2020年中考三輪沖刺復(fù)習(xí)培優(yōu)同步練習(xí)：《二次函數(shù)》動點問題壓軸

1、同步練習(xí)：二次函數(shù)動點問題壓軸1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2+6x5的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其頂點為P，連接PA、AC、CP，過點C作y軸的垂線l（1）P的坐標(biāo) ，C的坐標(biāo) ；（2）直線1上是否存在點Q，使PBQ的面積等于PAC面積的2倍？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由2如圖所示，拋物線yax2+bx+4的頂點坐標(biāo)為（3，），與y軸交于點A過點A作ABx軸，交拋物線于點B，點C是第四象限的拋物線上的一個動點，過點C作y軸的平行線，交直線AB于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點E在y軸的負(fù)半軸上，且AEAD，直線CE交拋物線yax2+bx+4

2、于點F求點F的坐標(biāo)；過點D作DGCE于點G，連接OD、ED，當(dāng)ODECDG時，求直線DG的函數(shù)表達式3如圖，已知拋物線yx2+x+4，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側(cè)）與y軸交于C點（1）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使PBC的面積最大若存在，請求出PBC的最大面積；若不存在，試說明理由（2）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當(dāng)MN3時，求M點的坐標(biāo)4函數(shù)的圖象與性質(zhì)拓展學(xué)習(xí)展示：【問題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線G1：yax2+bx+與x軸相交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，則a ，

3、b 【操作】將圖中拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，G2在y軸左側(cè)的部分與G1在y軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為G，如圖請直接寫出圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式【探究】在圖中，過點C作直線l平行于x軸，與圖象G交于D，E兩點，如圖求圖象G在直線l上方的部分對應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時x的取值范圍【應(yīng)用】P是拋物線G2對稱軸上一個動點，當(dāng)PDE是直角三角形時，直接寫出P點的坐標(biāo)5如圖，已知二次函數(shù)yx24的圖象與x軸交于A，B兩點與y軸交于點C，C的半徑為，P為C上一動點（1）點B，C的坐標(biāo)分別為B ，C ；（2）當(dāng)P點運動到（1，2）時，判斷PB與C的位置關(guān)系，并說出理由；（3）是

4、否存在點P，使得PBC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值 6如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，將ABO沿x軸正方向平移后，點A、點B的對應(yīng)點分別為點D、點C，且四邊形ABCD為菱形，連接AC，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，點P為AC上方拋物線上一動點，作PEAC，垂足為E（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求線段PE長度的最大值；（3）如圖，延長PE交x軸于點F，連接OP，若OPF為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)7如圖，直線yx3分別與x軸、y軸交于點B，C，拋物線yax2

5、+bx+c經(jīng)過B，C兩點，且與x軸的另一交點為A（1，0）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖，點P在第三象限內(nèi)的拋物線上連接AC，PB，PC，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；G為x軸上一點，當(dāng)PG+AG取得最小值時，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖，Q為x軸下方拋物線上任意一點，D是拋物線的對稱軸與x軸的交點，直線AQ，BQ分別交拋物線的對稱軸于點M，N問：DM+DN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由8如圖，已知拋物線yax2+bx+c與直線yx+相交于A（1，0），B（4，m）兩點，拋物線yax2+bx+c交y軸于點C（0，），交x軸正半軸于點D，拋物線的頂點為

6、M（1）求拋物線的表達式及點M的坐標(biāo)；（2）設(shè)P為直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)PAB的面積最大時，求此時PAB的面積及點P的坐標(biāo)；（3）Q為x軸上一動點，N是拋物線上一點，當(dāng)QMNMAD（點Q與點M對應(yīng)）時，求點Q的坐標(biāo)9已知拋物線yax2+bx+c（a0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），頂點D的坐標(biāo)為（1，4）（1）求拋物線的解析式（2）在y軸上找一點E，使得EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標(biāo)（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標(biāo)；

