泊松過程及例子1

1、 第三章第三章 泊松過程泊松過程(Poisson process) 第一節(jié)第一節(jié) 泊松過程的定義和例子泊松過程的定義和例子 第二節(jié)第二節(jié) 泊松過程的基本性質泊松過程的基本性質第三節(jié)第三節(jié) 非齊次泊松過程非齊次泊松過程第四節(jié)第四節(jié) 復合泊松過程復合泊松過程1計數(shù)過程則 第一節(jié)第一節(jié) 泊松過程的定義和例子泊松過程的定義和例子注注 如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨立的，則稱計數(shù)過程有獨事件個數(shù)是獨立的，則稱計數(shù)過程有獨立增量。立增量。 若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度，則數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度，

2、則稱計數(shù)過程有平穩(wěn)增量。稱計數(shù)過程有平穩(wěn)增量。首頁首頁2泊松過程滿足設 隨 機 過 程 )(tX，0t是 一 個 計 數(shù) 過 程 ，（1）0)0(X（2）)(tX是獨立增量過程首頁首頁則稱（ 3） 對 任 一 長 度 為 t 的 區(qū) 間 中 事 件 的 個 數(shù)即對一切0, ts，有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k注意從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且ttXE)(并稱為此過程的生起率或強度（單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù)）。首頁首頁說明說明 要確定計數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：要確定計數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件：為此給出一個與泊松過程

3、等價的定義然而全然不清楚如何去確定條件（3）是否滿足則稱其中)(h表示當0h時對 h 的高階無窮小，（1）0)0(X首頁首頁設 隨 機 過 程 )(tX，0t是 一 個 計 數(shù) 過 程 ，參數(shù)為（0） ，滿足定義定義3.3例例3.1 3.1 考慮某電話交換臺在某段時間接到的考慮某電話交換臺在某段時間接到的呼叫呼叫. . 令令X(tX(t) ) 表示電話交換臺在表示電話交換臺在(0,t(0,t時間段內(nèi)收到的時間段內(nèi)收到的呼叫呼叫次數(shù)次數(shù), , 則則 X(t),t0X(t),t0滿足滿足定義定義3.33.3中的各個條件中的各個條件, ,故故X(t),t0X(t),t0 是一個是一個泊松過程泊松過程

4、. . 其實對于任意的其實對于任意的0t0t1 1t t2 2t tn n, ,隨機變量隨機變量X(tX(t2 2)-)- X(t X(t1 1),X(t),X(t3 3)-X(t)-X(t2 2),X(t),X(tn n)-X(t)-X(tn-1n-1) )分別表示分別表示, ,在時間在時間 段段(t(t1 1,t,t2 2,(t,(t2 2,t,t3 3,(t,(tn-1n-1,t,tn n 內(nèi)內(nèi), ,電話交換臺接到的電話交換臺接到的 呼叫呼叫次數(shù)次數(shù), ,它們是相互獨立的它們是相互獨立的, ,所以隨機過程所以隨機過程X(t),t0X(t),t0 是一個是一個獨立增量過程獨立增量過程. .

5、 而且對于任意的而且對于任意的s st,t,隨機變量隨機變量X(t)-X(sX(t)-X(s) )的分布可以的分布可以 認為僅與認為僅與t-st-s有關有關, ,故故X(t),t0X(t),t0是是平穩(wěn)獨立增量過程平穩(wěn)獨立增量過程. .例例3.23.2 考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客. .如果如果 記記X(tX(t) )為在時間為在時間(0,t(0,t內(nèi)到達售票窗口的旅客數(shù)內(nèi)到達售票窗口的旅客數(shù), , 則計則計 數(shù)過程數(shù)過程X(t),t0X(t),t0滿足滿足定義定義3.33.3中的各個條件中的各個條件, ,故是一故是一 個個泊松過程泊松過程. .

