圓的標準方程一般方程參數(shù)方程

1、17.6圓的方程(1教學目的:1、使學生掌握圓的標準方程的特點,能根據(jù)圓心、半徑準確地寫出圓的標準方程,能運用圓的標準方程正 確地求出其圓心和半徑2、能根據(jù)不同的條件,利用待定系數(shù)法、定義法求圓的標準方程 3、能運用圓的標準方程解決一些簡單的實際問題一、復習引入:1、具有什么性質的點的軌跡是圓?(圓的定義:平面內與一定點距離等于定長的點的軌跡 稱為圓2、求曲線方程的一般步驟為:(1建立適當?shù)淖鴺讼?用有序實數(shù)對表示曲線上任意一點 M 的坐標; (2寫出適合條件 P 的點 M 的集合; (可以省略,直接列出曲線方程 (3用坐標表示條件 P (M ,列出方程 0 , (=y x f ; (4化方程

2、 0 , (=y x f 為最簡形式;(5證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點 (可以省略不寫 , 如有特殊情況,可以適當 予以說明 二、講解新課:1、已知圓心為 , (b a C ,半徑為 r , 如何求的圓的方程? 運用上節(jié)課求曲線方程的方法, 從圓的定義出發(fā), 正確地推導出:222 ( (r b y a x =-+- 這個方程叫做圓的標準方程2、圓的標準方程 :222 ( (r b y a x =-+-若圓心在坐標原點上,這時 0=b a ,則圓的方程就是 222r y x =+3、圓的標準方程的兩個基本要素:圓心坐標和半徑圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小,從而確定了圓,所以

3、,只要 r b a , , 三個量確定了且 r >0,圓 的方程就給定了。這就是說要確定圓的方程,必須具備三個獨立的條件,確定 r b a , , ,可以根據(jù)條件,利用 待定系數(shù)法來解決三、講解范例:例 1 求以 C(1,3為圓心,并且和直線 0743=-y x 相切的圓的方程 解:已知圓心坐標 C(1,3,故只要求出圓的半徑,就能寫出圓的標準方程。 因為圓 C 和直線 0743=-y x 相切,所以半徑 r 就等于圓心 C 到這條直線的距離,根據(jù)點到直線的距離公式,得 5164(3|73413|22=-+- -=r 因此,所求的圓的方程是 25256 3( 1(22=-+-y x變式:

4、求以 C(1,3為圓心,且和直線 0643=-y x 截得的弦長為 8的圓的方程。(注 :在求圓的方程時,要注意運用圓的幾何意義,使問題解決簡化例 2已知圓的方程 222r y x =+,求經(jīng)過圓上一點 , (00y x M 的切線方程 分析:此題關鍵是求切線的斜率,為此須分兩種情形討論。 解:如圖,設切線的斜率為 k ,半徑 OM 的斜率為 1k , 因為圓的切線垂直于過切點的半徑,于是 11k k -= 001x y k = 00y x k -= 經(jīng)過點 M 的切線方程是 (0000x x y xy y -=-,整理得 202000y x y y x x +=+因為點 , (00y x M

5、 在圓上,所以 22020r y x =+,所求切線方程是 200r y y x x =+2點評:1、 “待定系數(shù)法” :即設出圓的切線方程,將其代入到圓的方程,得到一個關于 x 或 y 的一元二次方程,利用判別式進行求解。但此法不如用幾何方法簡練實用。幾何方法:利用圓心到直線的距離等于半徑 (本題利用了圓心到切點 的距離為半徑的知識 ,由此確定了斜率的,從而得到點斜式的切線方程。以上兩種方法只能求出存在斜率的切線,若斜率 不存在,則要結合圖形配補。2、若圓的方程是:222(r b y a x =-+-, , (00y x M 是圓上一點,則過 M 的切線方程是:200r y y x x =+

