利用角平分線構(gòu)造全等三角形

1、映山中學(xué) 汪強(qiáng)如何利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形？如何利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形？復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 可以利用可以利用倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線法，即把中線，即把中線延長(zhǎng)一倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形。延長(zhǎng)一倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形。 如圖，若如圖，若AD為為ABC的中線，的中線， 必有結(jié)論必有結(jié)論：ABCDE12 延長(zhǎng)延長(zhǎng)AD到到E，使，使DE=AD，連結(jié)連結(jié)BE（也可連結(jié)（也可連結(jié)CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造全等三角形。 如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)如何利用

2、三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形？造全等三角形？問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。方法一：方法一：ABCDE必有結(jié)論：必有結(jié)論：在在AB上截取上截取AE=AC，連結(jié)連結(jié)DE。ADE ADC。ED=CD，3 3* *2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二：方法二：ABCDF延 長(zhǎng)延 長(zhǎng) A C 到到 F ， 使， 使AF=AB，連結(jié)，連結(jié)DF。必有結(jié)論：必有結(jié)論：ABD AFD。BD=FD， 如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形？造全等三角形？問(wèn)題：?jiǎn)栴}：3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BA

3、C。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造全等三角形。B=F， ADB=ADF。 如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形？造全等三角形？問(wèn)題：?jiǎn)栴}：ABCDMN方法三：方法三：作作DMAB于于 M，DNAC于于N。必有結(jié)論：必有結(jié)論：AMD AND。DM=DN，3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。

4、（還可以用（還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等邊距離相等”來(lái)證來(lái)證DM=DN）證明證明：例題例題已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，連結(jié)，連結(jié)DE。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）ABD EBD（S.A.S）1

5、243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），A3（已證）（已證）A+ C180 （等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * A3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已證）（已證）DE=DC（等量代換）（等量代換）4=C（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明證明: :例題例題已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCF延長(zhǎng)延長(zhǎng)BA

6、到到F，使，使BF=BC，連結(jié)，連結(jié)DF。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已證）（已證）4=C（等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已證）（已證）DF=AD（等量代換）（等量代換）4=F（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）A+ C180 （等量

7、代換）（等量代換）DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明證明: :例題例題已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于N。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已證）（已證） 1=2（已證）（已證） B

8、D=BD（公共邊）（公共邊）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是

9、是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于N。12N433 32 21 1* * BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知） DNBA，DMBC（已知）（已知） ND=MD（角平分線上的點(diǎn)到這（角平分線上的點(diǎn)到這 個(gè)角的兩邊距離相等）個(gè)角的兩邊距離相等） 4=C （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）

10、RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義）（平角定義） A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）練習(xí)練習(xí)如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDE122 21 1證明證明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，連結(jié)，連結(jié)DE。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）AED A

11、CD（S.A.S）3B=4（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）4* * C3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代換）（等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個(gè)外角等于（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）C=2B（等量代換）（等量代換）ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDF12證明證明:

12、 :延長(zhǎng)延長(zhǎng)AC到到F，使，使CF=CD，連結(jié)，連結(jié)DF。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）（等量代換） ACB= 2F（三角形（三角形的一個(gè)外角等于和它不相的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）ACB=2B（等量代換）（等量代換）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已證）（已證） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形？如何利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形？小結(jié)：小結(jié)：（ 3 ） 作） 作 D M A B 于于 M ，DNAC于于N。（1）在）在AB上截取上截取AE=AC，連結(jié)連結(jié)DE。（2）延長(zhǎng)）延長(zhǎng)AC到到F，使，使AF=AB，連結(jié)連結(jié)DF。ABCDEFMN必有結(jié)論：必有結(jié)論：ADE ADC。必有結(jié)論：必有結(jié)論：ABD AFD。必有結(jié)論：必有結(jié)論：AMD AND。 可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，可以利用角平分線所在直線作