第8章本構(gòu)方程的原理

1、第8章 本構(gòu)方程的原理第8章 本構(gòu)方程的原理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程式：1物理定律Euler描述法質(zhì)量守恒：動(dòng)量守恒： 動(dòng)量矩守恒：局部能量守恒：熵產(chǎn)率原理：0 Lagrange描述法：可用表示，也可以用表示上述公式2幾何關(guān)系式 其中以上均為幾何量及其之間的描述3本構(gòu)方程式：材料屬性（本章講解的內(nèi)容）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（材料力學(xué)中）熱傳導(dǎo)過程（熱力學(xué)中）本構(gòu)方程式的建立：a）實(shí)驗(yàn)：三向荷載無法實(shí)驗(yàn)（窮舉實(shí)驗(yàn)不可能），只能用特定材料。b）假定：再用實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行驗(yàn)證；或根據(jù)實(shí)際（工程）現(xiàn)象進(jìn)行某些假設(shè)。C）原理：從原理出發(fā)，研究本構(gòu)方程本構(gòu)方程的框架；對(duì)推導(dǎo)本構(gòu)方程具有指導(dǎo)意義。4初始條件和邊界條件。以上

2、構(gòu)成連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的定解問題，本章講敘本構(gòu)方程的原理。§8.1 本構(gòu)方程的概念1材料的力學(xué)行為及其流變學(xué)分類 力學(xué)性質(zhì)外部干擾（荷載）廣義荷載（機(jī)械性載荷（力）、非機(jī)械性載荷（如溫度等）材料力學(xué)行為：材料在外部干擾下的響應(yīng)（或反應(yīng)）材料的力學(xué)行為復(fù)雜。唯象觀點(diǎn)（客觀理論）：根據(jù)響應(yīng)結(jié)果、響應(yīng)現(xiàn)象建立理論（不管原因）。不管響應(yīng)產(chǎn)生的機(jī)制。如軸向拉壓：圖。材料的破壞的二個(gè)最基本形式： 韌性破壞（有明顯的變形） 脆性破壞：（無顯著變形）材料的破壞形式不是固有的，即不能稱某材料為韌性或脆性的，只能說某材料在某種條件下顯現(xiàn)為韌性或脆性。（這些條件包括：溫度、應(yīng)力狀態(tài)等）。如：高溫下（地震）的巖石

3、可流動(dòng)、海底巖石也顯現(xiàn)為韌性，鋼在低溫下顯現(xiàn)為脆性等。通常我們稱某材料為韌性或脆性的，是以靜載、常溫、正常環(huán)境條件和應(yīng)力狀態(tài)下材料呈現(xiàn)的性質(zhì)為依據(jù)的。影響（決定）材料力學(xué)性質(zhì)的主要因素有：1）材料的固有的成份、組成、內(nèi)部構(gòu)造等微觀因素有關(guān)。例如，一般的鑄鐵是脆性的，但球墨化可使其增韌；而鋼中摻碳可使其增強(qiáng)變脆。利用這一點(diǎn)可以人工改善材料性質(zhì)，甚至設(shè)計(jì)材料。目前自然界材料、普遍高強(qiáng)、低韌，人們要保持其強(qiáng)度，但要提高韌度。形成一門科學(xué)性材料科學(xué)-力學(xué)，較成功的材料為：陶瓷增韌。2）材料的力學(xué)行為通常通過對(duì)構(gòu)件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，構(gòu)件的尺寸、形狀會(huì)影響材料的力學(xué)性質(zhì)。如巖石實(shí)驗(yàn)，用一塊體作實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)格地

4、說應(yīng)為結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，并非真正的材料的響應(yīng)，構(gòu)件越大，包含缺陷越多。3）外部環(huán)境：周圍介質(zhì)、溫度、輻射、磁場。4）加載方式：速度、交變、應(yīng)力狀態(tài)。高速加載帶粘性，交變使材料變脆，三向等拉變脆，三向等壓變韌。裂紋尖端三向等拉。5）時(shí)間因素：老化。理論上說：將上述因素作為參數(shù)，來確定一個(gè)區(qū)分韌性破壞和脆性破壞區(qū)的過渡區(qū)（但實(shí)際上要做到是很困難的，甚至不可能的）。因此，要描述材料的力學(xué)性質(zhì)是非常困難的，到目前為止，不可能用一個(gè)函數(shù)來直接、全部描述材料性質(zhì)。目前可行的辦法：根據(jù)各種材料（常見材料），在一定條件下的主導(dǎo)行為（主要表現(xiàn)、性質(zhì)、抓主要矛盾）進(jìn)行分類。建立相應(yīng)的模型（模擬原型），及對(duì)應(yīng)的理論。每一

