人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱13．3等腰三角形 導(dǎo)學(xué)案

1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱133等腰三角形 導(dǎo)學(xué)案133.1等腰三角形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)2.運(yùn)用等腰三角形的概念及性質(zhì)解決相關(guān)問題情景導(dǎo)入1.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片按圖中的虛線對(duì)折，剪下陰影部分，再把它展開，得到ABC，則ABAC，所以ABC是等腰三角形2把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD對(duì)折，找出其中重合的線段和角，填入下表：重合的線段重合的角AC與ABCAD與BADCD與BDC與BAD與ADADC與ADB猜想：等腰三角形除了兩腰相等以外，你還能發(fā)現(xiàn)它的其他性質(zhì)嗎？等腰三角形的兩個(gè)底角相等如圖，在ABC中，ABAC.求證：B

2、C.證明：作頂角的平分線AD，則有12.在BAD和CAD中，BADCAD(SAS)BC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)你還有其他的方法嗎？第二種方法：作ABC的高線AD垂直底邊BC于點(diǎn)D.第三種方法：作ABC的中線AD交底邊BC于點(diǎn)D.你能用一句話來敘述這個(gè)結(jié)論嗎？等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)符號(hào)語(yǔ)言：在ABC中，ABAC，BC.通過以上的證明，我們還可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)如圖，在ABC中，ABAC，AD平分BAC.求證：BDCD，ADBC.證明：在BAD和CAD中，BADCA

3、D(SAS)BDCD，ADBADC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又ADBADC180°，ADBADC90°，即ADBC.例題講解類型1等邊對(duì)等角例1如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D在AC上，且BDBCAD.求ABC各角的度數(shù)解：ABAC，BDBCAD，ABCCBDC，AABD(等邊對(duì)等角)設(shè)Ax，則BDCAABD2x，從而ABCCBDC2x.于是在ABC中，有AABCCx2x2x180°.解得x36°.在ABC中，A36°，ABCC72°.【跟蹤訓(xùn)練1】等腰三角形的一個(gè)角是50°，則它的底角是(C)A50°B65

4、76;C50°或65°D50°或80°【跟蹤訓(xùn)練2】如圖，在ABC中，ACDCDB，ACD100°，求B的度數(shù)解：ACDC，AADC.又ACD100°，AADC(180°100°)÷240°.DCDB，DCBB.ADCBDCB2B40°.B20°.類型2三線合一例2如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AEAF.求證：DEDF.證明：連接AD.ABAC，D是BC的中點(diǎn)，EADFAD.在AED和AFD中，AEDAFD(SAS)DEDF.【跟

5、蹤訓(xùn)練3】如圖，在ABC中，ABAC，D是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是(D)A.BCB.ADBCC.AD平分BACD.AB2BD【跟蹤訓(xùn)練4】如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，BEAC于點(diǎn)E.求證：CBEBAD.證明：ABAC，ABDC.又AD是BC邊上的中線，ADBC.BEAC于點(diǎn)E，BECADB90°.CCBEABDBAD90°.CBEBAD.鞏固訓(xùn)練1.如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，B40°，則BAD(C)A100° B80° C50° D40°2.如圖，在ABC中，ABAC，D為BC上

6、一點(diǎn)，且DADC，BDBA，則B的大小為(B)A40° B36° C30° D25°3如圖，在ABC中，ABAC，C72°，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則BEC的度數(shù)為72°4.如圖，在ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，BEAC.(1)求證：ADBC；(2)若BAC75°，求B的度數(shù)解：(1)證明：連接AE.EF垂直平分AB，AEBE.BEAC，AEAC.D是EC的中點(diǎn)，ADBC.(2)設(shè)Bx.AEBE，BAEBx.AEC2x.AEAC，CAEC2x.在ABC中

7、，3x75°180°，解得x35°.B35°.課堂小結(jié)第2課時(shí)等腰三角形的判定教學(xué)目標(biāo)1.掌握等腰三角形的判定方法2.利用等腰三角形的判定方法證明相關(guān)問題，會(huì)以尺規(guī)作圖作等腰三角形情景導(dǎo)入思考：我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等反過來，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？猜想：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等如圖，在ABC中，BC.求證：ABAC.證明：作BAC的平分線AD，則有12.在BAD和CAD中，BADCAD(AAS)ABAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)你還有其他的方法嗎？第二種方法