7、若不存在，請說明理由10已知：如圖，拋物線yax2+4x+c經(jīng)過原點O（0，0）和點A （3，3），P為拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為B（m，0），并與直線OA交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P在直線OA上方時，求線段PC的最大值11如圖，二次函數(shù)y+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0），與y軸交于點C若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)P，Q運動到t秒時，將APQ沿PQ翻折，若點A恰好落在拋物線上D點處，求出D點坐標(biāo)；（3）當(dāng)點P運動

8、到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出E點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由12如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx+4與拋物線y+bx+c（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為點C（1）求該拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動點（不與點A、B重合），如圖2，若點P在直線AB上方，連接OP交AB于點D，求的最大值；如圖3，若點P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點F恰好落在y軸上，求出對應(yīng)的點P的坐標(biāo)13如圖1，

9、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，且其對稱軸為x1，其中點C（0，），點B（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖（1），點D是直線CB上方拋物線上的動點，當(dāng)四邊形DCAB的面積取最大值時，求點D的坐標(biāo)；如圖（2），連接CA，在拋物線上有一點M，滿足MCBACO，請直接寫出點M的橫坐標(biāo)14如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C1：yx2+6x+2的頂點為M，與y軸相交于點N，先將拋物線C1沿x軸翻折，再向右平移p個單位長度后得到拋物線C2，直線l：ykx+b經(jīng)過M，N兩點（1）求點M的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象直接寫出不等式x2+6x+2kx+b的解集；（2）

10、若拋物線C2的頂點D與點M關(guān)于原點對稱，求p的值及拋物線C2的解析式；（3）若拋物線C1與x軸的交點為E、F，試問四邊形EMBD是何種特殊四邊形？并說明其理由15如圖1，已知拋物線yx2+2x+3與x軸相交于A、B兩點（A左B右），與y軸交于點C其頂點為D（1）求點D的坐標(biāo)和直線BC對應(yīng)的一次函數(shù)關(guān)系式；（2）若正方形PQMN的一邊PQ在線段AB上，另兩個頂點M、N分別在BC、AC上，試求M、N兩點的坐標(biāo)；（3）如圖2，E是線段BC上的動點，過點E作DE的垂線交BD于點F，求DF的最小值參考答案1解：（1）yx2+6x5（x3）2+4，頂點P（3，4），令x0得到y(tǒng)5，C（0，5）故答案為：（

11、3，4），（0，5）；（2）令y0，x26x+50，解得x1或5，A（1，0），B（5，0），設(shè)直線PC的解析式為ykx+b，則有，解得：，直線PC的解析式為y3x5，設(shè)直線交x軸于D，則D（，0），設(shè)直線PQ交x軸于E，當(dāng)BE2AD時，PBQ的面積等于PAC的面積的2倍，AD，BE，E（，0）或E（，0），則直線PE的解析式為y6x+22，Q（，5），直線PE的解析式為yx+，Q（，5），綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為：（，5）或（，5）2解：（1）拋物線yax2+bx+4的頂點坐標(biāo)為（3，），ya（x3）2+ax26ax+9a+，9a+4，a，拋物線解析式為yx2+x+4；（2）如圖1，

12、設(shè)C（m，m2+m+4）；ADAE，ADx軸，CDy軸，ADAEm，OA4，OEm4，點E在y軸的負(fù)半軸上，E（0，4m），設(shè)CE的解析式為：ykx+b，則，解得，CE的解析式為：y（）x+4m，解法一：x2+x+4（）x+4m，x2+（m1）x+m0，x2+（4m）x4m0，（x+4）（xm）0，x14，x2m，定點F（4，6）；解法二：CE的解析式為：y（）x+4m（x1）m+x+4，由畫圖可知：F是直線CE上的定點，x10，x4，定點F（4，6）；如圖2，過E作EHCD于H，交DG于Q，連接OQ，由知：OEm4，DAEADHEHD90°，ADAE，四邊形AEHD是正方形，EDH