6、。例 3.求過點 (3,1M ,且與圓 22(1 4x y -+=相切的直線 l 的方程 .解一:(待定系數(shù)法 設切線方程為 1(3 y k x -=-,即 310kx y k -+=, 圓心 (1,0到切線 l 的距離等于半徑 2, 2=,解得 34k =-,切線方程為 31(3 4y x -=-,即 34130x y +-=, 當過點 M 的直線的斜率不存在時,其方程為 3x =,圓心 (1,0到此直線的距離等于半徑解二:利用切線方程公式,關鍵是求出切點坐標。例 4. 一圓過原點 O 和點 (1,3 P ,圓心在直線 2y x =+上,求此圓的方程。 (學生思考、探索不同解法 解法一:(待

7、定系數(shù)法圓心在直線 2y x =+上, 設圓心坐標為 (, 2 a a +, 則圓的方程為 222( (2 x a y a r -+-=, 點 (0,0O 和 (1,3P 在圓上, 222222(0 (02 (1 (32 a a r a a r-+-=-+-=,解得 214258a r =-=,所以,所求的圓的方程為 221725( ( 448x y +-=.解法二:(定義法由題意:圓的弦 OP 的斜率為 3,中點坐標為 13(, 22,弦 OP 的垂直平分線方程為 311( 232y x -=-,即 350x y +-=, 圓心在直線 2y x =+上,且圓心在弦 OP 的垂直平分線上,由

8、2350y x x y =+-=解得 1474x y =-=,即圓心坐標為 C 17(, 44-, 又圓的半徑 |r OC =所以,所求的圓的方程為 221725( ( 448x y +-=.例 5. 已知一圓與 y 軸相切,在直線 y x =上截得的弦 AB 長為 30x y -=上,求此圓的方程 .解:圓心在直線 30x y -=上,設圓的方程為 222(3 ( x a y a r -+-=, 圓與 y 軸相切, 3|r a =, 又圓心到弦 AB |a = , 222|(3|a a +=, 1a =±, 3r =,3所以,所求的圓方程為 22(3 (1 9x y -+-=或 2

9、2(3 (1 9x y +=. 說明:(1求圓的方程,常用待定系數(shù)法,要注意用部分條件設方程(少設未知數(shù) ,再用其余的條件求待定的系數(shù);四、課堂練習 :P77 T1、 2、 3、 42、已知圓 2522=+y x ,求:(1過點 A (4, -3的切線方程 (2過點 B (-5, 2的切線方程分析:求過一點的切線方程,當斜率存在時可設為點斜式,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列出 方程,求出斜率 k 的值,斜率不存在時,結合圖形驗證;當然若過圓上一點的切線方程,可利用公式200r y y x x =+求得解:(1點 A (4, -3在圓 2522=+y x 上 過點 A 的切線方程為:0253

10、4=-y x(2點 B (-5, 2不在圓 2522=+y x 上,當過點 B (-5, 2的切線的斜率存在時,設所求切線 方程為 5(2+=-x k y ,即 025=+-k y kx 由5122=+k k ,得 2021=k 01452021=+-y x 當過點 B (-5, 2的切線斜率不存在時,結合圖形可知 x =-5,也是切線方程 綜上所述,所求切線方程為:01452021=+-y x 或 x =-5五、小結 :1.圓的標準方程的概念及推導; 2.如何求圓的標準方程:待定系數(shù)法、定義法 3.求圓的切 線方程的常用方法:公式法、待定系數(shù)法。圓的方程(圓的一般方程 教學目標:1. 掌握圓

11、的一般方程,知道它的特點;2. 能將圓的一般方程化為圓的標準方程,從而求出圓心坐標和半徑; 3. 能用待定系數(shù)法由已知條件求出圓的方程.教學過程:(一復習:1、寫出圓的標準方程? 222將上述標準方程展開,整理,得 22222220x y ax by a b r +-+-=, 將配方得:22224( ( 224D E D E Fx y +-+=. 把方程和圓的標準方程進行比較,可以看出:(1當 224 0D E F +->時,方程表示以 (, 22D E - (2當 2240D E F +-=時,方程表示一個點 (, 22D E -;(3當 2240D E F +-<時,方程不表示

