第三章 循環(huán)群 群的結(jié)構(gòu) 信息安全數(shù)學(xué)

1、電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)第三章第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)第三章第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)3.1 循環(huán)群（循環(huán)群（重要重要）3.2 剩余類群（剩余類群（掌握掌握）3.3 子群的陪集（子群的陪集（掌握掌握）3.4 正規(guī)子群、商群（正規(guī)子群、商群（重要重要）電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)3

2、.1 循環(huán)群循環(huán)群定義定義3.1.1如果一個(gè)群G里的元素都是某一個(gè)元素g的冪，則G稱為循環(huán)群，g稱為G的一個(gè)生成元由g生成的循環(huán)群記為(g)無限循環(huán)群可表示為：，g2，g1，g0，g1，g2，其中g(shù)0 = e有限n階循環(huán)群可表示為： g0，g1，g2，gn1，其中g(shù)0 = e 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)3.1 循環(huán)群循環(huán)群例例3.1.1整數(shù)加法群Z是一個(gè)循環(huán)群1是生成元，每一個(gè)元素都是1的“冪”這里再次說明我們討論的群里“乘法”是抽象的，只代表一種代數(shù)運(yùn)算在整數(shù)加群中，“乘法”就是普通加法，那么“冪”就是一

3、個(gè)元素的連加，例如1mm = ，1mm = 而且規(guī)定0 = 10，即0為0個(gè)1相加111m ( 1)( 1)( 1)m 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群簡單性質(zhì)循環(huán)群簡單性質(zhì)由n階循環(huán)群中g(shù)n = e，我們可以得到：設(shè)i，j是任意整數(shù)，1）如果i j (mod n)，則gi = gj2）gi的逆元gi = gni3）是交換群4）gn=e電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群簡單性質(zhì)循環(huán)群簡單性質(zhì)對于循環(huán)群G中兩個(gè)任意元gigj

4、 = gi+j = gj+i = gjgi，所以循環(huán)群一定滿足交換律，是交換群（Abel群）在n階循環(huán)群中，有g(shù)n = e因?yàn)槿绻鹓n e，假設(shè)gn = gi (0in1)，則由消去律得gni = e (0nin1)，這與n階循環(huán)群的定義矛盾循環(huán)群是交換群電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)元素的階及其性質(zhì)元素的階及其性質(zhì) 1）a的所有冪兩兩不相等，于是以a為生成元的循環(huán)群，a2，a1，a0 = e，a1，a2，是無限循環(huán)群2）存在整數(shù)ij，使ai = aj，則aij = e這表明存在正整數(shù)k = ij使ak = e

5、我們稱使上式成立的最小正整數(shù)n稱為元素a的階在第1種情況下，這樣的正整數(shù)不存在，稱a是無限階元素?zé)o限階元素電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)元素的階及其性質(zhì)元素的階及其性質(zhì)a是n階元素，則序列a0 （= e），a1，a2，an1兩兩不相同，而且a的一切冪都包含在這個(gè)序列中。 證明：證明：（反證法）如果ai = aj，0 j i n1，則aij = e，而0 ij n1，這與a是n階元素矛盾對于任意整數(shù)m，am都包含在上面的序列中m可表示為：m = qn + r，0rn，于是am = aqn + r = (aq)na

6、r = ar，因?yàn)閍r在上面的序列中，則am也在上面的序列中 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)元素的階及其性質(zhì)元素的階及其性質(zhì)定理定理3.1.1 一個(gè)群G的任意元素a都能生成一個(gè)循環(huán)群，它是G的子群如果a是無限階元素，則a生成無限循環(huán)群；如果a是n階元素，則a生成n階循環(huán)群證明證明設(shè)a的冪集合為S1）a是無限階元素情形對于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，)，有ai(aj)1 = aijS，由定理2.2.2，S是G的子群2）a是n階元素情形對于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，)，有aiaj

7、= ai+jS，由定理2.2.3，S是G的子群顯然S是a生成的循環(huán)群定理證畢顯然無限循環(huán)群的元素都是無限階元素顯然無限循環(huán)群的元素都是無限階元素有限循環(huán)群生成元的階就是群的階有限循環(huán)群生成元的階就是群的階 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)元素的階及其性質(zhì)元素的階及其性質(zhì)定理定理3.1.2對于n階元素a有1）ai = e，當(dāng)且僅當(dāng)ni2）ak的階為 證明證明n階元素a生成n階循環(huán)群：a0 = e，a1，a2，an11）由于ni，則i 0(mod n)，于是ai = a0= e反之，由i = qn + r，0rn，得

