東南大學(xué)-高數(shù)(上)-03至10年-期末試卷(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 0310級高等數(shù)學(xué)（A）（上冊）期末試卷2003級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一、單項選擇題（每小題4分，共16分）1設(shè)函數(shù)由方程確定，則（ ）2曲線的漸近線的條數(shù)為（ ）3設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖形為（ ）4微分方程的特解形式為（ ）二、填空題（每小題3分，共18分）12若，其中可導(dǎo)，則3設(shè)若導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是。4若，則的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.5曲線的拐點是6微分方程的通解為三、計算下列各題（每小題6分，共36分）1計算積分 2計算積分3. 計算積分 4. 計算積分5.設(shè)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且，求6.求微分方程的通解四.（8分

2、）求微分方程滿足條件的特解五.（8分）設(shè)平面圖形D由與所確定，試求D繞直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。六.（7分）設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面薄板由曲線C:與軸所圍成，試求其質(zhì)量七.（7分）設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得2004級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一. 填空題（每小題4分，共20分）1函數(shù)的間斷點 是第 類間斷點.2. 已知是的一個原函數(shù),且,則 .3. .4. 設(shè),則 .5. 設(shè)函數(shù),則當(dāng) 時,取得最大值.二. 單項選擇題(每小題4分,共16分)1. 設(shè)當(dāng)時,都是無窮小,則當(dāng)時,下列表達(dá)式中不一定為無窮小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲線的漸近線共有

3、 (A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條3. 微分方程的一個特解形式為 (A) (B) (C) (D) 4. 下列結(jié)論正確的是 (A) 若,則必有.(B) 若在區(qū)間上可積,則在區(qū)間上可積.(C) 若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)都有.(D) 若在區(qū)間上可積,則在內(nèi)必有原函數(shù).三. (每小題7分,共35分)1. 2. 設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù),求曲線在點處的切線方程.3. 4. 5. 求初值問題 的解.四.(8分) 在區(qū)間上求一點,使得圖中所示陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小. 五.(7分) 設(shè) ,求證 .六.(7分) 設(shè)當(dāng)時,可微函數(shù)滿足條件且,試證: 當(dāng)時,有 成立

4、.七.(7分) 設(shè)在區(qū)間上連續(xù),且,證明在區(qū)間內(nèi)至少存在互異的兩點,使.2005級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ；2曲線的斜漸近線方程是 ；3設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；4設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，則 ；5設(shè)，則 ；6 ； 7曲線相應(yīng)于的一段弧長可用積分 表示； 8已知與分別是微分方程的兩個特解，則常數(shù) ，常數(shù) ；9是曲線以點為拐點的 條件。二計算下列各題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1設(shè)，求2 3 4三（本題滿分9分）設(shè)有拋物線，試確定常數(shù)、的值，使得（1）與直線相切；（2）與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。四（本題共2小題，

5、滿分14分） 1（本題滿分6分）求微分方程的通解。2（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件的特解。五（本題滿分7分） 第4頁 試證：（1）設(shè)，方程在時存在唯一的實根；（2）當(dāng)時，是無窮小量，且是與等價的無窮小量。六（本題滿分6分）證明不等式：，其中是大于的正整數(shù)。2006級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ； 2曲線在對應(yīng)的點處的切線方程為 ；3函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減；4設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ； 5 ；6設(shè)連續(xù)，且，已知,則 ；7已知在任意點處的增量，當(dāng)時，是的高階無窮小，已知，則；8曲線的斜漸近線方程是 ；9若二階線性常系數(shù)齊次微分

6、方程有兩個特解，則該方程為 .二.計算題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1計算不定積分 2計算定積分 3計算反常積分 4設(shè) ，求 三（本題滿分7分）求曲線自到一段弧的長度。 （第3頁）四（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿分16分）1求微分方程的通解。2求微分方程的特解，使得該特解在原點處與直線相切。五（本題滿分7分）設(shè)，求積分的最大值。 （第4頁）六（本題滿分6分）設(shè)函數(shù)在上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得 。2007級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1；2設(shè)，則；3已知，則；4對數(shù)螺線在對應(yīng)的點處的切線方程是；5