6、例例3.33.3 考慮機器在考慮機器在( (t,t+ht,t+h) )時間段內(nèi)發(fā)生故障的事件時間段內(nèi)發(fā)生故障的事件. . 若若 機器發(fā)生故障機器發(fā)生故障, ,立即修理后繼續(xù)工作立即修理后繼續(xù)工作, ,則在則在( (t,t+ht,t+h) )時間時間 段內(nèi)機器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù)段內(nèi)機器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù), ,構成一個隨機構成一個隨機 點過程點過程, ,該過程可以用泊松過程進行描述該過程可以用泊松過程進行描述. .補例補例顧客到達某 商店服從 參數(shù)4人/小時的泊松過 程，已知商店上午9：00開門，試求到9：30時僅到一位顧客，而到11：30時總計已達5位顧客的概率。解解)5)5 .

7、 2(, 1)5 . 0(XXP)4)5 . 0()5 . 2(, 1)5 . 0(XXXP)4)2() 1) 5 . 0(XPXP5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0設 表示在時間t時到達的顧客數(shù))(tX首頁首頁定理定理3.13.1 泊松過程的兩種定義泊松過程的兩種定義, ,即即定義定義3.23.2與與定義定義3.33.3是等價的是等價的. .證明證明: : 首先證明首先證明定義定義3.23.2蘊涵蘊涵定義定義3.33.3. .比較兩條定義比較兩條定義, ,由于由于定義定義3.23.2的條件的條件(3)(3)中蘊涵中蘊涵X(t)X(t)為平穩(wěn)增量為平穩(wěn)增

8、量過程過程, ,所以只需證明由所以只需證明由定義定義3.23.2的條件的條件(3)(3)可以推出可以推出定義定義3.33.3的的條件條件(3)(3). .由式由式 PX(t+s)-X(s)=n=ePX(t+s)-X(s)=n=e-t-t ,n=0,1,2,n=0,1,2,. . 對對充分小的充分小的h h, ,有有 PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1 =e =e-h -h =h =h =h1-h+o(h) =h1-h+o(h) =h+o(h); =h+o(h); PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 PX(

9、t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 = = =o(h). =o(h).!)(ntn! 1)(1h0!)(nnnh2()!nhnhen 以下證明以下證明定義定義3.33.3蘊涵蘊涵定義定義3.23.2. . 經(jīng)比較經(jīng)比較, ,只需證明由只需證明由 定義定義3.33.3中后兩式可以推出中后兩式可以推出定義定義3.23.2的的(3)(3)式式. .為此令為此令 P Pn n(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n.(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n. 根據(jù)根據(jù)定義定義3.33.3的的(2)(2)與與(3)(3), ,有有 P P0 0(t+h)=PX(t+h)=0=P

10、X(t+h)-X(0)=0(t+h)=PX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =P =P0 0(t)1-h+o(h),(t)1-h+o(h), 所以所以 =-P=-P0 0(t)+ .(t)+ . 令令h0h0取極限得取極限得 PP0 0(t)=-P(t)=-P0 0(t) (t) 或或 =-.=-.htPhtP)()(00hho)()()(00tPtP 積分得積

11、分得 lnPlnP0 0(t)=-t+C (t)=-t+C 即即 P P0 0(t)=ke(t)=ke-t-t. . 由于由于P P0 0(0)=PX(0)=1, (0)=PX(0)=1, 代入前式得代入前式得 P P0 0(t)=e(t)=e-t-t. . 類似地類似地, ,對于對于n1,n1,有有 P Pn n(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n =PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+ =PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+ PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X

12、(t)=1+ PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1+ PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j. PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j. 根據(jù)根據(jù)定義定義3.33.3的的(2)(2)與與(3)(3), ,得得 P Pn n(t+h)=P(t+h)=Pn n(t)P(t)P0 0(h)+P(h)+Pn-1n-1(t)P(t)P1 1(h)+o(h)(h)+o(h) =(1-h)P =(1-h)Pn n(t)+hP(t)+hPn-1n-1(t)+o(h)(t)+o(h) 于是于是, ,有有nj 2 =-P =-Pn n(t)+P(t)+Pn-

13、1n-1(t)+ .(t)+ . 令令h0h0取極限得取極限得 PPn n(t)=-P(t)=-Pn n(t)+P(t)+Pn-1n-1(t),(t), 所以所以 e ettPPn n(t)+P(t)+Pn n(t)=e(t)=ettP Pn-1n-1(t),(t), 因此因此 eettP Pn n(t)=e(t)=ettP Pn-1n-1(t).(t). 當當n=1n=1時時, ,得得 eettP P1 1(t)=e(t)=ettP P0 0(t)=e(t)=ette e-t-t=,=, P P1 1(t)=(t+c)e(t)=(t+c)e-t-t. .htPhtPnn)()(hho)(dt