12、任何圖形.結論:當 2240D E F +->時,方程表示一個圓,此時,我們把方程叫做 圓的一般方程.2.圓的一般方程形式上的特點:(1 2x 和 2y 的系數(shù)相同,且不等于 0; (2沒有 xy 這樣的二次項.以上兩點是二元二次方程 220Ax Bxy Cy Dx Ey F +=表示圓的必要條件,但不是充分條件 .充要條 件是? (A=C0, B=0, 0422>-+FA E D 4說明:1、要求圓的一般方程,只要用待定系數(shù)法求出三個系數(shù) D 、 E 、 F 就可以了.2、圓的一般方程與圓的標準方程各有什么優(yōu)點?(圓的標準方程:有利于作圖。一般方程:有利于判別二 元二次方程是不是

13、圓的方程 (三例題分析:例 1.求過三點 (0,0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M 的圓的方程,并求這個圓的半徑和圓心坐標. 解:設所求的圓方程為 220x y Dx Ey F +=, (0,0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M 在圓上, 0, 20, 42200. F D E F D E F =+=+=解得 860D E F =-=, 所求的圓方程為 22860x y x y +-+=,圓心坐標為 (4,3 - ,半徑為 5r =. 注意:由于所求的圓過原點,可設原的方程為 220x y Dx Ey +=;本題也可以換一種說法:已知 12OM M 中,三個頂點的坐標分別 (0,

14、0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M ,求 21M OM 的外接圓的方程.例 2. 已知一曲線是與兩個定點 (0,0O 、 (3,0A 距離的比為 12的點的軌跡, 求此曲線的方程, 并畫出曲線. 解:設 (, M x y 是曲線上任意一點,由題意:|1|2MO MA =, 12=,化簡得 22230x y x +-=, 這就是所求的曲線方程 .把方程配方得:22(1 4x y +=,所以方程的曲線是以 (1,0 -為圓心, 2為半徑的圓. (作圖 注意:本題也可以一般化已知一曲線是與兩個定點 A 、 B 距離的比為 (0 >的點的軌跡,求此曲線的方程,并畫出曲線.提示:以直線 A

15、B 為 x 軸,線段 AB 的中垂線為 y 軸,建立直角坐標系,設 (20AB a a =>,則可以 按照上例的方法求解?？傻?(2222222112110x ya x a -+-+-=要注意討論 對曲線的形狀的影響.例 3. 已知圓 2280x y x y m +-+=與直線 260x y +-=相交于 P 、 Q 兩點, 定點 (1,1R , 若 PR Q R ,求實數(shù) m 的值.解:設 11(, P x y 、 22(, Q x y ,由 2280260x y x y m x y +-+=+-=,消去 y 得:254600x m +-=, 由題意:方程有兩個不等的實數(shù)根, 6040

16、m ->, 15m <,由韋答定理:121204125x x x x m +=-, PR QR , 1PR QR k k =-, 121211111y y x x -=-,即 1212(1(1 (1(1 0x x y y -+-=,即 12121212( ( 20x x x x y y y y -+-+=, 5(3(3 9( 922244x x x x x x y y x x =-=-+=+, 126y y +=,代入得:125504x x +=,即 54(12 5045m -+=, 10m =,適合 15m <,所以,實數(shù) m 的值為 10.圓的方程(圓的參數(shù)方程教學目標:

17、1. 理解圓的參數(shù)方程,能熟練求出圓心在原點、半徑為 r 的圓的參數(shù)方程;2. 理解參數(shù) 的意義;3. 理解圓心不在原點的圓的參數(shù)方程,能根據(jù)圓心坐標和半徑熟練地求出圓的參數(shù)方程; 4. 能進行圓的一般方程和圓的參數(shù)方程的互化,并能用之解題 .教學過程:(一復習:1、圓的標準方程和一般方程.2、 P (x,y 是圖形 F 上的任意一點,它在平移后圖形 F 上的對應點為 P (x ,y , 平移向量為(h,k =. 則平移 公式是?(1設圓 O 的圓心在原點,半徑是 r ,圓 O 與 x 軸的正半軸的交點是 0P , 設點在圓 O 上從 0P 開始按逆時針方向運動到達點 P , 0POP =,則