7、設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是；6曲線的拐點坐標(biāo)是，漸進(jìn)線方程是；7；8 ； 9二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式為.二.計算下列積分（本題共3小題，每小題7分，滿分21分）10. 11 12。三（13）（本題滿分8分）設(shè)，.（1）問是否為在內(nèi)的一個原函數(shù)？為什么？（2）求.四（14）（本題滿分7分）設(shè)，求.五（15）（本題滿分6分）求微分方程的通解.六（16）（本題滿分8分）設(shè)、滿足，且，求.七（17）（本題滿分8分） 設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為.（1）試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值.（2）求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞

8、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.八（18）（本題滿分6分）設(shè)，求證：當(dāng)時，.2008級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ；2已知，則 ；3曲線的拐點是 ；4曲線的斜漸近線的方程是 ；5二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式是 ；6設(shè)是常數(shù)，若對，有，則 ；7 ；8設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則 ； 9設(shè)，則 .二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分）10 11. 12已知的一個原函數(shù)為，求 13設(shè)，求常數(shù)、，使得。14。三（15）（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件，的特解.四（16）（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連

9、續(xù)，且恒取正值，若對，在上的積分（平）均值等于與的幾何平均值，試求的表達(dá)式.五（17）（本題滿分7分） 在平面上將連接原點和點的線段（即區(qū)間）作等分，分點記作，過作拋物線的切線，切點為，（1）設(shè)三角形的面積為，求；（2）求極限.六（18）（本題滿分6分）試比較與的大小，并給出證明.（注：若通過比較這兩個數(shù)的近似值確定大小關(guān)系，則不得分）七（19）（本題滿分6分）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，求證： .2009級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷1函數(shù)的定義域是 ，值域是 ；2設(shè)，當(dāng) 時，在處連續(xù)；3曲線的斜漸進(jìn)線的方程是 ；4 ；5函數(shù)的極大值點是 ；6 ； 7設(shè)是由所確定的函數(shù)，則 ；8曲線族（,為任意常數(shù)

10、）所滿足的微分方程是 ； 9 .二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分）10 11. 12 1314。設(shè)，計算.三（15）（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件，的特解.四（16）（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，在內(nèi)恒取正值，且滿足，又由曲線與直線所圍成的圖形的面積為，求函數(shù)的表達(dá)式，并計算圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.五（17）（本題滿分6分） 已知方程在區(qū)間內(nèi)存在兩個互異的實根，試確定常數(shù)的取值范圍.六（18）（本題滿分6分）設(shè)在區(qū)間上非負(fù)、連續(xù)，且滿足,證明：對，有.七（19）（本題滿分6分）設(shè)，在處可導(dǎo)，且，（1）求證：，使得（2）求極限.2010級高等數(shù)

11、學(xué)（A）（上）期末試卷一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分3 6分）1 ；2曲線在點處的切線方程是 ；3曲線的漸近線方程是 ；4若曲線有拐點，則 ；5函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù) ；6設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程確定，則 ； 7 ；8 ；9微分方程滿足條件的特解是 .二.(本題共4小題，每小題7分,滿分28分)10求極限 . 11求反常積分. 12求定積分. 13求不定積分 .三(14)（本題滿分7分）設(shè)，分別求與時積分的表達(dá)式.四（15）（本題滿分8分）求由所圍圖形的面積及此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.五（16）（本題滿分7分）求微分方程滿足初值條件，的特解.六（17）（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其

12、中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，已知，求函數(shù).七（18）（本題滿分6分）設(shè)，分別是在上的最大值和最小值，證明：至少存在一點，使得：.答案：特別說明：以下內(nèi)容僅供參考，其實解答題和證明題中，解法很多，并且有些解法比下面提供的參考答案更簡潔。在一些參考答案后，我寫了些說明，有些沒寫。還是希望同學(xué)們自己多動腦筋，多思考，多多地動手、動筆去推導(dǎo)去計算。在復(fù)習(xí)階段，相互間多討論，多交流交流。別的同學(xué)有疑問向你求解釋時，請耐心的解答（大學(xué)時光很寶貴，大學(xué)同學(xué)間的友情也彌足珍貴。每一個人都有困難的時候，說不定什么時候，就換作你自己要尋求別人的幫助。這是我作為過來人的體會）。當(dāng)然，問題確實很繁瑣時，可以建議他直接找我討論