5、個(gè)模型不是一種或一類材料力學(xué)性質(zhì)的直接和全部的描述，而是多種材料在各自一定條件下共同主導(dǎo)行為的模擬。這種在總體唯象方法上建立起來的材料性質(zhì)的分類法稱為流變學(xué)分類法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的發(fā)展。例如：較一個(gè)典型的單元體，從它受干擾的響應(yīng)分為：（單元體是一個(gè)微小系統(tǒng)，簡稱為系統(tǒng)）。一、長程系統(tǒng)：材料的響應(yīng)不僅與該系統(tǒng)的狀態(tài)變量的現(xiàn)時(shí)值及其其全部歷史有關(guān)，而且與物質(zhì)其它質(zhì)點(diǎn)（單元體）的狀態(tài)變量及全部歷史有關(guān)，甚至認(rèn)為與體積力有關(guān)。（最復(fù)雜的材料性質(zhì)）。二、短程系統(tǒng)：材料的響應(yīng)與本單元體的狀態(tài)變量的現(xiàn)時(shí)值及其全部歷史有關(guān)，與其它質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)無關(guān)。力學(xué)中現(xiàn)有的流變模型大

6、我數(shù)屬短程系統(tǒng)。短程系統(tǒng)分為兩類：梯度形：不僅與上述因素有關(guān)，而且與狀態(tài)變量的梯度有關(guān)。如：與，有關(guān)，且與有關(guān)。非梯度形：與狀態(tài)變量梯度無關(guān)。（現(xiàn)學(xué)的本構(gòu)方程屬于這類）。短程系統(tǒng)： 老化；非老化。力學(xué)中研究的對(duì)象為：短程，非梯度型，非老化。干擾引起響應(yīng)移去干擾消減響應(yīng)于是可得出以下的分類框圖（未考慮材料的損傷）Plasticity塑性后效即時(shí)響應(yīng)粘性Viscosity（熱）彈性Thermo-elastisity嗣續(xù)性Heredity可逆響應(yīng)不可逆響應(yīng)通常將（熱）彈性、塑性和粘性視作基本的流變模型。其實(shí)材料在一定條件下，一般地可用上述三種模型之一或其組合來模擬。如：彈塑性、粘彈性、粘塑性、彈-粘

7、塑性等。如上所述，這種流變分類法不是固有的，而是一種人為的分類方法，它只是提供材料一般性質(zhì)的參考框架。給定材料的行為，只相對(duì)于預(yù)期的用途和期望的精度而言，才可用一種流變模型來表示。例如室溫下的鋼、按其設(shè)計(jì)用及期望精度可被視為下列模型： 線彈性的對(duì)于結(jié)構(gòu)的靜力分析（小變形） 粘彈性的對(duì)于振動(dòng)阻尼分析 剛塑性的對(duì)于塑性極限分析（土木） 彈性強(qiáng)化的對(duì)精確計(jì)算殘余變形 彈粘塑性的對(duì)應(yīng)力松馳分析 韌性損傷的對(duì)于求加工限度（成型極限，分幾次成型） 疲勞損傷的對(duì)于估計(jì)構(gòu)件壽命時(shí)。2狀態(tài)變量（參數(shù)）力學(xué)-熱學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)要有一定的變量來描述或確定，稱為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量變化必定引起或?qū)?yīng)于狀態(tài)變化，稱為過程。狀

