二項式定理二項式定理的應(yīng)用教案

1、排列、組合、二項式定理·二項式定理的應(yīng)用·教案教學目標1利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)解決某些關(guān)于組合數(shù)的恒等式的證明；近似計算；求余數(shù)或證明某些整除或余數(shù)的問題等2滲透類比與聯(lián)想的思想方法，能運用這個思想處理問題3培養(yǎng)學生運算能力，分析能力和綜合能力教學重點與難點數(shù)學是一門工具，學數(shù)學的目的就是為了應(yīng)用怎樣建立起要解決的問題與數(shù)學知識之間的聯(lián)系（如一個近似計算問題與二項式定理有沒有聯(lián)系，怎樣聯(lián)系），是這節(jié)課的難點，也是重點所在教學過程設(shè)計師：我們已經(jīng)學習了二項式定理及二項式系數(shù)，請大家用6分時間完成以下三道題：（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多

2、少？（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項（全體學生參加筆試練習）6分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系數(shù)是（1+x）（2）原式=1+（x-x2）6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6其中含x5的項為：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5師：解（1），（2）兩題運用了變換和化歸思想，第（2）題把三項式化為二項式，創(chuàng)造了使用二項式定理的條件第（3）題的解法是根據(jù)恒等式的概念，a，b取任何數(shù)時，等式都成立根據(jù)習題結(jié)構(gòu)特征選擇a，b的取值

3、這種用概念解題的思想經(jīng)常使用下面我們看二項式定理的一些應(yīng)用師：請同學們想一想，例1怎樣解？生甲：從結(jié)構(gòu)上觀察，則與練習的第（3）題有相似之處，只是組合數(shù)的系數(shù)成等比數(shù)列，是否根據(jù)二項式定理令a=1，b=3，即可得到證明師：請同學們根據(jù)生甲所講，寫出證明（找一位同學板演）證明：在（a+b）n的展開式中令a=1，b=3得：師：顯然，適當選取a，b之值是解這一類題的關(guān)鍵，再看練習題練習生乙：這題與例1類比有共同點，仍是組合數(shù)的運算，不同點是缺我考慮如能用二項式定理解，應(yīng)對原題做以下變換：師：分析得很透徹這種敢想、會想精神是每位同學都要培養(yǎng)的首先是敢字，不要一見題目有些生疏就采取放棄態(tài)度；要敢于分析，

4、才能善于分析，將來才敢于創(chuàng)新，善于創(chuàng)新請大家把解題過程寫在筆記本上（教師請一名同學板演）在（ab）6的展開式中令a=1，b=3，得師：解題過程從“在（a+b）6的展開式中令 a=1，b=3”寫起就可以了希望同學們再接再勵，完成下個練習練習師：大家議論一下，這道題能用二項式定理來解嗎？生丙：初步觀察，與上節(jié)課我們學刁的：“在（ab）n的展開式解決我們注意到組合數(shù)代數(shù)和的值為余弦值或正弦值，又注意到正項）或r=4m1（m=0，1，2，），負項出現(xiàn)在r=4m2（m=0，1，2，）或r=4m3（m=0，1，2，），而虛數(shù)單位i有以下性質(zhì)：i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（

5、mZ）于是想在（ab）n的展開式中令a=1，b=i師：分析得有道理，請同學們按生丙同學的意見進行演算（教師找一位同學板演）證明：設(shè)i是虛數(shù)單位，在（ab）n的展開式中令a=1，b=i中得：另一方面，又有由此得到根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，有師：認真分析習題的結(jié)構(gòu)，運用類比與聯(lián)想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思路，下面我們研究二項式定理在數(shù)字計算方面的應(yīng)用例2  計算：1.9975（精確到0.001）生?。哼@道題若用二項式定理計算，必須把1.997看作1+0.997，這樣，1.9975=（1+0.997）5師：計算簡單嗎？生戊：把1.9975化為（2-0.003）5，再展開，由于精確到0.0

6、01，不必各項都計算師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下（教師找一位同學板演）解：1.9975=（2-0.003）5=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003由于|T6|T5|T4|1.08×10-6，則|T4|T5T6|0.000004所以1.997532-0.24+0.000 7231.761師：1996年全國高考有這樣一道應(yīng)用題：（用投影儀示出，老師讀題）某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10如果人口年增長率為1，

7、那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？稍候，教師問：誰想出解法了，請講一講生己：設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃，耕地平均每年至多只能減少x公頃十年后耕地畝數(shù)：104-10x，十年后總產(chǎn)量：M×（1+22）（104-10x）十年后人口：P×（11）10，依題意可以得到不等式師：實際計算時，會遇到（10.01）10的計算問題，請全體同學在筆記本上迅速計算出來（教師請一同學板演）師：真迅速??！請同學們課下把這道高考題完成（答案：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃）現(xiàn)在，我們再討論一個新的問題例3  如果今天是星期一，那么對于任意自然

8、數(shù)n，經(jīng)過23n+37n5天后的那一天是星期幾？生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)n，23n+3+7n5被7除的余數(shù)受近似計算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（71）n+1，這樣可以運用數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了師：請同學們在筆記本上完成此題的解答（教師請一名同學板演）解：由于23n+37n5=8n+17n5=（71）n+17n+5則  23n+37n5被7除所得余數(shù)為6所以對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+37n5后的一天是星期日師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學生到黑板

9、板演）解：7777-1=（76+1）77由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除師：請生辛談?wù)勊鯓酉氲竭@個解法的？生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決如果把7777改成（1958）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除得到了以上的解法師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理下面我們解一些綜合運用的習題例4  求證：3n2n-1（n2）（nN，

10、且n2）師：仍然由同學先談?wù)勛约旱南敕ㄉ桑何矣X得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成21注意到：  2n+n·2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）；  n2，右式至少三項；這樣，可以得到3n2n-1（n2）（nN，且n2）生癸：根據(jù)題設(shè)條件有nN，且n2用數(shù)學歸納法應(yīng)當可以證明師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生×同學從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學從題設(shè)條件nN考慮，想到數(shù)學歸納法大家要養(yǎng)成習慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面用二項式定理證明

11、，生×同學已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請同學們在筆記本上完成數(shù)學歸納法的證明（教師請一名同學板演）證明：當n=2時，左式=32=9，右式=22-1（22）=2×4=8，顯然98故不等式成立假設(shè)n=k（kN且k2）時，不等式成立，即3k2k-1（k2），則當n=k1時，由于  左式=3k+1=3·3k3·2k-1（k2）=3k·2k-13·2k右式=2(k+1)-1（k1）2=2k（k3）=k·2k3·2k，則  左式-右式=（3k·2k-13·2k）-

12、（k·2k3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-10所以  左式有式故當n=k1時，不等式也成立由，不等式對n2，nN都成立師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題：設(shè)nN且n1，求證：（證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2，an，總有（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學板演第（2）小題）師：哪位同學談一談此題應(yīng)怎樣分析？生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應(yīng)把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1因此得到證明第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系根據(jù)題目給出的公式要師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握本節(jié)課討論了二項式定理主要應(yīng)用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的計算以及與其他數(shù)學知識的綜合應(yīng)用當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項式定理認真分析習題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學們的重視作業(yè)1課本習題：P253習題三十一：6，7，10；2課本習題：P256復(fù)習參考題九：15（2）3補充題：課堂教學設(shè)計