與Y相關系數(shù)，并判定X與Y是否相關。XY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/83設,試求：（1）X的概率密度f(x)；（2）的數(shù)學期望；（3）若，求D(Y)。4設長方形的高（以m計），已知長方形的周長（以m計）為20，求長方形面積A的數(shù)學期望和方差。5設，則a= ? E(XY)= ?6. 已知，設隨機變量，求（1）E(Z),D(Z);（2）X與Z的相關系數(shù)。7設隨機變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，隨機變量，則方差D(Y)=_。（

14、2000年數(shù)學三）8設X的概率密度為：(1)求E(X). D(X)；（2）求X與|X|的協(xié)方差，并問X與|X|是否不相關；（3）X與|X|是否相互獨立？為什么？（1993年數(shù)學一）第五、六章 大數(shù)定理及中心極限定理和抽樣分布一、選擇題（以下各題選項中只有一個正確）1、設是一隨機變量序列，a是常數(shù)，那么此序列依概率收斂于a的充要條件是（ ）（A）對任何實數(shù)（B）對任何實數(shù)（C）對任何實數(shù)（D）對先分小的2設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立。且服從同一分布，數(shù)學期望為0.5kg，均方差為0.1kg。那么5000只零件的總重量超過2510kg 的概率是（ ）（A）0.0787(B) 0.077

15、8(C) 0.0797(D) 0.07983設是來自總體X的一個樣本。那么樣本的標準差是 （ ）（A）（B）（C）（D）4關于t分布的分位點的正確結論是( )(A)(B) (C) (D) 5設總體X的均值是，方差是，是來自X的一個樣本，下列結論正確的是( )（A）（B）（C）（B）二、填空：1是來自總體X的一個樣本，那么樣本k階中心矩_；2均值為u，方差是的獨立同分布隨機變量之和的標準化變量在n充分大時近似服從_分布；3若，且獨立，則服從_分布4設是總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差。則服從_三、 解答下列各題1據(jù)以往經(jīng)驗，某種電子元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機地取16只，

16、設它們的壽命是相互獨立的。求這16只元件的壽命總和大于1920小時的概率，（注：。2有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m，現(xiàn)從中隨機取出100根，問其中至少有這30根短于3m的概率。3一復雜系統(tǒng)由n個相互獨立作用的部件組成。每個部件的可靠性為0.9且必須至少有80%的部件工作才能使整個系統(tǒng)正常工作。問n至少為多在才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95？4某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學期望，方差。為了估計，隨機地取n只這種器件，在時刻大于t=0投入測試（設測試是相互獨立的）直到失散，測得其壽命為以，作為的估計，為了使。問n至少為多少？5設為設一個樣本，求6.已知Xt(n)求證7設總體

17、是來自X的樣本（1）求的分布律 （2）求的聯(lián)合分布律 (3)求8.設在總體中抽取容量，16的樣本。（1）求（2）求第七章 參數(shù)估計一、選擇題（以下各題選項中只有一個正確）1設總體X的均值u及方差都存在。且有，但均未知。是來自X的樣本，那么的矩估計值是( )（A）（B）（C）（D）2是來自總體X的一個樣本，那么參數(shù)p的最大的然估計值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 3下列命題中不正確的是 （ ）（A）樣本均值是總體均值u的無偏估計（B）樣本方差是總體方差的無偏估計（C）估計量是的無偏估計（D）k階樣本矩是k階總體矩的無偏估計4設已給是總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，當未知時，量倍水平為的

18、量倍區(qū)間是 （ ）（A）（B）（C）（D）5是總體x的一個樣本。當是的無偏估計時c的值是( )（A）（B）（C）（D）二、填空題：1、在的條件下的最大似然估計值是_；2為總體的一個樣本。分別是樣本均值和樣本方差，當未知時，u的置信水平是1-a的量倍區(qū)間是_；3連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)中的矩估計量是_；4是總體X的一個樣本，當c=_時是的無偏估計三 解答下列各題1隨機地8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為（以mm計）74.00174.005.74.00374.001.74.00073.99874.00674.002試求總體的值及方差的短估計值，并計算樣本方差2設為總體的一個樣本，為相應的樣本值。若總體

19、密度函數(shù) 求的矩估計量和相應的矩估計值。3已知總體X的分布律（其中0<P<1），是來自總體的樣本，求p的矩估計量。4設是來自總體的一個樣本，相應觀察值是總體X的密度函數(shù)求的最大似然估計量。5設某種電子器件的壽命（以小時計）T服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為 自一批這種器件中隨機地取n件進行壽命試驗。設它們的失效時間依次是（1）求與C的最大似然估計 （2）求與C的矩估計6設是來自總體X的一個樣本。且求的最大似然估計。7設是來自總體X的一個樣本，設（1）確定C，使是的無偏估計。（2）確定C，使是的無偏估計。8設是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本。其中未知設有估計量（1）指出中的的無偏估

