利用定義巧解數(shù)學(xué)題

1、利用定義巧解數(shù)學(xué)題宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) 史祖?zhèn)?郵編214221據(jù)統(tǒng)計(jì)，定義在高考150分中占有40分左右，占有相當(dāng)大的比重。定義法也是高中數(shù)學(xué)解題方法中比較基本、比較重要的一種方法。所謂定義法就是直接用數(shù)學(xué)的定義解決問題的一種方法。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等都是由定義和公理推演出來的。下面我們通過一些具體的例子來說明定義法的應(yīng)用。例1、已知集合A中有2個(gè)元素，集合B中有7個(gè)元素，集合AB中的元素個(gè)數(shù)為n，則n= （n）解：因?yàn)锳中有2個(gè)元素B中有7個(gè)元素，所以AB中最多有9個(gè)元素，最少有7個(gè)元素，所以集合AB中的元素個(gè)數(shù)n= 7、8、9 （n）說明集合是一個(gè)不加定義的概念。本題考查的是集

2、合中元素的性質(zhì)：互異性。例2、設(shè)MP、OM、AT分別是460的角的正弦線、余弦線、和正切線，則MP、OM、AT的大小關(guān)系是 解：因?yàn)镻OA=46，所以AT>MP>OM說明 本題考查的是三角函數(shù)線的定義。用類似的方法也可以證明：當(dāng)x(0,900)，tanx>x>sinx。例3、已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x+y)= f(x)+ f(y),則f(x)的奇偶性是 解：令x=y=0,f(0+0)= f(0)+ f(0),所以f(0)=0，令y=-x，f(x)+ f(-x)=f(0)=0.所以y=f(x)是奇函數(shù)。說明 本題考查的是函數(shù)奇偶性的定義。例4、設(shè)A=1，2

3、，3，4，B=1，2，3，則AB：f的映射有 個(gè)，解：可以建立從AB的映射有3×3×3×3=81個(gè)。說明 本題考查的是映射的定義：A中的每一個(gè)元素在B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)。變：A=1，2，3，4，B=1，2，3，則AB：f使B為值域的函數(shù)有 個(gè)。解：要使B為值域，則必須滿足B中的每一個(gè)元素都有原象，那么A中的4個(gè)元素必須分成三組，與B中的元素對(duì)應(yīng)，則可以建立=36個(gè)映射。說明 本題除了考查映射的定義以外，還考查了排列組合的應(yīng)用。例5、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若， =（2n+1）,證明數(shù)列為等差數(shù)列。解：=-(n2)(2n+1) -(2n-1) =1。即-=1。數(shù)

4、列為等差數(shù)列。說明 本題考查的是等差數(shù)列的定義。例6、（全國(guó)題）求出經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）且以y軸為準(zhǔn)線、離心率為1/2的橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程。分析 條件中出現(xiàn)“準(zhǔn)線”、“焦半徑”、“離心率e”，可用第二定義求解，注意到|PF|也是焦半徑，故|PF|應(yīng)等于P到準(zhǔn)線（y軸）距離的一半。解 如圖，由題意，橢圓在y軸右側(cè)，且長(zhǎng)軸與x軸平行，設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為P（x,y），由e=0.5知左焦點(diǎn)是F（,y）, 又因M到準(zhǔn)線y軸的距離是1，所以由橢圓定義有，即（1）2+（y2）2=所求方程為 9（x）2+4（y2）2=1。 說明本題是利用橢圓的第二定義來求橢圓的頂點(diǎn)的軌跡的。例7、（廣東題）已知F1.F2是雙曲線C:的焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn),且，求。解 如圖由條件,由余弦定理有=，60o。說明本題考查的是雙曲線的定義。例8、（全國(guó)題）線段AB3，其兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上，求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求出距離最短時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)。分析 線段AB并非焦點(diǎn)弦，但可作出過A、B的焦點(diǎn)弦AF、BF，在ABF中利用三角形邊的不等關(guān)系求解。解 如圖，設(shè)曲線焦點(diǎn)為F，M（x,y），A、B、M到準(zhǔn)線x=的距離分別是a、x+、b,由a+b=2(x+)得x，即當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，M到y(tǒng)軸的距離最小為，此時(shí)作MNx軸于N，在RtMNF中易求得MN，即M的坐標(biāo)為（，）。說明此題中雖未出現(xiàn)“焦半徑”、“