8、：作ABC的高線AD垂直底邊BC于點(diǎn)D.第三種方法：作ABC的中線AD交底邊BC于點(diǎn)D.由上面的證明，我們可以得到等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”)注意：“等角對(duì)等邊”的前提是一個(gè)三角形符號(hào)語(yǔ)言：在ABC中，BC，ABAC.等腰三角形的性質(zhì)與判定有區(qū)別嗎？性質(zhì)：等邊等角；判定：等角等邊例題講解類型1等邊對(duì)等角例1求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形如圖，CAE是ABC的外角，12，ADBC.求證：ABAC.【點(diǎn)撥】要證明ABAC，可先證明BC.因?yàn)?2，所以可以設(shè)法找出B，C與1，2的關(guān)

9、系證明：ADBC，1B(兩直線平行，同位角相等)2C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)12，BC.ABAC(等角對(duì)等邊)【跟蹤訓(xùn)練1】在ABC中，A和B的度數(shù)如下，能判定ABC是等腰三角形的是(B)A.A50°，B70° B.A70°，B40°C.A30°，B90° D.A80°，B60°【跟蹤訓(xùn)練2】如圖，已知OC是AOB的平分線，DCOB，那么DOC一定是等腰三角形(按邊分類填)【跟蹤訓(xùn)練3】如圖，ADBC，ACBD，求證：EAB是等腰三角形證明：在ADB和BCA中，ADBBCA(SSS)DBACAB.AEBE.EAB

10、是等腰三角形類型2作等腰三角形例2已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高的長(zhǎng)為h，求作這個(gè)等腰三角形解：作法：(1)作線段ABa.(2)作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點(diǎn)D.(3)在MN上取一點(diǎn)C，使DCh.(4)連接AC，BC，則ABC就是所求作的等腰三角形【跟蹤訓(xùn)練4】如圖，在ABC中，A80°，B40°，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖法作一條直線把如圖所示的ABC分成兩個(gè)等腰三角形，并通過計(jì)算說明你的分法的合理性解：作BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，則直線CD把ABC分成了兩個(gè)等腰三角形證明：MN垂直平分BC，DCDB.DCBB40°.BCD是等腰三角形A

11、DCDCBB80°.A80°，AADC.ACD是等腰三角形直線CD把ABC分成兩個(gè)等腰三角形鞏固訓(xùn)練1.如圖，在ABC中，ABAC，BO，CO分別為ABC和ACB的平分線且相交于點(diǎn)O，過O作DEBC交AB，AC于點(diǎn)D，E，圖中的等腰三角形有(D)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)2.如圖，在ABC中，ABAC，D，E兩點(diǎn)分別在AC，BC上，BD是ABC的平分線，DEAB.若BE5 cm，CE3 cm，則CDE的周長(zhǎng)是(B)A.15cm B.13 cm C.11 cm D.9 cm3.如圖，在RtABC中，ACB90°，D為AB上的點(diǎn)，BDCD5，則AD54.如

12、圖，銳角ABC的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OBOC.(1)試說明：ABC是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)O是否在BAC的平分線上，并說明理由解：(1)證明：OBOC，OBCOCB.銳角ABC的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，BECCDB90°.BECBCEABCCDBDBCACB180°，180°BECBCE180°CDBCBD.ABCACB.ABAC.ABC是等腰三角形(2)點(diǎn)O在BAC的平分線上理由：連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，在AOB和AOC中，AOBAOC(SSS)BAFCAF.點(diǎn)O在BAC的平分線上課堂小結(jié)名稱圖形概念性質(zhì)與邊角關(guān)系判定等腰三角形有兩

13、邊相等的三角形是等腰三角形1.兩腰相等1.兩邊相等2.等邊對(duì)等角2.等角對(duì)等邊3.三線合一4.軸對(duì)稱圖形注意：應(yīng)用“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”時(shí)要在同一個(gè)三角形中.13.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定教學(xué)目標(biāo)1.了解等邊三角形是特殊的等腰三角形2.理解等邊三角形的性質(zhì)與判定情景導(dǎo)入定義類比：等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，這時(shí)三角形三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形思考1：把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？性質(zhì)類比：圖形等腰三角形等邊三角形性質(zhì)兩條邊相等三條邊都相等兩個(gè)底角相等三個(gè)角都相等，且都是60°底邊上的中線、高