8、態(tài)變量分兩類：獨(dú)立的狀態(tài)變量；可用獨(dú)立狀態(tài)變量來表示的，稱為狀態(tài)函數(shù)。體積、應(yīng)變（）、溫度（）稱為獨(dú)立變量，壓力，應(yīng)力（）、內(nèi)能（）或自由能（），熵（）、熱流矢（）稱為狀態(tài)函數(shù)。狀態(tài)變量之間的函數(shù)關(guān)系系，稱為本構(gòu)方程。在空氣動(dòng)力學(xué)中稱狀態(tài)方程。應(yīng)變、組分濃度等稱為運(yùn)動(dòng)性狀態(tài)變量，與絕對(duì)溫度一起構(gòu)成為獨(dú)立狀態(tài)變量。也可以應(yīng)力作為獨(dú)立狀態(tài)變量。相應(yīng)地應(yīng)變?yōu)闋顟B(tài)函數(shù)。廣義虎克定律中可用應(yīng)變表示應(yīng)力，反之也行。狀態(tài)函數(shù)中有一類特殊函數(shù)，稱為態(tài)函數(shù)，即此類函數(shù)只與獨(dú)立狀態(tài)變量的值有關(guān)，而與變化的過程（歷史）無關(guān)，具體地說，與獨(dú)立的狀態(tài)變量的變率、無關(guān)，、等是態(tài)函數(shù)，它們的增量是數(shù)學(xué)中的全微分。§

9、;8.2 本構(gòu)方程的表述方法三大方法：1微觀方法：在原子、分子或晶粒尺度上來考慮或模型材料的變形或斷裂，再將微觀變量（位錯(cuò)濃度、孔洞濃度、構(gòu)成等）加以整體化或平均化，以獲材料的客觀行為（該法距離應(yīng)用還遠(yuǎn)）。對(duì)于微體力學(xué)，要用微觀方法，如生物力學(xué)中血管流動(dòng)力學(xué)等。2熱力學(xué)方法：引入等價(jià)于真實(shí)介質(zhì)的均勻介質(zhì)（均勻、連續(xù)假設(shè)），引入宏觀的內(nèi)變量來反映材料行為的不可逆過程，即材料的歷史相關(guān)性。用，熊書77頁）表示內(nèi)變量，則本構(gòu)方程可表示為：其中，為Euler（Cauchy）應(yīng)力張量，為比熵，為比自由能（也可用比內(nèi)能，），為熱流矢。 上述四類本構(gòu)方程中，若為可逆過程，則沒有出現(xiàn)，若為不可逆過程，則出現(xiàn)，

10、由于的出現(xiàn)，多了未知數(shù)，因此，還要建立內(nèi)變量的變化規(guī)律為（率方程）：3泛函表述法（上面用“”表示泛函）：其中，左邊的量與2中敘述相同，右邊的量為：為該單元體以外所有的質(zhì)點(diǎn)（長程系統(tǒng)），為該單元體內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，：表示時(shí)刻以前的所有的時(shí)間（）。最后導(dǎo)出一個(gè)積分型的遺傳規(guī)律（與歷史有關(guān)），這個(gè)規(guī)律表示材料的特征函數(shù)。微觀方法難在：微觀變量不好測量，且平均化有誤差。熱力學(xué)方法難在：引入的勢函（自由能，耗散勢）難于直接觀測；內(nèi)變量按定義就是不可直接觀測的，有人為的任意性。泛函方法難在：具體寫出泛函數(shù)的形式。粘彈性力學(xué)用泛函方法，但不是直接寫出泛函的形式，而是一個(gè)積分形式。微觀和宏觀相結(jié)合的方法建立了本構(gòu)方程

11、，目前有用。§8.3 本構(gòu)方程的原理（相當(dāng)于工程中的規(guī)范）1確定性原理：認(rèn)為任何力學(xué)熱學(xué)狀態(tài)都是可確定的。牛頓經(jīng)典力學(xué)確定性原理：只要知道初始狀態(tài)就可知任何狀態(tài)。近代力學(xué)確定性原理：只要知道現(xiàn)在和歷史，方可知未來。但現(xiàn)在的渾沌問題具有不確定性。將來過去令：，為從現(xiàn)時(shí)刻回到時(shí)刻的經(jīng)過的時(shí)間。物質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻以前的變形史 為現(xiàn)時(shí)刻，為過去時(shí)刻?；蛴洖椋喊创_定性原理寫出的本構(gòu)方程為：其中稱為本構(gòu)泛函單值性。2局部作用原理（短程原理）只與本身單元有關(guān)，與周圍無關(guān)。即：離開物質(zhì)點(diǎn)有限距離之外的物質(zhì)點(diǎn)的變形史與點(diǎn)的應(yīng)力無關(guān)。以為中心取一領(lǐng)域 即 設(shè)和是二個(gè)變形史，在內(nèi)的物質(zhì)點(diǎn)變形史完全一樣，但在以外

