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1、高一數(shù)學(xué)培優(yōu)抽象函數(shù)(教)抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法一、定義域問(wèn)題例1. 已知函數(shù)的定義域是1,2,求f(x)的定義域。解:的定義域是1,2,是指,所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1,4例2. 已知函數(shù)的定義域是,求函數(shù)的定義域。解:的定義域是,意思是凡被f作用的對(duì)象都在中,由此可得所以函數(shù)的定義域是 例3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是_。 分析:因?yàn)橄喈?dāng)于中的x,所以,解得或。二、求值問(wèn)題例3. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f(x),同時(shí)滿足下列條件:;,求f(3),f(9)的值。解:取,得因?yàn)椋杂秩〉?. f(x)的定義域?yàn)?,?duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)
2、=2 ,則 ( ) 例4.定義在的函數(shù)滿足,則等于( ) A2 B3 C6 D9法二:所以法三: 二. 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中,關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性,去掉“”符號(hào),轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解,但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例:奇函數(shù)在定義域(-1,1)內(nèi)遞減,求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由得,為函數(shù),又在(-1,1)內(nèi)遞減,變式:(較難) 已知是定義在()上的偶函數(shù),且在(0,1)上為增函數(shù),滿足,試確定的取值范圍。 解:是偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù), 在上是減函數(shù), 由得。 (1)當(dāng)時(shí), ,不等式不成立。 (2)當(dāng)時(shí), (3)當(dāng)時(shí), 綜上所
3、述,所求的取值范圍是。五、單調(diào)性問(wèn)題例. 設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上,當(dāng)時(shí),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,有,求證:在R上為增函數(shù)。證明:在中取,得若,令,則,與矛盾所以,即有當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),而所以又當(dāng)時(shí),所以對(duì)任意,恒有設(shè),則所以所以在R上為增函數(shù)。評(píng)析:一般地,抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式,應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則,則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。變式:.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,總有,且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1。(1)判斷f(x)的單調(diào)性;解:(1)在中,令,得,因?yàn)椋?。在中,令因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí)而所以又當(dāng)x=
4、0時(shí),所以,綜上可知,對(duì)于任意,均有。設(shè),則所以所以在R上為減函數(shù)。評(píng)析:(1)要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個(gè)問(wèn)題:一是f(0)的取值問(wèn)題,二是f(x)>0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟,完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想,聯(lián)想類比思維都有助于問(wèn)題的思考和解決。六、奇偶性問(wèn)題根據(jù)已知條件,通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換,尋求與的關(guān)系。例. 已知的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足,求證:是偶函數(shù)。 分析:在中,令, 得 令,得 于是故是偶函數(shù)。變式. 已知函數(shù)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)都有,試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解:取得:,所以又取得:,所以再取則,即因?yàn)闉榉橇愫瘮?shù),所以為偶函數(shù)。
5、 所謂抽象函數(shù),是指沒(méi)有明確給出函數(shù)表達(dá)式,只給出它具有的某些特征或性質(zhì),并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。抽象來(lái)源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的,高中大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得,解題時(shí),若能從研究抽象函數(shù)的“模型”入手,根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù),變抽象為具體,變陌生為熟知,常可猜測(cè)出抽象函數(shù)所蘊(yùn)含的重要性質(zhì),并以此作為解題的突破口,必能為我們的解題提供思路和方法。常見(jiàn)的抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的初等函數(shù)模型如下:初等函數(shù)模型抽象函數(shù)性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)(a0)f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)
6、函數(shù) 冪函數(shù) (備注:解小題可用具體函數(shù),解大題得賦值(要求書寫格式),只能通過(guò)賦值解決問(wèn)題。)一以正比例函數(shù)為模型的抽象函數(shù)正比例函數(shù)是滿足函數(shù)恒等式的最常見(jiàn)的模型。若我們能從這個(gè)具體的模型出發(fā),根據(jù)解題目標(biāo)展開(kāi)聯(lián)想,給解題帶來(lái)了思路。例1、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù),均有,且當(dāng)時(shí),求在區(qū)間2,1上的值域。分析:由題設(shè)可知,函數(shù)是的抽象函數(shù),因此求函數(shù)的值域,關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解:設(shè),當(dāng),即,f(x)為增函數(shù)。在條件中,令yx,則,再令xy0,則f(0)2 f(0), f(0)0,故f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù),f(1)f(1)2,又f(2)2 f(1)4, f(x)的值域?yàn)?,2。 例
