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1、中考數(shù)學(xué)中的最值計算問題在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題,我們稱之為“最值問題”。多年來,全國各市地初三畢業(yè)、升學(xué)考數(shù)學(xué)試題中屢屢出現(xiàn)求最值問題。雖然同學(xué)們熟悉這個概念,但一些學(xué)生解題時都感到束手無策。一、有關(guān)函數(shù)方面的最值問題在初中階段,我們要求掌握的有4種不同的函數(shù)類型。要掌握和它們有關(guān)的最值問題,必先要對它們有所必要的了解。完成下面的表格:函數(shù)類型(一般式)大 致 圖 象函數(shù)增減性正比例函數(shù)_一次函數(shù)_反比例函數(shù)_二次函數(shù)_其對稱軸:_二次函數(shù)的最值問題:想一想:函數(shù)的增減性與函數(shù)的圖象有必然的聯(lián)系:函數(shù)遞增,則函數(shù)的圖象斜向_;函數(shù)遞減,則函數(shù)的圖象斜向_。反之亦然。(數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)
2、思想。)例1、已知正比例函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的取值范圍是_, 即函數(shù)有最大值_,最小值_。例2、已知一次函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的取值范圍是_,即函數(shù)有最大值_,最小值_。例3、已知反比例函數(shù)。(1)當(dāng)時,則函數(shù)有最大值_,最小值_;(2)當(dāng)或時,則函數(shù)有最大值_,最小值_。例4、已知二次函數(shù)。(1)用五點法在右邊的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出草圖,并指出對稱軸是直線_;(2)當(dāng)_時,則函數(shù)有最_值_;(3)當(dāng)時,則函數(shù)有最大值_,則函數(shù)有最小值_;(4)當(dāng)時,則函數(shù)有最大值_,最小值_。例5、(1)函數(shù)的最_值是_;(2)函數(shù)的最_值是_。(3)函數(shù)的最大值是_,最小值是_。例6、電視臺為某個廣告公司特約播放甲、乙
3、兩部連續(xù)劇。經(jīng)調(diào)查,播放甲連續(xù)劇平均每集有收視觀眾20萬人次,播放乙連續(xù)劇平均每集有收視觀眾15萬人次,公司要求電視臺每周共播放7集。(1)設(shè)一周內(nèi)甲連續(xù)劇播集,甲、乙兩部連續(xù)劇的收視觀眾的人次的總和為萬人次,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)電視臺每周只能為該公司提供不超過300min的播放時間,并且播放甲連續(xù)劇每集50min,播放乙連續(xù)劇每集35min,請你用所學(xué)知識求電視臺每周應(yīng)播放甲、乙兩部連續(xù)劇各多少集,才能使得每周收看甲、乙連續(xù)劇的觀眾的人次總和最大?并求出這個最大值。例7、有一種梭子蟹,從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能存活兩天,如果放養(yǎng)在塘內(nèi),可以延長存活時間,但每天也有一定數(shù)量的蟹死去,假設(shè)
4、放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變?,F(xiàn)有一經(jīng)銷商,按市場價收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi),此時市場價為每千克30元。據(jù)測算,此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元,但是放養(yǎng)一天需各種費用支出400元,且平均每天還有10千克蟹死去,假定死蟹均于當(dāng)天售出,售價都是每千克20元。設(shè)天后每千克活蟹的市場價為P元,寫出P關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;如果放養(yǎng)天后將活蟹一次性出售,并記1000千克蟹的銷售總額為Q元,寫出Q關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售可獲最大利潤(利潤銷售總額收購成本費用)?最大利潤是多少?練1:某藥制品車間現(xiàn)有A種藥劑70g,B種藥劑52g。計劃用這兩種藥劑合成M、N兩種規(guī)格
5、的藥品共80套。已知合成一套M型藥品需要A種藥劑0.6g,B種藥劑0.9g,可獲利45元;合成一套N型藥品需要A種藥劑1.1g,B種藥劑0.4g,可獲利50元。若設(shè)合成N型藥品套數(shù)為,用這批藥劑合成兩種型號的藥品所獲的總利潤為元。(1)求(元)關(guān)于(套)的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍;(2)藥制品車間合成這批藥品,配制N型藥品多少套時,所獲利潤最大?最大利潤是多少?練2:在直徑為AB的半圓內(nèi),劃出一塊三角形區(qū)域,使三角形的一邊為AB,頂點C在半圓上,其它兩邊分別為6和8,現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在AB上,如圖的設(shè)計方案是使AC8,BC6。(1)求ABC中AB
6、邊上的高;(2)設(shè)DN,當(dāng)取何值時,水池DEFN的面積最大?二、有關(guān)兩點之間線段最短的最值問題定理:在同一平面內(nèi),_之間線段最短。例1、如圖,在某個牧場A附近有個草場B,它們的旁邊有一條小河。在這片土地上放養(yǎng)著一群牛。飼養(yǎng)員每天早上把牛從牧場趕到草場吃草,每天傍晚又把牛從草場趕回牧場休息。傍晚把牛趕回來時,飼養(yǎng)員每次都會讓牛先去小河邊喝水。請你設(shè)計一條把牛趕回來時的路線畫在圖上,要求路線最短。(保留作圖痕跡)如果A、B兩點到直線的射影分別為M、N,且AM100米,BNMN300米,求這條路線的長。練1、如圖,菱形ABCD中,AB2,BAD60°,E是AB的中點,P是對角線AC上的一個
7、動點,則PEPB的最小值是_。如圖,在ABC中,點A、B、C的坐標(biāo)分別為(,0)、(0,1)和(3,2),則當(dāng)ABC的周長最小時,的值為_。例2、如圖,如果一只螞蟻從棱長為1的正方體ABCD-ABCD的點A爬到點C,問至少要爬多少的路程?如圖,如果一只螞蟻從底面半徑為1,高為2的圓柱的底部B點爬到棱CD的中點P,問至少要爬多少的路程?(結(jié)果保留)MA練2、如圖,已知一圓錐的半徑為3cm,高為cm。如果一只螞蟻從圓錐的底端A點爬到另一側(cè)母線的中點M,問至少要爬多少的路程?三、有關(guān)圓內(nèi)以弦為底的三角形的最大面積問題例1、在O中,AB是O的弦,點P在O上。在O畫出點P,要求使PAB的面積最大。若O的
8、半徑為,且AB4,求出PAB的面積。例2、已知:AB是O中一條長為4的弦,P是O上一動點,cosAPB。問是否存在A、P、B 為頂點的面積最大的三角形,試說明理由;若存在,求出這個三角形的面積?!咎岣哂?xùn)練】1、如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(2,3),B(4,1)。(1)若P(,0)是軸上的一個動點,則當(dāng)_時,PAB的周長最短;(2)若C(,0),D(,0)是軸上的兩個動點,則當(dāng)_時,四邊形ABDC的周長最短;ABxyO(1)ABxyO(2)ABxyO(3)(3)設(shè)M,N分別為軸和軸上的動點,請問:是否存在這樣的點M(,0),N(0,),使四邊形ABMN的周長最短?若存在,請寫出和的值;若不存在,請說明理由。2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,點C的坐標(biāo)為(4,0),AOC60°,垂直于軸的直線從軸出發(fā),沿軸正方向以每秒1個單
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