高一抽象函數(shù)模型化(定稿)教

1、高一數(shù)學(xué)培優(yōu)抽象函數(shù)（教）抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法一、定義域問(wèn)題例1. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f(x)的定義域。解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1，4例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是 例3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是_。 分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以，解得或。二、求值問(wèn)題例3. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f(x)，同時(shí)滿足下列條件：；，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因?yàn)椋杂秩〉?. f(x)的定義域?yàn)?，?duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)

2、=2 ，則 （ ） 例4.定義在的函數(shù)滿足，則等于（ ） A2 B3 C6 D9法二：所以法三： 二. 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內(nèi)遞減，變式：（較難） 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當(dāng)時(shí)， ，不等式不成立。 （2）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)， 綜上所

3、述，所求的取值范圍是。五、單調(diào)性問(wèn)題例. 設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，而所以又當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。變式：.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；解：（1）在中，令，得，因?yàn)椋?。在中，令因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)而所以又當(dāng)x=

4、0時(shí)，所以，綜上可知，對(duì)于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。評(píng)析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個(gè)問(wèn)題：一是f(0)的取值問(wèn)題，二是f(x)>0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問(wèn)題的思考和解決。六、奇偶性問(wèn)題根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。例. 已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是故是偶函數(shù)。變式. 已知函數(shù)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因?yàn)闉榉橇愫瘮?shù)，所以為偶函數(shù)。

5、 所謂抽象函數(shù)，是指沒(méi)有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。抽象來(lái)源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的，高中大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時(shí)，若能從研究抽象函數(shù)的“模型”入手，根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，變抽象為具體，變陌生為熟知，常可猜測(cè)出抽象函數(shù)所蘊(yùn)含的重要性質(zhì)，并以此作為解題的突破口，必能為我們的解題提供思路和方法。常見(jiàn)的抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的初等函數(shù)模型如下:初等函數(shù)模型抽象函數(shù)性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)（a0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)

6、函數(shù) 冪函數(shù) （備注：解小題可用具體函數(shù)，解大題得賦值（要求書寫格式），只能通過(guò)賦值解決問(wèn)題。）一以正比例函數(shù)為模型的抽象函數(shù)正比例函數(shù)是滿足函數(shù)恒等式的最常見(jiàn)的模型。若我們能從這個(gè)具體的模型出發(fā)，根據(jù)解題目標(biāo)展開(kāi)聯(lián)想，給解題帶來(lái)了思路。例1、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。 例

7、2 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，求在上的值域。 解：設(shè) 且， 則， 由條件當(dāng)時(shí)， 又 為增函數(shù)， 令，則 又令 得 故為奇函數(shù)， ， 上的值域?yàn)?0、已知函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)都有，且時(shí),。 （1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)在上的值域；（3）解不等式。10、解：（1）令 再令令，得 為偶函數(shù)（2）又且在上是單調(diào)遞增函數(shù) 解得故不等式的解集為二、以一次函數(shù)為模型的抽象函數(shù)一次函數(shù)y=ax+b是滿足函數(shù)恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常見(jiàn)的模型。例5 已知函數(shù)對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想

8、正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例5、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，。（1） 求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明的你的結(jié)論；解：（1）令（2）任取 令令（或）函數(shù)在上單調(diào)遞減。變式：已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0，且當(dāng)<0時(shí)，1 （1） 當(dāng)0時(shí)，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調(diào)性分析：由可知f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想解：（1）對(duì)于一切、R，且(0)0令=0，則(0)=1，現(xiàn)設(shè)0，則-0，f(-)

9、 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）設(shè)<，、R，則<0，()1且1， f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)六、以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例、已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)遞增，滿足，(4)=1（1） 證明：(1)=0； (2)求(16)； （3）若+ (-3)1，求的范圍；分析：由 可知f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù) 的抽象函數(shù)，解:（1）令=1，=4，則(4)=(1×4)=(1)+(4)(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在（0，+）上單調(diào)遞增 （3，4變式：設(shè)f（x）是定

10、義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。三、以冪函數(shù)為模型的抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。由冪函數(shù)的運(yùn)算法則知是我們最熟悉的滿足恒等式的函數(shù)。例3、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）f（x）·f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在0，）上的單調(diào)性

11、，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在0，）上是增函數(shù)。解：（1）令y1，則f（x）f（x）·f（1）， f（1）1，f（x）f（x）， f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，時(shí)，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函數(shù)。（3）f（27）9，又，又，故。抽象函數(shù)練習(xí)題第一組 1、 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi) 2、 若，且，則_ 3、 定義上的函數(shù)，且，則_ 4、 定義在區(qū)間上的減函數(shù)滿足：若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 5、 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對(duì)正實(shí)數(shù)，都有：成立則不等式的解集是_ 6、

12、 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，已知對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi) 7、 已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，存在，使得，總有恒成立，則_第二組 8、 函數(shù)對(duì)于有意義，且滿足條件，是減函數(shù) 證明：； 若成立，求的取值范圍 9、 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)，又 判斷的奇偶性； 求在區(qū)間上的最大值； 解關(guān)于的不等式 10、 定義在上的函數(shù)滿足： ； 當(dāng)時(shí)，； ， 求證：； 求證：對(duì)任意的，恒有； 證明：是上的增函數(shù)； 若，求的取值范圍 11、 已知函數(shù)的定義域?yàn)闈M足： 任意實(shí)數(shù)都有； 當(dāng)時(shí)， 證明：，且時(shí)； 證明：在上單調(diào)遞減；參考答案1. 【答案】2. 【答案】3. 【答案】4. 【答案】5. 【答案】6. 【答案】7. 【答案】8. 【答案】 9.【答案】 奇函數(shù)； ； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，10. 【答案】 11.【答案】 練習(xí)：1、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對(duì)都有成立，若，則=（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0提示：先令2. f(x)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意正實(shí)數(shù)x