高中數學復習講義(通用版全套)第十二章導數及其應用

1、2012高中數學復習講義 第十二章 導數及其應用【知識圖解】 平均速度瞬時速度平均變化率瞬時變化率割線斜率切線斜率導 數基本初等函數導數公式、導數運算法則微積分基本定理導數和函數單調性的關系導數與極（最）值的關系定積分（理科）【方法點撥】導數的應用極其廣泛，是研究函數性質、證明不等式、研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題、分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時，導數是初等數學與高等數學緊密銜接的重要內容，體現了高等數學思想及方法。1重視導數的實際背景。導數概念本身有著豐富的實際意義，對導數概念的深刻理解應該從這些實際背景出發(fā)，如平均變化率、瞬時變化率和瞬時速度、加速度等

2、。這為我們解決實際問題提供了新的工具，應深刻理解并靈活運用。2深刻理解導數概念。概念是根本，是所有性質的基礎，有些問題可以直接用定義解決。在理解定義時，要注意“函數在點處的導數”與“函數在開區(qū)間內的導數”之間的區(qū)別與聯系。3強化導數在函數問題中的應用意識。導數為我們研究函數的性質，如函數的單調性、極值與最值等，提供了一般性的方法。4重視“數形結合”的滲透，強調“幾何直觀”。在對導數和定積分的認識和理解中，在研究函數的導數與單調性、極值、最值的關系等問題時，應從數值、圖象等多個方面，尤其是幾何直觀加以理解，增強數形結合的思維意識。5加強“導數”的實踐應用。導數作為一個有力的工具，在解決科技、經濟

3、、生產和生活中的問題，尤其是最優(yōu)化問題中得到廣泛的應用。6（理科用）理解和體會“定積分”的實踐應用。定積分也是解決實際問題（主要是幾何和物理問題）的有力工具，如可以用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉體的體積、變速直線運動的路程和變力作的功等，逐步體驗微積分基本定理。第1課導數的概念及運算【考點導讀】1.了解導數概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；2.掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念;3.熟記基本導數公式；4.掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則;5.了解復合函數的求導法則.會求某些簡單函數的導數.（理科）【基礎練習】1設函數f（x）在x

4、=x0處可導,則與x0,h的關系是 僅與x0有關而與h無關 。2已知, 則 0 。3已知,則當時,。4已知,則。5已知兩曲線和都經過點P（1,2），且在點P處有公切線，試求a,b,c值。解：因為點P（1,2）在曲線上，函數和的導數分別為和，且在點P處有公切數，得b=2又由，得【范例導析】例1下列函數的導數： 分析：利用導數的四則運算求導數。解：法一： 法二：=+ ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）2excosx,點評：利用基本函數的導數、導數的運算法則及復合函數的求導法則進行導數運算，是高考對導數考查的基本要求。例2 如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標與切線方程分析：

5、本題重在理解導數的幾何意義：曲線在給定點處的切線的斜率，用導數的幾何意義求曲線的斜率就很簡單了。解：切線與直線平行， 斜率為4又切線在點的斜率為 或切點為（1，-8）或（-1，-12）切線方程為或即或點評：函數導數的幾何意義揭示了導數知識與平面解析幾何知識的密切聯系，利用導數能解決許多曲線的切線問題，其中尋找切點是很關鍵的地方。變題：求曲線的過點的切線方程。答案：點評：本題中“過點的切線”與“在點的切線”的含義是不同的，后者是以為切點，只有一條切線，而前者不一定以為切點，切線也不一定只有一條，所以要先設切點，然后求出切點坐標，再解決問題。【反饋演練】1一物體做直線運動的方程為，的單位是的單位是

6、，該物體在3秒末的瞬時速度是。2設生產個單位產品的總成本函數是，則生產8個單位產品時，邊際成本是 2 。3已知函數f（x）在x=1處的導數為3,則f（x）的解析式可能為 （1） 。（1）f（x）=（x1）2+3（x1） （2）f（x）=2（x1）（3）f（x）=2（x1）2 （4）f（x）=x14若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為。5在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是 3 。6過點（0，4）與曲線yx3x2相切的直線方程是 y4x4 7 求下列函數的導數：(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3) (4) (5) (6)解：（）, (2); (3),

7、 (4);(5), (6).8 已知直線為曲線在點處的切線，為該曲線的另一條切線，且 （）求直線的方程；（）求由直線，和軸所圍成的三角形的面積 解： 設直線的斜率為，直線的斜率為， ，由題意得,得直線的方程為 ,與該曲線的切點坐標為由直線方程的點斜式得直線的方程為： （）由直線的方程為,令由直線的方程為，令由得： 設由直線，和軸所圍成的三角形的面積為S，則： 第2課導數的應用A【考點導讀】1 通過數形結合的方法直觀了解函數的單調性與導數的關系，能熟練利用導數研究函數的單調性；會求某些簡單函數的單調區(qū)間。2 結合函數的圖象，了解函數的極大（小）值、最大（小）值與導數的關系；會求簡單多項式函數的極