8、ai = aqn+r= (an)qar = ear= ar = e，而n是使ak = e的最小正整數(shù)，所以r = 0，故ni(,)nkn電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)元素的階及其性質(zhì)元素的階及其性質(zhì)2）設(shè)l = 由于(k，n)k，則于是由1）有(ak)l = akl = e而如果(ak)i = aki = e，則nki，因?yàn)樗?故是使(ak)i = e，成立的最小正整數(shù)證畢(,)nkn()( , )nn kklk n( , ) ()nkik nkn，(,)1() ()nkknkn，(,)nikn( , )nk

9、 n電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)元素的階及其性質(zhì)元素的階及其性質(zhì)由定理定理3.1.2我們可以直接得出推論推論由元素g生成的n階循環(huán)群G中任意元素gk(0kn1)的階為，當(dāng)k，n互素時(shí)，gk的階為n，也是G的生成元例例3.1.28階循環(huán)群各個(gè)元素的階分別為：g0：1，g：8，g2：4，g3：8，g4：2，g5：8，g6：4，g7：8其中共有4個(gè)生成元g，g3，g5，g7整數(shù)集合0，1，2，n1中與n互素的數(shù)有(n)個(gè)（(n)歐拉函數(shù)，以后我們還要深入討論），因此n階循環(huán)群共有(n)個(gè)n階元素或(n)個(gè)生成元 電

10、子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群與其子群循環(huán)群與其子群定理定理3.1.31）循環(huán)群的子群是循環(huán)群，它或者僅由單位元構(gòu)成，或者由子群中具有最小正指數(shù)的元素生成，即生成元為具有最小正指數(shù)的元素；2）無限循環(huán)群的子群除e外都是無限循環(huán)群；3）有限n階循環(huán)群的子群的階是n的正因子，且對n的每一個(gè)正因子q，有且僅有一個(gè)q階子群電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群與其子群循環(huán)群與其子群證明證明1） 設(shè)H是循環(huán)群(g)的一個(gè)子群 假設(shè)He，

11、H自然是循環(huán)群假設(shè)He，則有i0使giH，又因?yàn)間i=(gi)1H，所以可以假定i0，說明有正指數(shù)存在設(shè)s是H中的最小正指數(shù)，即s是使gsH的最小正整數(shù)，我們現(xiàn)在證明H = (gs)對于任意gmH，有m = qs+t，0ts，由于gqs= (gs)qH（子群H的封閉性，q個(gè)gs連乘也屬于H），所以gt = gm(gqs)1H，（gqs存在逆元，且由于封閉性，gm，(gqs)1乘積屬于H）由于s是使gsH的最小正整數(shù)，因此得t = 0，gm(gs)qH的任意元素都是gs的冪，則H = (gs) 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)

12、群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群與其子群循環(huán)群與其子群證明證明2）當(dāng)(g)是無限循環(huán)群時(shí)，如果n m，則gn gm，于是gms (m=0，1，2，)兩兩不同，H是無限循環(huán)群證明證明3）假設(shè)(g)是n階循環(huán)群，由于n = qs+t，0ts，則e = gn = gqs+t，于是gt = (gqs)1H，s的最小性使得t = 0，所以n = qs，H可表示為H = e，gs，g(q1)s 當(dāng)s = n時(shí)H = e 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群與其子群循環(huán)群與其子群 上頁不僅證明了H的階q是n的正因子，而且給出n的正因子q階

13、子群當(dāng)q跑遍n的所有正因子時(shí)，s也跑遍n的正因子，所以對于n的每一個(gè)正因子q，都有而且僅有一個(gè)q階循環(huán)子群電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)循環(huán)群與其子群循環(huán)群與其子群例例3.1.38階循環(huán)群G的真子群8的所有正因子為1，2，4，8相應(yīng)的子群分別為e， e，g4， e，g2，g4，g6，G其中e和G是群G的平凡子群電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)3.2 剩余類群剩余類群剩余類的概念：剩余類的概念：根據(jù)同余的概念，我們可以將全體整數(shù)Z進(jìn)

14、行分類：設(shè)m是正整數(shù)，把模m同余的整數(shù)歸為一類，即可表示為a = qm+r， 0 r m，q = 0，1，2，的整數(shù)為一類，稱為剩余類剩余類，剩余類中的每個(gè)數(shù)都稱為該類的剩余剩余或代表代表，r稱為該類的最小非負(fù)剩余最小非負(fù)剩余電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)剩余類群剩余類群例例3.3.1m = 8，r = 5的剩余類為5，18+5，28+5，38+5，這樣我們將全體整數(shù)按模m分成m個(gè)剩余類：這m個(gè)剩余類可分別表示為： = 0，m，2m，3m，； = 1，1m，12m，13m，； = 2，2m，22m，23m，；