12、的物質(zhì)點(diǎn)的變形史不一樣，根據(jù)確定性原理，分別寫出其本構(gòu)方程，于是有：3客觀性原理：（時(shí)空系無關(guān)原理，標(biāo)架無關(guān)原理）材料本構(gòu)方程完全決定于材料本身的本構(gòu)屬性。材料的本構(gòu)方程與觀察者所處的時(shí)空系無關(guān)；作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)觀察者觀測同一個(gè)本構(gòu)實(shí)驗(yàn)，應(yīng)得到同一個(gè)本構(gòu)方程。以上為Noll三原則（1958年），后又提出以下原理（進(jìn)一步完善）。4短暫記憶原理衰減記憶5坐標(biāo)系不變性原理本構(gòu)方程是張量方程，張量是坐標(biāo)系不變的。6許可性原理本構(gòu)方程不違反守恒定律和熵不等式。7等存在性原理各類本構(gòu)方程所包含的狀態(tài)變量相同。如果對(duì)一類本構(gòu)方程證明某個(gè)變量難排除，則一般地在其它級(jí)本構(gòu)方程中也不包含該變量。§8.4

13、 參考標(biāo)架的變換，標(biāo)架無關(guān)量1參考標(biāo)架的變換時(shí)空系：參考系+時(shí)鐘在系中看： 在系中看： 時(shí)空系的變換：其中變換張量，（夾角余弦），與時(shí)間有關(guān)的正交變換張量。設(shè)（為常數(shù)，即兩個(gè)鐘快慢一致）上述變換具有兩個(gè)性質(zhì)：空間距離不變性（兩事物發(fā)生地點(diǎn)的距離相同）時(shí)間間隔不變化（兩事物發(fā)生的時(shí)間差相同）1)空間距離不變性質(zhì)系中：系中： 2）時(shí)間間隔不變性： （均只相差常數(shù)）2標(biāo)架無關(guān)量的變換規(guī)律：一個(gè)標(biāo)架（一個(gè)觀察者）： 另一個(gè)標(biāo)架（另一個(gè)觀察者）標(biāo)架變換規(guī)律1）標(biāo)量： 稱為標(biāo)架無關(guān)標(biāo)量，標(biāo)量的變換規(guī)律，否則稱為標(biāo)架有關(guān)的標(biāo)量2）矢量：兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置是一個(gè)標(biāo)架無關(guān)的矢量或 或3）張量：中：矢量的變換為二

14、階張量，即 中，在什么條件下才稱與標(biāo)架無關(guān)張量？將一個(gè)標(biāo)架無關(guān)矢量變換為另一個(gè)標(biāo)架無關(guān)矢量的張量，稱為標(biāo)架無關(guān)張量。則： 比較，有： 標(biāo)架無關(guān)張量變換規(guī)律上述三種稱為典型的規(guī)律本構(gòu)方程是與標(biāo)架無關(guān)，所以要研究與本構(gòu)方程有關(guān)量的標(biāo)架無關(guān)性。3力學(xué)中遇到的量的標(biāo)架變換規(guī)律（力學(xué)的客觀量與非客觀量）（矢性算子，）（本構(gòu)方程中要用到它，如：）中：中：又，則 則 （現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中）現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的矢性算子是標(biāo)架無關(guān)的算子。在參考構(gòu)形中，中：中： （）它符合標(biāo)量的變換規(guī)律，用它時(shí)，將就可寫為 變形梯度張量在中：在中：變形梯度張量相當(dāng)于矢量的變換規(guī)律（原因是它為兩點(diǎn)張量，只有與不同觀察者有，而與參考標(biāo)架無關(guān)）。 G