14、和頂角的平分線相互重合每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線相互重合對(duì)稱軸(1條)對(duì)稱軸(3條)思考2：一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足什么條件才是等邊三角形？判定類比：圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形例題講解類型1等邊三角形的性質(zhì)例1如圖，等邊ABC中，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AEDC，求證：ADBE.證明：在等邊ABC中，ABCA，BACACB60°，EABDCA120°

15、;.在EAB和DCA中，EABDCA(SAS)，ADBE.【跟蹤訓(xùn)練1】如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AEAD，則EDC的度數(shù)為(D)A30° B25° C20° D15°【跟蹤訓(xùn)練2】如圖，等邊三角形ABC中，BD平分ABC，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CECD，求證：DBDE.證明：ABC是等邊三角形，BD平分ABC，BCA60°，DBC30°.CDCE，CDEE.BCACDEE2E60°.E30°.DBCE30°.DBDE.類型2等邊三角形的判定例2如圖，ABC是等邊三角形，DEBC，分別交AB和A

16、C于點(diǎn)D，E.求證：ADE是等邊三角形證明：ABC是等邊三角形，ABC.DEBC，ADEB，AEDC.AADEAED.ADE是等邊三角形想一想：本題還有其他證法嗎？【跟蹤訓(xùn)練3】下面給出的幾種三角形，其中不一定是等邊三角形的是(B)A.有兩個(gè)角為60°的三角形B.一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形C.三個(gè)外角都相等的三角形D.有一個(gè)角為60°的等腰三角形【跟蹤訓(xùn)練4】如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，若OAOB，A60°，且ABCD，求證：OCD是等邊三角形證明：OAOB，AB60°.又ABDC，AC60°，BD60°.OCD是等邊三角

17、形鞏固訓(xùn)練1.如圖，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，ADBC，E為AD上一點(diǎn)，ABC60°，ECD40°，則ABE的度數(shù)為(C)A10° B15° C20° D25°2.如圖，在等邊ABC中，AB2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DEAB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFDE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則圖中長(zhǎng)度為1的線段有(D)A.3條 B.4條 C.5條 D.6條3.如圖，ABAC8 cm，DBDC.若ABC60°，則BE4cm.4如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是等邊ABC的三條邊AB，BC，CA上的點(diǎn)(1)如圖1，若ADBECF，求證：DEF是等邊三角形

18、；(2)如圖2，若DEF是等邊三角形，求證：ADBECF.證明：(1)ABC是等邊三角形，ABC60°，ABBCCA.ADBECF，BDECAF.在ADF和BED中，ADFBED(SAS)DFED.同理可證ADFCFE.DFFE.DFFEED.DEF是等邊三角形(2)ABC，DEF是等邊三角形，AB60°，DFDE，且FDE60°.BDEADFADFAFD120°.AFDBDE.在ADF和BED中，ADFBED(AAS)ADBE.同理可證ADFCFE，ADCF.ADBECF.課堂小結(jié)等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定等邊三角形的三條邊都相等三邊相等的三角形

19、是等邊三角形等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形各邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線相互重合有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)2.理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明情景導(dǎo)入活動(dòng)：用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎樣的三角形？能拼出等邊三角形嗎？如圖1，ABD就是等邊三角形思考：你能借助這個(gè)圖形，找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？ADC是ABC

20、的軸對(duì)稱圖形，因此ABAD，BAD2×30°60°，從而ABD是一個(gè)等邊三角形再由ACBD，可得BCCDAB.于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半符號(hào)語(yǔ)言：在RtABC中，C90°，A30°，BCAB.你還能用其他方法證明嗎？方法二：在ABC內(nèi)部作ACDA30°，交AB于點(diǎn)D.方法三：在BA上截取BEBC，連接EC.例題講解例如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB7.4 m，A30°.立柱BC，DE要多長(zhǎng)解：DEAC，BCAC，A30°，BCAB，DEAD.BC×7.43.7(m)又ADAB，DEAD×3.71.85(m)答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7 m，DE的長(zhǎng)是1.85 m.【跟蹤訓(xùn)練1】如圖，在RtABC中，C90°，A30&