13、。謝謝大家。祝大家復(fù)習(xí)愉快，考試取得各自理想的成績，回家開開心心過大年。2003級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一、單項選擇題（每小題4分，共16分）1 C 3 D 4C二、（每小題3分，共18分） 1； 2 ； 3 ； 4 ，； 5 ； 6三、（每小題6分，共36分）1 ； 2. ； 3. ； 4 ； 5； 6解為。四、所求特解. 五、. 六、.七、 由(在0與之間)知；又因，所以在上存在最大值和最小值，于是,所以，由推廣的積分中值定理知，使得，即Note：還有別的解法。如“變動的觀點”，構(gòu)造函數(shù)，原問題等價于證：，使.2004級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. （每小題4分，共20分

14、） 10,一；2 ； 3 ； 4 1； 5 。二. 單項選擇題(每小題4分,共16分) 1 A; 3 D; 4C.三. (每小題7分,共35分) 1. 2.(略) 3. 4. 5.四.(8分) 是旋轉(zhuǎn)體的體積最小的點.五.(7分) 提示：設(shè),原不等式等價于, 即等價于。（用函數(shù)單調(diào)性證明）Note：還有別的構(gòu)造函數(shù)的方法，也有其它解法六.(7分) 提示：把所給方程轉(zhuǎn)化為微分方程，求解得；再用函數(shù)的單調(diào)性和定積分的性質(zhì)即可。七.(7分) 提示：記，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法2005級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一1；2；3；4；5；6；7；8；9非充分非必要。二 1 2 3

15、 4三 ，。 四1； 2五（1）提示：設(shè)，用零點定理及函數(shù)的單調(diào)性；（2）提示：用夾逼定理。六設(shè)為正整數(shù)，三邊積分得，左邊關(guān)于相加得：，右邊關(guān)于相加得：，所以Note：也可以用數(shù)學(xué)歸納法+中值定理去證2006級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1；2；3；4；5；6；7；8；9。二. 1. 2. 3. 4. 三 四1. 2. 五六證：，由于在上連續(xù)，在上存在最大值和最小值，故，從而,即，由介值定理知至少存在一點，使得Note：還有別的解法。參見03年的第七題。2007級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1； 2； 3 ； 4 ；5 ， ； 6 ， ； 7； 8 ； 9. 二. 10.

16、； 11； 12。三 (1) 不是在內(nèi)的一個原函數(shù)，因為，在內(nèi)不連續(xù). (2) 四 五六由已知條件知，解出，從而可求出.Note：求積分時，可采取保持一個不動（比如不動），然后讓另一個等價變形（朝著保持不動的那一項方向等價變形）。當(dāng)然還有別的方法，如湊微分等。七(1) 是最小值. (2) 八提示：令，則2008級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1 ； 2； 3； 4； 5；6； 7. ； 8 ； 9. 二. 10.； 11. 12. 13. , , 14. 三 四由題意得，記，則兩端對求導(dǎo)知，解得。五.(1) 設(shè)，則由題意得(2) 六. 設(shè) （或）， 由函數(shù)單調(diào)性可得 Note：也有別的

17、解法，而且解法很多七法1：法2: 對，再用積分的單調(diào)性及絕對值不等式的性質(zhì)放縮。對，再用積分的單調(diào)性及絕對值不等式的性質(zhì)放縮。法3:（函數(shù)的觀點，將是某個函數(shù)在一些定點處的取值,比如令，將分別在和處一階Taylor展開（帶Lagrange余項，即,介于和間），然后在所得兩式中都取，再做相應(yīng)的運算。Note：構(gòu)造函數(shù)的方法也不是唯一的。2009級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1，； 2 3 4 ； 5 ；6 ； 7 ； 8 ； 9 .二. 10； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 三四，五設(shè), 則，故常數(shù)的取值范圍是：。六令,則,不等式兩邊對積分,得,即七(1) 記，用中值定理(2) 由(1)得，因此.