20、計量（2）在（1）中無偏估計量中說明有效性9設從均值，為差的總體中，分別抽取容量為的兩獨立樣本表示兩本平均值。試證明：對任意常數(shù)都是的無偏估計。并確定使D(y)達到最有效。10設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 6.1, 5.0;設干燥時間總體服從正態(tài)分布求的置信水平為0.95的置信區(qū)間 （ 1）若 (2)若未知。 第八章 假設檢驗一、 選擇題：1、確定檢驗法則時，當樣本密量固定，為犯第I類錯誤的概率。為犯第II類錯誤的概率。則下列關系正確的是_。 (A) 減小時，往往減?。?（B）減小時，往增大；（C）增大時，往往增大

21、；（D）無法確定。2、假設檢驗中，為原假設，則_犯第I類錯誤。（A）為真，拒絕；（B）不真，接受；（C）為真，接受；（D）不真，拒絕。3、設總體，為實量為n的樣本均值，零假設；，備捍假設：。若已知。顯著性水平為，則拒絕域為_（A）（B）（C）（D）4、對顯著性檢驗來說，犯第I類錯誤的概率為p,則p_A、；B、C、D、二、 填空題：1、只對_加以控制而不考慮_的檢驗，為顯著性檢驗。2、假設檢驗包括雙邊檢驗和單邊檢驗。單邊檢驗包括_。3、在t檢驗中，若假設：。，則拒絕域為_；若假設：，則拒絕域為_。4、設為來自總體X的樣本，和分是樣本均值和樣本方差，已知。則假設：，時，構選統(tǒng)計量_，的拒絕域_。三

22、、計算題1由經(jīng)驗知某味精廠袋裝味精的重量，其中，技術革新后，改用機器包裝，抽查8個樣品，測得重量為（單位：克）：14.7, 15.1, 14.8, 15, 15.3, 14.9, 15.2, 14.6已知方差不變，問機器包裝的平均重量是否仍為？2已知某煉鐵廠鐵水含C量現(xiàn)觀測了九爐鐵水，其平均含C量為4.484。如果估計方差無變化?？煞裾J為現(xiàn)生產(chǎn)的鐵水平均含C量仍為4.550?（。3在某磚廠生產(chǎn)的批磚中，隨機地抽測6塊，其抗斷強度為32.66, 30.06, 31.64, 30.22, 31.87, 31.05。設磚的抗斷強度。問能否認為這批磚的抗斷強度是4某廠生產(chǎn)的鋼筋斷裂強度，今從現(xiàn)在生產(chǎn)的

23、一批鋼筋中抽測9個樣本，得到的樣本均值X較以往的均值M大17。設總體方差不變。問能否認為這批鋼筋的強度有明顯提高：（。5某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡平均壽命是1120小時，現(xiàn)從一批新生產(chǎn)的燈泡中抽取8個樣本，測得其平均壽命為1070小時，樣本方差，試檢驗燈泡的平均壽命有無變化（？。6正常人的脈博平均為72次/分，今對某種疾病患者10人，測其脈博為：54，68，65，77，70，64，69，72，62，71（次/分），設患者的脈搏次數(shù)，試在顯著性水平下，檢驗患者的脈搏與正常人的脈搏有無差異？7過去某工廠向A公司訂購原材料。自訂貨日開始至交貨日止，平均為49.1日?，F(xiàn)改為向B公司訂購材料，隨機抽取向B公司的

24、8次貨，交貨無數(shù)為：46，38，40，39，52，35，48，44問B公司交貨日期是否較A公司為短？（。8且元自動包裝機包裝葡萄糖，規(guī)定標準每袋凈重500g，假定在正常情況下，糖的凈重服從正態(tài)分布，根據(jù)長期資料表明，標準差為15g，現(xiàn)從某一班的產(chǎn)品中隨機取出9袋，測得重量為：497，506，518，511，524，510，488，515，512。問包裝機工作是否正常：（。（1）標準差有無變化？（2）平均重量是否符合規(guī)定標準？9某種罐頭在正常情況下，按規(guī)格平均凈重379g，標準差為11g，現(xiàn)抽查十盒，測得如下數(shù)據(jù)。（g）。370.74, 372.80, 386.43, 398.14, 369.21, 381.67, 367.90, 371.93, 386.22, 393.08。試根據(jù)抽樣結果，說明平均凈重和標準差是否符合規(guī)格要求（提示：檢驗。參考答案第一章 概率論的基本概念一. 填空題 1. 0.1; 0.5; 0.9 ; 2. 0.85 ; 3. ; 4. ; 6. 0.3; 0.5;二.選擇題 1.A 2.B 3.C 4.C 5.A三. 解答題1.(1)S=1,2,3,4,5,6 A=1,3,5 (2)S=(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4)(2,3,5) (2,4,5),