15、= (m1)，(m1)m，(m1)2m，(m1)3m，這m個(gè)剩余類稱為模模m剩余類剩余類記為Z Zm m0,1,2,(1)m012(1)m電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)剩余類群剩余類群設(shè) 和 是兩個(gè)模m的剩余類，定義剩余類的加法如下：如Z8的兩個(gè)剩余類 和ijijij24246電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)剩余類群剩余類群定理定理3.2.1模m的全體剩余類集合對于剩余類加法構(gòu)成m階循環(huán)群證明證明 封閉性和結(jié)合律顯然滿足 是單位元

16、， 的逆元是故剩余類集合是一個(gè)群該群是一個(gè)循環(huán)群，生成元是，注意對于加法，元素的“冪”就是元素的連加0iimi 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)剩余類群剩余類群定理定理3.2.2任意無限循環(huán)群與整數(shù)加群Z同構(gòu)，任意有限n階循環(huán)群與n階剩余類加群同構(gòu)證明證明設(shè)(g)任意循環(huán)群如果(g)是無限循環(huán)群，做整數(shù)加群Z到(g)的映射如下：對于任意kZ，有 f(k) = gk，這是一個(gè)一一映射，而且對于k，hZ，f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)故f是Z到(g)的同構(gòu)映射，(g)與Z同構(gòu)電子科技大

17、學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)剩余類群剩余類群（證明續(xù)證明續(xù)）如果(g)是n階循環(huán)群，做模m剩余類加群Zm到(g)的映射：對于任意 Zm，f( ) = gk，這顯然是一一映射，而且對于， Zm ，f( )f( ) = gk gh = gk+h = f( )故f是Zm到(g)的同構(gòu)映射，(g)與Zm同構(gòu)定理定理3.2.2的意義在于通過了解整數(shù)加群和剩余類加群，就了解了一切無限循環(huán)群和有限循環(huán)群的構(gòu)造 kkhkhhk電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的

18、結(jié)構(gòu)3.3 子群的陪集子群的陪集引理引理設(shè)G是一個(gè)群1）對于任意aG，集合aG = ah | hG= G2）GG = ah | hG，aG= G電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)子群的陪集子群的陪集證明證明1）a，h都是G的元素，由G的封閉性，我們有ahG則對于任意baG，總有bG，于是aG G對于任意bG，我們有b = eb = (aa1)b = a(a1b)，由于a1bG，所以b = a(a1b)aG，于是G aG故G = aG2）a GGGaGGG電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程

19、學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)子群的陪集子群的陪集定義定義3.3.1設(shè)H是群G的一個(gè)子群對于任意aG，集合ah | hH 稱為H的一個(gè)左陪集左陪集，記為aH同樣我們定義右陪集右陪集Ha = ha | hH 對于交換群（阿貝爾群），左陪集和右陪集是一致的，可以稱為陪集陪集電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)（1）（2） 這說明陪集中的任何元素均可以作為代表元。 （3）兩個(gè)陪集相等的條件（4）對任何a，bG有aH=bH或 因而H的所有左陪集的集合aHa G構(gòu)成了G的劃分。陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)aHHa

20、H.baHaHbH11()aHbHa bH HaHbbaHaHbH 所有性質(zhì)對右陪集也成立電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)證明：（1） 若aH，aH=ahh H，顯然有aH=H;反之，若aH=H，即任意hH，有ah H,則有ah=e，a-1 H，故a H（2）若b aH，則b=ah0 h0 H ）， bH=ah0H=a（h0H）=aH，反之，bH=aH，存在bh1=ah2，有b=ah2h1-1 aH ，即b aH （其中h0，h 1，h2H ）（3）若aH=bH，則存在h 1，h2H ,ah1

21、=bh2，有a-1b=h1h2-1 H ，反之，若a-1b H ，有b aH ,由（2）知，bH=aH電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)（4）任何a，b G，有，aH=bH或 這是因?yàn)槿绻?，則存在 x aHbH ，于是 x=ah1=bh2 ，得a-1b=h1h2-1 H，由性質(zhì)（3）知，aH=bH，又因?yàn)槿魏我粋€(gè)元素a均可以作陪集aH，因而 ，所以aHa G是G的一個(gè)劃分。aHbH aHbH a GG=aH電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press

22、 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)（4）整理成定理3.3.1定理定理3.3.1設(shè)H是群G的一個(gè)子群H的任意兩個(gè)左（右）陪集或者相等或者無公共元素群G可以表示成若干互不相交的左（右）陪集的并集電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)陪集的性質(zhì)陪集的性質(zhì)例例3.3.2設(shè)m是一個(gè)正整數(shù)，M表示所有m的倍數(shù)組成的集合，即M = mt | t = 0，1，2，3， = 0，m，2m，3m，M的另一種表示為M = mt | tZ顯然M是整數(shù)加群Z的子群設(shè)為模m的一個(gè)剩余類，即 于是我們有可見 是M的一個(gè)陪集由Z