7、2 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),求在上的值域。 解:設(shè) 且, 則, 由條件當(dāng)時(shí), 又 為增函數(shù), 令,則 又令 得 故為奇函數(shù), , 上的值域?yàn)?0、已知函數(shù)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)都有,且時(shí),。 (1)試判斷函數(shù)的奇偶性;(2)求函數(shù)在上的值域;(3)解不等式。10、解:(1)令 再令令,得 為偶函數(shù)(2)又且在上是單調(diào)遞增函數(shù) 解得故不等式的解集為二、以一次函數(shù)為模型的抽象函數(shù)一次函數(shù)y=ax+b是滿足函數(shù)恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)-b的最常見(jiàn)的模型。例5 已知函數(shù)對(duì)任意有,當(dāng)時(shí),求不等式的解集。分析:由題設(shè)條件可猜測(cè):f(x)是yx2的抽象函數(shù),且f(x)為單調(diào)增函數(shù),如果這一猜想
8、正確,也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào),從而可求得不等式的解。 解:設(shè)且 則 , 即, 故為增函數(shù), 又 因此不等式的解集為。以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例5、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,且滿足對(duì)任意,有,且當(dāng)時(shí),。(1) 求的值;(2)判斷的單調(diào)性并證明的你的結(jié)論;解:(1)令(2)任取 令令(或)函數(shù)在上單調(diào)遞減。變式:已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0,且當(dāng)<0時(shí),1 (1) 當(dāng)0時(shí),求的取值范圍(2)判斷在R上的單調(diào)性分析:由可知f(x)是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù),從而可猜想解:(1)對(duì)于一切、R,且(0)0令=0,則(0)=1,現(xiàn)設(shè)0,則-0,f(-)
9、 1又(0)=(-)= =1 = 101(2)設(shè)<,、R,則<0,()1且1, f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)六、以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例、已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)遞增,滿足,(4)=1(1) 證明:(1)=0; (2)求(16); (3)若+ (-3)1,求的范圍;分析:由 可知f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù) 的抽象函數(shù),解:(1)令=1,=4,則(4)=(1×4)=(1)+(4)(1)=0(2)(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在(0,+)上單調(diào)遞增 (3,4變式:設(shè)f(x)是定
10、義在(0,)上的單調(diào)增函數(shù),滿足,求:(1)f(1);(2)若f(x)f(x8)2,求x的取值范圍。分析:由題設(shè)可猜測(cè)f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù),f(1)0,f(9)2。解:(1),f(1)0。(2),從而有f(x)f(x8)f(9),即,f(x)是(0,)上的增函數(shù),故,解之得:8x9。三、以冪函數(shù)為模型的抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù),即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。由冪函數(shù)的運(yùn)算法則知是我們最熟悉的滿足恒等式的函數(shù)。例3、已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)f(x)·f(y),且f(1)1,f(27)9,當(dāng)時(shí),。(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)判斷f(x)在0,)上的單調(diào)性
11、,并給出證明;(3)若,求a的取值范圍。分析:由題設(shè)可知f(x)是冪函數(shù)的抽象函數(shù),從而可猜想f(x)是偶函數(shù),且在0,)上是增函數(shù)。解:(1)令y1,則f(x)f(x)·f(1), f(1)1,f(x)f(x), f(x)為偶函數(shù)。(2)設(shè),時(shí),f(x1)f(x2),故f(x)在0,)上是增函數(shù)。(3)f(27)9,又,又,故。抽象函數(shù)練習(xí)題第一組 1、 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi) 2、 若,且,則_ 3、 定義上的函數(shù),且,則_ 4、 定義在區(qū)間上的減函數(shù)滿足:若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 5、 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù),對(duì)正實(shí)數(shù),都有:成立則不等式的解集是_ 6、
12、 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù),已知對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi) 7、 已知定義在上的單調(diào)函數(shù),存在,使得,總有恒成立,則_第二組 8、 函數(shù)對(duì)于有意義,且滿足條件,是減函數(shù) 證明:; 若成立,求的取值范圍 9、 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng),又 判斷的奇偶性; 求在區(qū)間上的最大值; 解關(guān)于的不等式 10、 定義在上的函數(shù)滿足: ; 當(dāng)時(shí),; , 求證:; 求證:對(duì)任意的,恒有; 證明:是上的增函數(shù); 若,求的取值范圍 11、 已知函數(shù)的定義域?yàn)闈M足: 任意實(shí)數(shù)都有; 當(dāng)時(shí), 證明:,且時(shí); 證明:在上單調(diào)遞減;參考答案1. 【答案】2. 【答案】3. 【答案】4. 【答案】5. 【答案】6. 【答案】7. 【答案】8. 【答案】 9.【答案】 奇函數(shù); ; 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),10. 【答案】 11.【答案】 練習(xí):1、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),對(duì)都有成立,若,則=( B ) A . 2005 B. 2 C.1 D.0提示:先令2. f(x)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意正實(shí)數(shù)x
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