14、ddtd 由于由于P P1 1(0)=0, (0)=0, 代入上式得代入上式得 c=0, Pc=0, P1 1(t)=te(t)=te-t-t. . 以下用數(shù)學歸納法證明以下用數(shù)學歸納法證明: P: Pn n(t)= e(t)= e-t-t成立成立. . 假設假設n-1n-1時有結論時有結論, ,證對證對n n有有: : PX(t+s)-X(s)=n=e PX(t+s)-X(s)=n=e-t-t ,n=0,1,2, ,n=0,1,2,. . 根據(jù)根據(jù) eettP Pn n(t)=e(t)=ettP Pn-1n-1(t)(t) 式式, ,有有 eettP Pn n(t)=e(t)=et t e

15、e-t-t= ,= , 積分得積分得 e ettP Pn n(t)= +c(t)= +c . .!)(ntn!)(ntn!)(ntn)!1()(1ntn)!1()(1ntndtddtd!)(ntn!)(ntn 由于由于P Pn n(0)=PX(0)=n=0, (0)=PX(0)=n=0, 因而因而c=0, c=0, 所以所以 P Pn n(t)=e(t)=e-t-t . . 由條件由條件(2)(2)X(t)X(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程是獨立、平穩(wěn)增量過程, ,故有故有 PX(t+s)-X(s)=n=ePX(t+s)-X(s)=n=e-t-t , n=0,1,2, , n=0,1,2, 故故定義

16、定義3.33.3蘊涵蘊涵定義定義3.23.2. . 第二節(jié)第二節(jié) 泊松過程的基本性質泊松過程的基本性質一數(shù)字特征一數(shù)字特征( )( )( )( )()E X tX sD X tX sts2(0)0,( )( )( )(0)( )( )( )(0)XXXmtE X tE X tXttD X tD X tXt由于故22( , )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )( )( )()()(1)XRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sstsssst ( , )min( , )XBs ts t( )( )exp(1)iuX tiuXgu

17、E et e特征函數(shù)為特征函數(shù)為2到達時間間隔和等待時間的分布定義則稱設)(tX，0t為泊松過程，iW（, 2 , 1i）表示事件第 i 次發(fā)生的等待時間nW，1n為等待時間序列以nT（1n）表示第1n次發(fā)生到第n次發(fā)生之間的時間間隔則稱nT，1n為到達時間間隔序列首頁首頁定理定理3.2證證或事件tT 1的發(fā)生當且僅當沒有泊松事件在0t，內(nèi)發(fā)生故當0t時，有0)(1tXPtTPtteet!0)(01tTPte1首頁首頁那么類似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服從均值為/1的指數(shù)分布。又因2T為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時間間隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP內(nèi)沒

18、有事件發(fā)生在,(11內(nèi)沒有事件發(fā)生在tssP（增量的獨立性）0)()(11sXtsXP0)0()(XtXP（平穩(wěn)獨立增量過程）tetXP0)(首頁首頁可見可見一般地2T也服從均值為/1的指數(shù)分布且2T與1T獨立同分布。對1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT內(nèi)沒有事件發(fā)生在,(1111tssssPnn0)()(1111nnsstssXPX0)0()(XtXPtetXP0)(首頁首頁這就證明了到達時間間隔序列 是相互獨立同分布的隨機變量序列，且都具有相同均值為 的指數(shù)分布。/1首頁首頁定理定理3.3其概率密度為設)(tX，0t為泊松過程，證證則等待時間nW（1n）服從),(n分布，)(tf)!1()(1ntent，0t因為事件tWn等價于事件ntX)(所以nW的 分 布 函 數(shù)為)(tWPtFn)(ntXPtnkkekt!)(0t首頁首頁于是nW的概率密度為)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent首頁首頁又稱為愛爾蘭分布，它是又稱為愛爾蘭分布，它是n個相互獨立且服從指數(shù)分布的隨機變量之個相互獨立且服從指數(shù)分布的隨機變量之和的概率密度。和的概率密度。n