23、可以按模m分成m個(gè)剩余類，則Z可以按M分成m個(gè)陪集：M，1+M，2+M，(m1)+Mi+mt | tZ i i+Mi i+Mi 電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)子群的指數(shù)及子群的指數(shù)及Lagrange定理定理下面我們討論兩個(gè)問題：1）陪集元素?cái)?shù)目是多少？2）陪集也可以成為子群嗎？引理：引理：設(shè)G是群，H是G的子群（HG），SL=aHaG， SR=aHaG，則存在SL到SR的雙射。證明：作SL到SR的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系：aH Ha-1（ SL SR ），因?yàn)?所以是映射且是單射。又對任意Ha SR，取a-1H SL，則

24、（ a-1H ）=Ha，所以也是滿射。即命題得證。111121212a Ha Ha aHHaHa電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)子群的指數(shù)及子群的指數(shù)及Lagrange定理定理集合SL和SR是等勢的，當(dāng)他們是有限集合時(shí)，左陪集的個(gè)數(shù)等于右陪集的個(gè)數(shù)： SL = SR ，稱為H在在G中的指數(shù)中的指數(shù),記作記作G：H。另外，從引理的證明中，我們不難發(fā)現(xiàn)，對于有限子群H，每個(gè)左（右）陪集內(nèi)元素?cái)?shù)目都等于H的階；即 aH = H ，且由于eH，則 ，即 H的其他陪集中不含單位元e，所以它們不可能是群故H的陪集除H外對于G

25、的運(yùn)算都不是群()eaHaH當(dāng)電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)子群的指數(shù)及子群的指數(shù)及Lagrange定理定理推論推論1 （拉格朗日定理）設(shè)G是一個(gè)有限群，H是一個(gè)子群，則H的階是G的階的因子即 G= H G:H 推論推論2設(shè)G是一個(gè)有限群，G中的每一個(gè)元素的階一定是G的階的因子設(shè)G的階為n，則對任意aG，有an = e推論1、2證明比較簡單，請同學(xué)自己嘗試證明電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)子群的指數(shù)及子群的指數(shù)及Lagrange

26、定理定理推論推論3階為素?cái)?shù)的群一定為循環(huán)群證明證明設(shè)群G的階為素?cái)?shù)，即|G|是素?cái)?shù)當(dāng)|G| = 1時(shí)，群G是只含單位元e的循環(huán)群當(dāng)|G| 1時(shí)，取aG且a e，則a生成一個(gè)循環(huán)子群H，且|H| 1由于|H|是|G|的的因子，而當(dāng)|G|是素?cái)?shù)時(shí)，它只有1和|G|兩個(gè)因子，故|H| = |G|，這表明H = G，G是一個(gè)循環(huán)群電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)3.4 正規(guī)子群、商群正規(guī)子群、商群定義定義3.4.1設(shè)H是群G的子群如果H的每一個(gè)左陪集也是右陪集，即對于任意aG，總有aH = Ha，則稱H為G的正規(guī)子群正規(guī)

27、子群，或不變子群不變子群顯然阿貝爾群的所有子群是正規(guī)子群電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)正規(guī)子群正規(guī)子群定理定理3.4.1設(shè)H是群G的子群則下面4個(gè)命題是等價(jià)的1）H是群的正規(guī)子群；2）對于任意aG，總有aHa1 = H；3）對于任意aG及任意hH，總有aha1H 4）對于任意aG，總有aHa1H電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)正規(guī)子群正規(guī)子群證明證明我們通過證明1)2)3)4)1)，從而證明4個(gè)命題等價(jià)1)2)：如果H是正規(guī)子群，

28、則aHa1 = (aH) a1 = (Ha) a1 =H (aa1) = He = H2)3)：顯然3)4)：也是顯然4)1)：由aHa1H，得aHHa；又由a1HaH（注意對于任意aG，有aHa1H，而a1G，所以a1HaH），得HaaH故Ha = aH定理證畢定理3.4.1表明，子群是正規(guī)子群的充分必要條件是2或者3或者4電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)正規(guī)子群正規(guī)子群定義定義3.4.2設(shè)A，B是群G中的兩個(gè)子集合，定義子集合子集合A和和B的乘積的乘積為AB = ab | a，bG，即為A中元素和B中元素相乘得到的集合顯然子集乘積滿足結(jié)合律：(AB)C = A(BC)如果A是一個(gè)子群，bG，令B = b，則G的左陪集bA可表示為BA電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院UESTC Press 第三章 循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)正規(guī)子群正規(guī)子群定理定理3.4.2設(shè)H是群G的一