18、 點 P 的位置與旋轉角 有密切的關系: 當 確定時, 點 P 在圓上的位置也隨著確定; 當 變化時, 點 P 在圓上的位置也隨著變化. 這說明, 點 P 的坐標隨著 的變化而變化. 設 點 P 的坐標是 (, x y ,你能否將 x 、 y 分別表示成以 為自變量的函數(shù)?根據(jù)三角函數(shù)的定義, cos sin x r y r =, 顯然,對于 的每一個允許值,由方程組所確定的 點 (, P x y 都在圓 O 上。我們把方程組叫做圓心為原點、半徑為 r 的 圓的參數(shù)方程 , 是參數(shù). (2圓心為 1(, O a b ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是怎樣的?圓 1O 可以看成由圓 O 按向量 (,

19、 v a b =平移得到的(如圖, 由 11O P OP = 可以得到圓心為 1(, Oa b , 半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是 cos sin x a r y b r =+=+ (為參數(shù)在取定的坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標 x 、 y都是某個變數(shù) t 的函數(shù),即 (x f t y g t =并且對于 t 的每一個允許值,方程組所確定的點 (, M x y 都在這條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系 x 、 y 之間關系的變數(shù)叫做 參變數(shù),簡稱參數(shù).xy0Px(, P x yy相對于參數(shù)方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標 x 、 y 關系的方程，叫做曲線的普通方程

20、普通方程 普通方程 將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，可得到曲線的普通方程。參數(shù)方程和普通方程可以互化 2 2 2 如：將圓的參數(shù)方程的參數(shù) 消去，就得到圓的普通方程 ( x a + ( y b = r （三）例題分析： 例 1把下列參數(shù)方程化為普通方程： 2 x = 1+ t 2 x = a (t + 1 x = 2 + 3cos 2 t （1） （ 為參數(shù)）（2） （ t 為參數(shù)）（3） （t 為參數(shù)） b 1 2t y = 2 (t t y = 3+ 2sin y = 1+ t 2 x2 3 = cos ， (1 解：（1）(利用同角公式化簡 利用同角公式化簡 ， 利用同角公式化簡 y 3

21、= sin ， (2 2 2 ( x 2 ( y 3 2 由 (1 2 + (2 2 得 + = 1 ，這就是所求的普通方程 9 4 y y 2 2 （2）（整體代入消元 整體代入消元）由原方程組得 = t ，把 t = 代入 x = 得x = ， 整體代入消元 2 y 2 x x 1+ t 1+ ( x 2 2 化簡得： x + y 2 x = 0 （ x 0 ），這就是所求的普通方程 （3）平方后加減消元 平方后加減消元 說明：1、 說明： 、將參數(shù)方程和普通方程的互化，要注意參數(shù)的取值范圍與 x 、 y 的取值范圍之間的制約關系，保 持等價性2、注意消參的方法，及參數(shù)的幾何性質。 例 2

22、如圖，已知點 P 是圓 x 2 + y 2 = 16 上的一個動點，定點 A (12, 0 ，當點 P 在圓上運動時，線段 PA 的 中點 M 的軌跡是什么？ 解：設點 M ( x, y ，圓 x 2 + y 2 = 16 的參數(shù)方程為 x = 4 cos ， y = 4sin 4 cos + 12 x = 2 設點 P (4 cos , 4 sin ，由線段中點坐標公式得 ， y = 4sin 2 y x = 2 cos + 6 P 即點 M 軌跡的參數(shù)方程為 ， y = 2sin 點 M 的軌跡是以點 (6, 0 為圓心、 2 為半徑的圓 【思考】 ：這個問題不用參數(shù)方程怎么解？（相關點法） 又解：設 M ( x, y ， P ( x0 , y0 ， O x x0 + 12 x = 2 x0 = 2 x 12 點 M 是線段 PA 的中點， ， ， y0 = 2 y y = y0 2 2 2 點 P ( x0 , y0 在圓上， x0 + y0 = 16 ， (2 x 12 2 + (2 y 2 = 16 ， 2 2 即點 M 的軌跡方程為 ( x 6 + y = 4 ， 點 M 的軌跡是以點 (6, 0 為圓心、 2 為半徑的圓 6 變式：若 Q 分 PA 的比為 1：2，求 Q 點的軌跡方程。 x = 3 + r cos , 例 3：設圓 （ 為參數(shù)）上有且僅有