13、45°，ADAEDHEH，ODECDG，ODE+EDQEDQ+CDG45°，即ODQ45°，ADO+CDG45°，在OA的延長線上取APQH，連接PD，PADQHD90°，ADDH，PADQHD（SAS），PDDQ，ADPCDG，APQH，ADP+ADO45°ODQ，ODOD，PDOQDO（SAS），OPOQ，EHDH，EHCDHQ，GEHCDG，EHCDHQ（ASA），CHQH（m4）AP，OQOP4+，OEm4，EQEHQHm（）m，在RtOEQ中，由勾股定理得：OE2+EQ2OQ2，（m4）2+（）2（4+）2，m310m224

14、m0，解得：m10（舍），m212，m32（舍），D（12，4），Q（6，8），設(shè)直線DG的解析式為：ykx+b，則，解得，直線DG的函數(shù)表達式為：y2x203解：（1）當(dāng)x0時，yx2+x+44，點C的坐標(biāo)為（0，4）設(shè)直線BC的解析式為ykx+b（k0）將B（8，0）、C（0，4）代入ykx+b，解得：，直線BC的解析式為yx+4假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2+x+4）（0x8），過點P作PDy軸，交直線BC于點D，則點D的坐標(biāo)為（x，x+4），如圖所示PDx2+x+4（x+4）x2+2x，SPBCPDOB×8（x2+2x）x2+8x（x4）2+1610，當(dāng)x4時，PBC的面

15、積最大，最大面積是160x8，存在點P，使PBC的面積最大，最大面積是16（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，m2+m+4），則點N的坐標(biāo)為（m，m+4），MN|m2+m+4（m+4）|m2+2m|又MN3，|m2+2m|3當(dāng)0m8時，有m2+2m30，解得：m12，m26，點M的坐標(biāo)為（2，6）或（6，4）；當(dāng)m0或m8時，有m2+2m+30，解得：m342，m44+2，點M的坐標(biāo)為（42，1）或（4+2，1）綜上所述：M點的坐標(biāo)為（42，1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，1）4解：【問題】yax2+bx+a（x+1）（x3），解得：a，b1，故答案為：，1；【操作】拋物線G1沿BC方向平移BC

16、長度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個單位，向上平移個單位，G1：yax2+bx+x2+x+（x1）2+2，G2：y（x1+3）2+2+x22x+，當(dāng)x0時，yx22x+，當(dāng)x0時，yx2+x+；【探究】C點的坐標(biāo)為（0，）當(dāng)y時，解得：x10，x22，E（2，），當(dāng)時，解得：x10，x24，D（4，），拋物線G1的頂點為（1，2），拋物線G2的頂點為（2，），4x2或0x1時，函數(shù)y隨x的增大而增大；【應(yīng)用】如圖，過點P作x軸的平行線交過點D與x軸的垂線于點M，交過E點與x軸的垂線于點N，設(shè)點P（2，m），則ENm，PN4，DMm，PM2，EPN+MPD90°，MDP+

17、DPM90°，EPNMDP，tanEPNtanMDP，即，即，解得：m±2，故點P的坐標(biāo)為：5解：（1）在yx24中，令y0，則x±3，令x0，則y4，B（3，0），C（0，4）；故答案為：（3，0），（0，4）；（2）如圖（2），當(dāng)P點運動到（1，2）時，即處于點P1位置，此時，P（P1）B與C相切；P1（1，2），而點B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），P1B220，P1C25，BC225，故P1B2+P1C2BC2，CP1P1B，P1B與C相切；（3）存在點P，使得PBC為直角三角形，當(dāng)PB與相切時，PBC為直角三角形，如圖（2），連接BC，OB3OC

18、4，BC5，CP2BP2，CP2，BP22，過P2作P2Ex軸于E，P2Fy軸于F，則CP2FBP2E，設(shè)OFP2E2x，F(xiàn)P2OEx，BE3x，CF2x4，2，x，2x，F(xiàn)P2，EP2，P2（，），由（2）知，P1符合條件，即P1（1，2）；綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（1，2）或（，）；（4）如圖（3），連接AP，OBOA，BEEP，OEAP，當(dāng)AP最大時，OE的值最大，當(dāng)P在AC的延長線上時，AP的值最大，最大值5+，OE的最大值為故答案為：6解：（1）當(dāng)x0時，y2，當(dāng)y0時，x2，BCAB4，解得，故拋物線的表達式為：yx2+x+2；（2）過點P作PHx軸于H，交AC于點G，設(shè)直線AC為