15、reen變形張量在中：在中：的標(biāo)架變換規(guī)律符合標(biāo)量變換規(guī)律（原因是它為物質(zhì)張量，即一點(diǎn)張量，且在參考構(gòu)形中）。 （與上同理，也為一點(diǎn)張量，物質(zhì)張量） 極分解正交張量在中：在中：又 比較有：的變換規(guī)律相當(dāng)于矢量變換規(guī)律（是一個(gè)兩點(diǎn)張量） Cauchy應(yīng)變張量它符合張量的變換規(guī)律 規(guī)律：凡兩點(diǎn)張量相當(dāng)于矢量變換規(guī)律凡一點(diǎn)張量：若該點(diǎn)在參考構(gòu)形上，相當(dāng)于標(biāo)量變換規(guī)律 若該點(diǎn)在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上，相當(dāng)于張量變換規(guī)律柯西應(yīng)力張量（Euler應(yīng)力張量）任一點(diǎn)的應(yīng)力矢為：和均為與標(biāo)架無關(guān)矢量，根據(jù)標(biāo)架無關(guān)的定義，有： （為現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的一點(diǎn)張量） 在中：在中：符合標(biāo)準(zhǔn)的矢量變換規(guī)律（注：中，由于非標(biāo)架無關(guān)量，整個(gè)式子

16、均非標(biāo)架無關(guān)的，要換式表示之，凡與變率有關(guān)（與時(shí)間變率有關(guān)）的量，均有此缺陷） 溫度場的梯度中：中：現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上溫度的梯度符合矢量變換規(guī)律，參考構(gòu)形上：中：中：參考構(gòu)形上溫度梯度的變換規(guī)律相當(dāng)于標(biāo)量變換規(guī)律 （體積膨脹比）在中：若為正常正交變換（轉(zhuǎn)動(dòng)）有：若非正常正交變換（鏡射）有： 在中： （）在中： 又 （在參考構(gòu)形上）當(dāng)時(shí)，有 與變率有關(guān)的量的變換規(guī)律等1）（速度梯度張量）在中：在中： 可見不是標(biāo)架無關(guān)張量，但可進(jìn)一步推導(dǎo)，則 又 但 求導(dǎo)，有：則有：為反對(duì)稱張量 （*）則對(duì)稱部分符合標(biāo)架無關(guān)張量，而反對(duì)稱部分不符合（反對(duì)稱部分不能引入本構(gòu)方程，而對(duì)稱部分可引入）2）應(yīng)力率張量在中，在中：

17、本身不符合標(biāo)架無關(guān)張量規(guī)律，但可通過本構(gòu)導(dǎo)數(shù)來寫出與標(biāo)架無關(guān)。下面設(shè)法消去由（*）式，兩邊同乘以，有以入后，有 則 設(shè) 有 符合標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)架不變量規(guī)律Jaumann（1911年）提出的，應(yīng)力率張量Jaumann應(yīng)力率，本構(gòu)導(dǎo)數(shù)力學(xué)進(jìn)展91年 No.引入本構(gòu)導(dǎo)數(shù)，僅解決了與標(biāo)架無關(guān)的問題（必要條件），但是否物質(zhì)的行為可描述呢？50年代作為剪切模型，產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，說明該問題描述有問題。上述為非線性力學(xué)的基本問題之一，仍未解決，有爭議，怎么描述好？§8.5 標(biāo)架無關(guān)原理對(duì)本構(gòu)方程的限制1本構(gòu)方程的客觀性本構(gòu)方程中包含有非客觀量確定性原理 也可含溫度 客觀性原理：在系中：在系中：本構(gòu)泛函具有不變

18、性 滿足Euler應(yīng)力的變換規(guī)律2根據(jù)Noll三原則導(dǎo)出的本構(gòu)方程的框架確定性原則 在中客觀性原則時(shí)空系 在中要求：和是兩個(gè)任意的時(shí)空系。令 ，特殊的時(shí)空系變換在物體上有兩點(diǎn)在時(shí)空系的變換有 在時(shí)空系的變換有與的坐標(biāo)系相互平行，且只作相對(duì)平移運(yùn)動(dòng)令時(shí)空系的原點(diǎn)和點(diǎn)重合點(diǎn)：又由于時(shí)空系平行，則 時(shí)空系中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)矢：在時(shí)空系內(nèi)：則 確定性原理+客觀性原理+特殊時(shí)空系上面公式局部作用原理以為中心展成泰勒級(jí)數(shù)（注：）其中： 一次變形梯度史 二次變形梯度史，對(duì)通過一個(gè)在的積分，有§8.6 Noll簡單物質(zhì)次物質(zhì)：本構(gòu)泛函中，包含直到次變形梯度史的物質(zhì)。簡單物體：本構(gòu)泛函中，只包含一次變形梯度史的物質(zhì)。簡單物質(zhì)的本構(gòu)泛函：