8、大（小）值，以及在指定區(qū)間上的最大（小）值。【基礎練習】1若函數是上的單調函數，則應滿足的條件是 。 2函數在0，3上的最大值、最小值分別是 5，15 。3用導數確定函數的單調減區(qū)間是。4函數的最大值是，最小值是。5函數的單調遞增區(qū)間是 (-,-2)與(0,+ ) 。【范例導析】例1在區(qū)間上的最大值是 2 。解：當1£x<0時，>0，當0<x£1時，<0，所以當x0時，f（x）取得最大值為2。點評：用導數求極值或最值時要掌握一般方法，導數為0的點是否是極值點還取決與該點兩側的單調性，導數為0的點未必都是極值點，如：函數。例2 求下列函數單調區(qū)間：（1

9、） （2）（3） （4）解：（1） 時 ， （2） ，（3） ， ， ，（4）定義域為 點評：熟練掌握單調性的求法，函數的單調性是解決函數的極值、最值問題的基礎。例3設函數f(x)= （）求f(x)的單調區(qū)間；（）討論f(x)的極值。解：由已知得，令，解得 。（）當時，在上單調遞增； 當時，隨的變化情況如下表：0+00極大值極小值從上表可知，函數在上單調遞增；在上單調遞減；在上單調遞增。（）由（）知，當時，函數沒有極值；當時，函數在處取得極大值，在處取得極小值。點評：本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力?！痉答佈菥殹?關于函數，下列說法不

10、正確的是 （4） 。（1）在區(qū)間（，0）內，為增函數 （2）在區(qū)間（0，2）內，為減函數（3）在區(qū)間（2，）內，為增函數 （4）在區(qū)間（，0）內，為增函數2對任意x，有，則此函數為 。 3函數y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是 5 , -15 。4下列函數中，是極值點的函數是 （2） 。（1） （2） （3） （4）5下列說法正確的是 （4） 。 （1）函數的極大值就是函數的最大值（2）函數的極小值就是函數的最小值（3）函數的最值一定是極值（4）在閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最值6函數的單調減區(qū)間是 0，2 。7求滿足條件的的范圍： （1）使為上增函數；（2）使為上的

11、增函數； （3）使為上的增函數。解：（1） 由題意可知：對都成立 又當時 也符合條件 （2）同上 （3）同上 8已知函數(x>0)在x = 1處取得極值，其中為常數。（1）試確定的值；（2）討論函數f(x)的單調區(qū)間。解：（I）由題意知，因此，從而又對求導得由題意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得當時，此時為減函數；當時，此時為增函數因此的單調遞減區(qū)間為，而的單調遞增區(qū)間為第3課導數的應用B【考點導讀】1 深化導數在函數、不等式、解析幾何等問題中的綜合應用，加強導數的應用意識。2 利用導數解決實際生活中的一些問題，進一步加深對導數本質的理解，逐步提高分析問題、探索問題以及解決實

12、際應用問題等各種綜合能力。【基礎練習】1若是在內的可導的偶函數，且不恒為零，則關于下列說法正確的是（4） 。（1）必定是內的偶函數 （2）必定是內的奇函數（3）必定是內的非奇非偶函數 （4）可能是奇函數，也可能是偶函數 2是的導函數，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（4） 。 （1） （2） （3） （4）3若，曲線與直線在上的不同交點的個數有 至多1個 。 4把長為的鐵絲圍成矩形，要使矩形的面積最大，則長為 ，寬為 。【范例導析】例1函數，過曲線上的點的切線方程為（1）若在時有極值，求f (x)的表達式；（2）在（1）的條件下，求在上最大值；（3）若函數在區(qū)間上單調遞增，求b的取值范圍解：

13、（1） （2）x2+00+極大極小 上最大值為13 （3）上單調遞增 又 依題意上恒成立.在在 在綜合上述討論可知，所求參數b取值范圍是：b0。 點評：本題把導數的幾何意義與單調性、極值和最值結合起來，屬于函數的綜合應用題。例2請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？分析：本題應該先建立模型，再求體積的最大值。選擇適當的變量很關鍵，設的長度會比較簡便。 解：設,則由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：

14、求導數，得；令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。當1<x<2時，,V(x)為增函數；當2<x<4時，,V(x)為減函數。所以當x=2時,V(x)最大。答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。點評：本題是結合空間幾何體的體積求最值，加深理解導數的工具作用，主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力?！痉答佈菥殹?設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是 圖4 。yxOyxOyxOyxO圖1圖2圖3圖42已知二次函數的導數為，對于任意實數都有，則的最小值為 。3若，則下列命題正確的是 （3） .（1）

15、（2）（3）(4)4函數的單調遞增區(qū)間是5已知函數的圖象過點P（0，2），且在點M（1，f（1）處的切線方程為（）求函數y=f(x)的解析式； （）求函數y=f(x)的單調區(qū)間解：（）由f(x)的圖象經過P（0，2），知d=2，所以 由在M(-1,f(-1)處的切線方程是， 知故所求的解析式是 （） 解得 當當故內是增函數，在內是減函數，在內是增函數點評：本題考查函數的單調性、導數的應用等知識，考查運用數學知識分析問題和解決問題的能力6如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得所以，其定義域為（II）記， 則令，得因為當時，；當時，所以在上是單調遞增函數，在上是單調遞減函數，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最