19、：ykx+t，則，解得，設(shè)，則，BAO60°，四邊形ABCD為菱形，CAD30°，PGEAGH60°，當(dāng)x1時，PE最大，最大值為；（3）由（2）知：CAD30°EAF，則AFE90°EAF60°，當(dāng)OPF為等腰三角形，則OPF為等邊三角形，則直線OP的傾斜角為60°，設(shè)直線OP的表達式為：yx，聯(lián)立并解得：x2±2，點P為AC上方拋物線上一動點，即2x4，故x2+2，故點P（2+2，62）7解：（1）在yx3中，令x0，得y3；令y0，得x3B（3，0），C（0，3）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為ya（x+3）（x1）將

20、點C（0，3）代入，得a1拋物線的函數(shù)解析式為yx2+2x3；（2）如圖1，過點P作PEx軸于點E，交BC于點F設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，t2+2t3），則點F的坐標(biāo)為（t，t3）PFt3（t2+2t3）t23tS四邊形ABPCSBPC+SABCPFOB+ABOC（t23t）+60，當(dāng)t時，S四邊形ABPC取得最大值此時點P的坐標(biāo)為；如圖2，作點P關(guān)于x軸的對稱點P'，PP'交x軸于點I，連接AP，AP'，過點P作PJAP'于點J，交x軸于點G當(dāng)GJAG時，PG+AG取得最小值，此時sinGAJtanGAJ設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，t2+2t3），則PIt22t+3，AIt

21、+1由對稱的性質(zhì)，得PAIGAJ，tanPAI，即解得t1，t21（舍去）此時點P的坐標(biāo)為；（3）DM+DN是定值如圖3，過點Q作QHx軸于點HNDx軸，QHNDBQHBND，AMDAQH，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（k，k2+2k3），則HQk22k+3，BH3+k，AH1kD是拋物線的對稱軸與x軸的交點，ADBD2，DN22k，DM2k+6DM+DN2k+6+22k8DM+DN是定值，該定值為88解：（1）把點B（4，m）代入yx+中，得m，B（4，），把點A（1，0）、B（4，）、C（0，）代入拋物線中，得，解得 拋物線的解析式為yx2x，yx2x（x1）22，點M的坐標(biāo)為（1，2）（2）點P為直線

22、AB下方拋物線上一動點，1x4，如圖1所示，過點P作y軸的平行線交AB于點H，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，m2m），則點H（m，m+），SPABHP（xBxA）（m2+m+2）×5（m）2+，0，當(dāng)m時，S最大，最大為，此時點P（，）（3）如圖2所示，令y0，解得x11，x23，D（3，0），M（1，2），A（1，0），AMD為等腰直角三角形，設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，n2n），QENMFQ（AAS），F(xiàn)QEN2，MFEQn2n，n2n+1n+2，解得n5或1（舍），點Q的坐標(biāo)為（7，0），根據(jù)對稱性可知，點Q的坐標(biāo)為（5，0）時也滿足條件，ADM是等腰直角三角形，當(dāng)點Q是AD的中點，N與A或D重

23、合時，QMNMAD，此時Q（1，0）時綜上所述：點Q的坐標(biāo)為（7，0）或（5，0）或（1，0）9解：（1）拋物線的頂點為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為ya（x1）24，將點C（0，3）代入拋物線ya（x1）24中，得a43，a1，拋物線的解析式為ya（x1）24x22x3；（2）由（1）知，拋物線的解析式為yx22x3，令y0，則x22x30，x1或x3，B（3，0），A（1，0），令x0，則y3，C（0，3），AC，設(shè)點E（0，m），則AE，CE|m+3|，ACE是等腰三角形，當(dāng)ACAE時，m3或m3（點C的縱坐標(biāo)，舍去），E（3，0），當(dāng)ACCE時，|m+3|，m3±，E（0，3

