第5講：動態(tài)幾何問題

1、 第5講 動態(tài)幾何問題第一部分 典例精講【例1】如圖，在梯形中，梯形的高為動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形【例2】在ABC中，ACB=45º點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的

2、邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示） 【例3】已知如圖，在梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動，且保持不變設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；ADCBPMQ60°（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說明理由【例4】已知正方形中，為對角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，連接，為中點(diǎn)，連接（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點(diǎn)，連接，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問

3、（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）第二部分 發(fā)散思考【思考1】已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動過程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）設(shè)，請?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有的代數(shù)式表示的周長；若無關(guān)，請說明理由 【思考2】 ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，BP=BA，若PBC180°，且PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA，（1）當(dāng)BP與BA重合時(shí)（如圖1），BPD= °；（2）當(dāng)BP在ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖2

4、），求BPD的度數(shù)；（3）當(dāng)BP在ABC的外部時(shí)，請你直接寫出BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形 【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=點(diǎn)O為BC邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的O分別交邊AB于點(diǎn)P，交線段OD于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN（1）當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長；（2）點(diǎn)O運(yùn)動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當(dāng)BO為多長時(shí)BP=MN；若不存在，請說明理由；ABCDOPMNABCD（備用圖）【思考4】在中，過點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)（1）在

5、圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P1不與C重合）時(shí)，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設(shè)CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.例1、【思路分析1】就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條

6、件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN/AB時(shí)，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果。 【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解例2、【思路分析1】本題并未給出那個“靜止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞

7、，就可以得解?！舅悸贩治?】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解?！舅悸贩治?】這一問有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動和它在BC延長線上運(yùn)動時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（3）過點(diǎn)A作AQBC交CB的延長線于點(diǎn)Q， 點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時(shí)，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP， ， ， 點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動時(shí)，BCA=45º，

8、可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 過A作交CB延長線于點(diǎn)G，則 CFBD，AQDDCP， ， ，3【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點(diǎn)問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實(shí)就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢? 當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）證明：是等邊三角

9、形 是中點(diǎn) 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個角度傳遞非常重要,要仔細(xì)揣摩) (設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動點(diǎn)靜止時(shí)的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對稱軸的值時(shí)Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點(diǎn)，于是問題輕松求解。（3）解： 為直角三角形當(dāng)取最小值時(shí)，是的中點(diǎn)，而4、【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等

10、。第二問將BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。（1） （2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即證明：連接，過點(diǎn)作于，與的延長線交于點(diǎn)在與中， 在與中， 在矩形中， 在與中， 【思路分析2】如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)?？?/p>

11、以延長一倍EG到H，從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。第25題第三部分 思考題解析【思考1解析】（1）證明： ， 又 ， （2）證明：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，容易證明在中， ， （3）解：的周長， 設(shè)，則 ， 即 由（1）知， 的周長的周長 的周長與值無關(guān) 圖8【思考2答案】解：（1）BPD= 30 °； （2）如圖8，連結(jié)CD 解一： 點(diǎn)D在PBC的平分線上， 1=2 ABC是等邊三角形， BA=BC=AC，ACB= 60

12、° BP=BA BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3- DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD =30° 解二： ABC是等邊三角形 BA =BC=AC DB=DA， CD垂直平分AB BP=BA， BP=BC 點(diǎn)D在PBC的平分線上， PBD與CBD關(guān)于BD所在直線對稱 BPD=3 BPD =30° （3）BPD= 30°或 150° 圖形見圖9、圖10 圖9圖10 【思考3解析】解：（1）過點(diǎn)A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB=得BE=3 CDBC，AD/BC，BC=6，AD=EC=BCBE=3 當(dāng)BO=AD=3時(shí)， 在O中，過點(diǎn)O作OHAB,則BH=HP ,BH= BP= （2）不存在BP=MN的情況- 假設(shè)BP=MN成立，BP和MN為O的弦，則必有BOP=DOC 過P作PQBC，過點(diǎn)O作OHAB,CDBC，則有PQODOC- 設(shè)BO=x，則PO=x,由，得BH=, BP=2BH=. BQ=BP×cosB=，PQ=OQ=PQODOC，即，得 當(dāng)時(shí)，BP=5=AB，與點(diǎn)P應(yīng)在邊AB上不符，不存在BP=MN的情況. 【思考4解析】M解：（1）直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直證明：如圖1，設(shè)直線與直線的交