20182019數(shù)學北師大版選修11 32 雙曲線的簡單性質(zhì)一 作業(yè)2

1、A.基礎達標1已知雙曲線的漸近線為y±x，焦點坐標為(4，0)，(4，0)，則雙曲線方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：選D.因為焦點在x軸上，c4，c242a2b2a2(a)24a2，所以a24，b212.所以雙曲線方程為1.故選D.2若雙曲線1(a0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為()A1 B2C3 D6解析：選B.圓心(2，0)到一條漸近線的距離為.雙曲線的漸近線方程為y±x，圓心(2，0)到漸近線的距離為，得a1，故雙曲線實軸長為2a2.3設ABC是等腰三角形，ABC120°，則以A，B為焦點且過點C的雙曲線的

2、離心率為()A. B.C1 D1解析：選B.由題意知|AB|BC|2c，又ABC120°，過B作BDAC，D為垂足，則|AC|2|CD|2×|BC|sin 60°2c，由雙曲線定義|AC|BC|2c2c2a，所以e.4已知拋物線y22px(p>0)上一點M(1，m)(m>0)到其焦點的距離為5，雙曲線y21的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為()A.B.C.D.解析：選A.由題意得15，p8，y216x，當x1時，m216，m>0，m4.所以M(1，4)，雙曲線的左頂點A(，0)，kAM，由題意，所以a.5已知雙曲線M

3、的焦點與橢圓1的焦點相同，如果直線yx是雙曲線M的一條漸近線，那么M的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D.設雙曲線方程為1(a0，b0)，雙曲線的焦點為(±3，0)，c3，雙曲線漸近線方程為y±x，故即ba，ca3，得a，b，故雙曲線M的方程為1.6以雙曲線1的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是_解析：雙曲線右焦點坐標為(5，0)，雙曲線的漸近線方程為y±x，該圓的半徑等于(5，0)到漸近線的距離，故半徑為4，故該圓的標準方程為(x5)2y216，其一般方程為x2y210x90.答案：x2y210x907與雙曲線x22y22有共同的漸近線，且

4、過點M(，2)的雙曲線方程是_解析：該雙曲線的方程可設為x22y2(0)，將M(，2)代入，得6，故該雙曲線方程為1.答案：18雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(1，2)在“上”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍為_解析：由題意當x1時，yx<2，所以e21()2<5，又e>1，所以e(1，)答案：(1，)9雙曲線C與橢圓1有相同的焦點，直線yx為C的一條漸近線，求雙曲線C的方程解：由橢圓1，求得兩焦點為(2，0)，(2，0)，由已知設雙曲線方程為1(a0，b0)則漸近線為y±x.因為yx為雙曲

5、線C的一條漸近線，所以.又兩曲線有相同焦點，對于雙曲線C：c2，所以a2b24.解得a21，b23.所以雙曲線C的方程為x21.10已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點M(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點N(3，m)在雙曲線上，求證：·0；(3)對于(2)中的點N，求F1NF2的面積解：(1)因為e，故可設等軸雙曲線的方程為x2y2(0)，因為過點M(4，)，所以1610，所以6.所以雙曲線方程為1.(2)證明：由(1)可知，在雙曲線中，ab，所以c2.所以F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)所以(23，m)，(23，m)所以·(23)·

6、;(23)m23m2.因為點N(3，m)在雙曲線上，所以9m26，所以m23.所以·0.(3)因為F1NF2的底|F1F2|4，高h|m|，所以F1NF2的面積S6.B.能力提升1設F1、F2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為()A3x±4y0 B3x±5y0C4x±3y0 D5x±4y0解析：選C.設線段PF1的中點為M，由于|PF2|F1F2|.故F2MPF1，即|F2M|2a，在Rt F1F2M中，|F1M|2b

7、，故|PF1|4b，根據(jù)雙曲線的定義得4b2c2a，所以2bac，即(2ba)2a2b2，化簡得3b24ab0，即3b4a，故雙曲線的漸近線方程是y±x，即4x±3y0.2已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，P是以F1F2為直徑的圓與該雙曲線的一個交點，且PF1F22PF2F1，則這個雙曲線的離心率是()A. B.2C.1 D.解析：選C.由題意得P在雙曲線左支上，F(xiàn)1PF290°，又因為PF1F22PF2F1，所以PF2F130°，又|F1F2|2c，所以|PF1|c，|PF2|c，|PF2|PF1|(1)c2a，得e1.3若點O和

8、點F(2，0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為_解析：由F為左焦點得a23，則雙曲線方程為y21.設P(x0，y0)，則·(x0，y0)·(x02，y0)x2x0yx2x01x2x011.由點P在雙曲線右支上得x0 ，所以·32.答案：32，)4已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABF2為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析：根據(jù)雙曲線的對稱性知x軸垂直平分線段AB，0<AF2F1&l

9、t;，令xc代入1，得y2，所以|yA|yB|，tanAF2F1(0，1)，所以b2<2ac，又b2c2a2，所以c2a2<2ac，即c22aca2<0，所以e22e1<0，1<e<1，又e>1，故e(1，1)答案：(1，1)5已知雙曲線中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(3，1)，一條漸近線與直線3xy10平行，求雙曲線的標準方程解：由已知，雙曲線中心在原點，坐標軸為對稱軸，由于其中一條漸近線與直線l：3xy10平行，所以，雙曲線的一條漸近線方程為3xy0，即y3x.可設雙曲線方程為9x2y2(0)由于雙曲線過點P(3，1)，所以9×32(1)2，即80.所以所求雙曲線的標準方程為1.6(選做題)設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，A1，A2分別為這個雙曲線的左、右頂點，P為雙曲線右支上的任意一點，求證：以A1A2為直徑的圓既與以PF2為直徑的圓外切，又與以PF1為直徑的圓內(nèi)切證明：如圖，以A1A2為直徑的圓的圓心為O，半徑為a，令M，N分別是PF2，PF1的中點，由三角形中位線的性質(zhì)，得|OM|PF1|.又根據(jù)雙曲線