24、+）或（0，3），當(dāng)AECE時，|m+3|，m，E（0，），即滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，3+）、（0，3）、（0，）；（3）如圖，存在，D（1，4），將線段BD向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點B的對應(yīng)點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應(yīng)點就是點P，點Q的縱坐標(biāo)為4，設(shè)Q（t，4），將點Q的坐標(biāo)代入拋物線yx22x3中得，t22t34，t1+2或t12，Q（1+2，4）或（12，4），分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，拋物線yx22x3與x軸的右邊的交點B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，4），F(xiàn)BPG312，點P的橫坐標(biāo)為（1+2）21+2

25、或（12）212，即P（1+2，0）、Q（1+2，4）或P（12，0）、Q（12，4）10解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，則拋物線解析式為yx2+4x；（2）設(shè)直線OA解析式為ykx，把A（3，3）代入得：k1，即直線OA解析式為yx，PBx軸，P，C，B三點縱坐標(biāo)相等，B（m，0），把xm代入yx中得：ym，即C（m，m），把xm代入yx2+4x中得：ym2+4m，即P（m，m2+4m），P在直線OA上方，PCm2+4mmm2+3m（0m3），當(dāng)m時，PC取得最大值，最大值為11解：（1）二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0），解得，二次函

26、數(shù)的解析式為；（2）如圖，D點關(guān)于PQ與A點對稱，過點Q作FQAP 于F，APAQt，APDP，AQDQ，APAQQDDP，四邊形AQDP為菱形FQOC，DQAPt，D在二次函數(shù) 上，或 t0（與A重合，舍去），；（3）存在滿足條件的點E，點E的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）如圖，過點Q作QDOA于D，此時QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0），AB4，OA3，OC4，AQ4QDOC，作AQ的垂直平分線，交x軸于E，此時AEEQ，即AEQ為等腰三角形設(shè)AEx，則EQx，DE|ADAE|x|，在RtEDQ中，（x）2+（）2x2，解得 x，OAAE3，

27、E（，0），點E在x軸的負(fù)半軸上；以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QEQA4，EDAD，AE，OAAE3，E（，0）；當(dāng)AEAQ4時，OAAE341，或OA+AE7，E（1，0）或（7，0）綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）12解：（1）直線yx+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，當(dāng)x0時，y4，x4時，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式得，解得，拋物線的解析式為；（2）如圖1，作PFBO交AB于點F，PFDOBD，則，OB4為定值，當(dāng)PF取最大值時，有最大值，設(shè)P（x，），其中4x0，則F（x，x+4），

28、PF，0且對稱軸是直線x2，當(dāng)x2時，PF有最大值，此時PF2，；點C（2，0），CO2，如圖2，點F在y軸上時，過點P作PHx軸于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90°，PCH+OCF90°，PCH+HPC90°，HPCOCF，在CPH和FCO中，HPCOCF，PHCCOF，PCFC，CPHFCO（AAS），PHCO2，點P的縱坐標(biāo)為2，解得，13解：（1）由題意得：，解得：，故拋物線的解析式是：；（2）設(shè)直線BC的解析式為ykx+直線BC過點B（3，0），03k+，則k，故直線BC解析式為yx+設(shè)直線m解析式為，且直線m直線BC，當(dāng)直線m與拋物線只有一個交點時，點D到BC的距離最遠(yuǎn)，此時BCD取最大值，故四邊形DCAB有最大值令，（3）24××（3b3）0時，直線m與拋物線有唯一交點，解之得：，則直線m的表達式為：yx+，聯(lián)立并解得，D；存在，點M的橫坐標(biāo)為或；符合條件的直線有兩條：CM1和CM2（分別在CB的上方和下方），（）在RtACO中，ACO30°，在RtCOB中，CBO30°，BCM1BCM215°，在BCE中，BCEBEC215°，BCBE，則E（