勾股定理知識點及練習

1、勾股定理知識總結 一：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題二：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應注意：（1）首先確定最長邊，不妨設最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2a2

2、+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。四：互逆命題的概念我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）規(guī)律方法指導 1勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。 2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，

3、可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。 3勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c（c是最長邊）有下列關系：a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法 5.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解類題總結類型一：等面積法求高（直角三角形的面積=兩直角邊乘積的二分之一（或斜邊與斜邊上高的乘積的二分之一）共4頁，第1頁?！纠}】如右圖，ABC中，ACB=900，AC=7，

4、BC=24，CDAB于D。（1）求AB的長；（2）求CD的長。類型二：面積問題【例題】如圖1，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_cm2。ABCD7cmmmmmmmm圖4圖3圖2圖1【練習1】如圖2，每個小方格都是邊長為1的正方形，（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積和周長。 （2）求ADC的度數?！揪毩?】如圖3，四邊形是正方形，且=3cm，=4cm，陰影部分的面積是 .【練習3】如圖4，字母B所代表的正方形的面積是( ) A.12 B.13 C.144 D.194類型三：距離最短問題BCDLA【例題】 如右

5、圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？【練習1】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程 【練習2】如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？小河AB東北牧童小屋類型四：判斷三

6、角形的形狀【例題】如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀?！揪毩?】已知ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數,且mn),判斷ABC是否為直角三角形.【練習3】.已知a，b，c為ABC三邊，且滿足(a2b2)(a2+b2c2)0，則它的形狀為（）三角形。 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角【練習4】三角形的三邊長為,則這個三角形是( ) 三角形共4頁，第2頁。（A）等邊 （B）鈍角 （C）直角 （D）銳角類型五：直接考查勾股定理【例題】在RtABC中，C=90°(1)已知a=6， c=

7、10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.?！揪毩暋?如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少?類型六：構造應用勾股定理【例題】如圖，已知：在中，. 求：BC的長. 【練習】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 類型七：利用勾股定理作長為的線段例1在數軸上表示的點。作法：如圖所示在數軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC為半徑，以O為圓心做弧，弧與數軸的交點B即為。 【練習】在數軸上表示的點。類型八：勾股定理及其逆定

8、理的一般用法【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積?！揪毩?】等邊三角形的邊長為2，求它的面積?！揪毩?】以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40類型九：生活問題【例題】如圖5，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_米 【練習1】種盛飲料的圓柱形杯（如圖6），測得內部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做 ?！揪毩?】如圖7學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們

9、僅僅少走了 步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。 【練習3】如圖8，校園內有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛 米.圖6圖5圖8圖7類型十：翻折問題【例題】如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？共4頁，第3頁?！揪毩?】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。 【練習2】如圖，ABC中，C=90°，AB垂直平分線交BC于D若BC=8，AD=5

10、，求AC的長。 勾股定理練習一、填空題：1. 在RtABC中，C=90°（1）若a=5，b=12，則c=_；（2）b=8，c=17，則SABC=_。2.若一個三角形的三邊之比為51213，則這個三角形是_ （按角分類）。3. 直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數，則其周長為_。4傳說,古埃及人曾用拉繩”的方法畫直角,現(xiàn)有一根長24厘米的繩子,請你利用它拉出一個周長為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長度分別為_厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_ _ _.5.命題“對頂角相等”的逆命題為_,它是_命題.(填“真”或“假”)6觀察下列各式：32+42=52；82+62=102

11、；152+82=172；242+102=262；你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是 ，請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來的式子： 。AB第8題圖7利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖(最早由三國時期的數學家趙爽給出的)從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個直角三角形面積 因而c2 ,化簡后即為c2 abc8 一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是_。二、選擇題：A644 9觀察下列幾組數據:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作為直角三角形的

12、三邊長的有( )組 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10三個正方形的面積如圖，正方形A的邊長為（ ）100A. 6 B.36 C. 64 D. 8 11.已知直角三角形的兩條邊長分別是5和12，則第三邊為 （）或不能確定 12.下列命題如果a、b、c為一組勾股數，那么4a、4b、4c仍是勾股數；如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2b2c2=211。其中正確的是（） A、B、C、D、 13.三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個

13、三角形是( ) A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形. 14.如圖一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距 （） A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里 15. 已知等腰三角形的腰長為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（） A、40B、80C、40或360D、80或360 16某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（）北南A東第14題圖 A

14、、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元150°20m30m第16題圖 圖9 17如圖9，在單位正方形組成的網格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ）（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF三解答題：18.(1)在數軸上作出表示 的 點. 共4頁，第4頁。(2)在第(1)的基礎上分別作出表示 1-和 +1的點. 19有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線長，已知門寬4尺，求竹竿高與門高。 AABABOA第20題圖 20一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米