第五章留數(shù)及其應(yīng)用

1、第五章 留數(shù)及其應(yīng)用5.1 基本要求與內(nèi)容提要5.1.1 基本要求1. 正確理解孤立奇點(diǎn)的概念與孤立奇點(diǎn)的分類2. 正確理解函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念.3. 掌握并能應(yīng)用留數(shù)定理4. 掌握留數(shù)的計(jì)算法，特別是極點(diǎn)處留數(shù)的求法5. 掌握用留數(shù)求圍道上積分的方法，會(huì)用留數(shù)求一些實(shí)積分5.1.2 內(nèi)容提要 留數(shù)定理是復(fù)積分和復(fù)級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物.1. 孤立奇點(diǎn)（1） 孤立奇點(diǎn)的分類定義5.1：處不解析，但在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)處處解析，則稱為的孤立奇點(diǎn). 我們可根據(jù)洛朗級(jí)數(shù)展開式中主要部分的系數(shù)取零值的不同情況，將函數(shù)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類. 1.可去奇點(diǎn) 若對(duì)一切有則稱是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，或者說(shuō)在有可去奇點(diǎn)

2、.這是因?yàn)榱?，就得到在整個(gè)圓盤內(nèi)解析的函數(shù).2.極點(diǎn) 如果只有有限個(gè)（至少一個(gè)）整數(shù)，使得，那么我們說(shuō)是函數(shù)的極點(diǎn).設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，；而當(dāng)時(shí)，.那么我們就說(shuō)是的m階極點(diǎn).稱1階極點(diǎn)為簡(jiǎn)單極點(diǎn).3.本性奇點(diǎn) 如果有無(wú)限個(gè)整數(shù)，使得，呢們我們說(shuō)是的本性奇點(diǎn).下述幾個(gè)定理將從函數(shù)的性態(tài)來(lái)刻畫各類奇點(diǎn)的特征.定理5.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析.那么是的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是：存在極限，其中是一復(fù)常數(shù).由極限的性質(zhì)還可推出定理：定理 設(shè)是的一孤立奇點(diǎn)，則是的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是在的一個(gè)鄰域內(nèi)為有界.由極點(diǎn)定義易知是的m階極點(diǎn)的充要條件是： ， （5.1） 其中在處解析且. 由（5.1）可以證明：定理5.2

3、 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，那么是 的極點(diǎn)的充分必要條件是是的m 階極點(diǎn)的充分必要條件是：，在這里m是一正整數(shù)，是一個(gè)不等于0的復(fù)常數(shù).定理5.1及定理5.2的充要條件可以分別說(shuō)是存在有限或無(wú)窮的極限.結(jié)合這兩定理，我們有：定理5.3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析。那么是 的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是：不存在有限或無(wú)窮的極限.（2） 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義5.2 若在處解析，且，m為某一正整數(shù)，那么稱是 的m階零點(diǎn).定理5.4 若在解析，那么為的m階零點(diǎn)的充要條件是 （5.2） 順便指出，由于中的在解析，且，因而它在的鄰域內(nèi)不為0，所以在的去心鄰域內(nèi)不為零，只在等于零. 也就是說(shuō)，一個(gè)不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立

4、的。 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)有下面的關(guān)系：定理5.5 如果是的的m階極點(diǎn)，那么就是的m階零點(diǎn)。反之亦然. (3) 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)在考慮解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)放進(jìn)去，這有許多便利.定義5.3 設(shè)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域（相當(dāng)于有限點(diǎn)的去心鄰域）內(nèi)為解析，則無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)就稱為的孤立奇點(diǎn). 在內(nèi)，有洛朗級(jí)數(shù)展開式： （）， （5.3）其中 .利用倒數(shù)變換將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)變?yōu)樽鴺?biāo)原點(diǎn)，這是我們處理無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為孤立奇點(diǎn)的方法.它也具有更廣泛的意義（如在共形映射中也可這樣處理）.下面，我們進(jìn)一步分別根據(jù)是函數(shù)的可去奇點(diǎn)、m階極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)定義是函數(shù)的可去奇點(diǎn)、m階極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).這樣，1 在（5.3）式中，如果

5、當(dāng)時(shí)，那么是函數(shù)的可去奇點(diǎn).2 在（5.3）式中，如果只有有限個(gè)（至少一個(gè)）整數(shù)，使得，那么是函數(shù)的極點(diǎn).設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，；而當(dāng)時(shí)，那么是函數(shù)的（m階）極點(diǎn).3 在（5.3）式中，如果有無(wú)窮個(gè)整數(shù)，使得，那么是函數(shù)的本性奇點(diǎn).結(jié)果與有限點(diǎn)的情形相反，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)，它的分類是以函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域的洛朗展開中正次冪的系數(shù)取零值的多少作為依據(jù)的.定理5.1至定理5.3都可立即轉(zhuǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形.如我們有定理5.6 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)解析，那么是函數(shù)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的充分必要條件是：存在著有限，無(wú)窮極限或不存在有限或無(wú)窮的極限.2. 留數(shù) 留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它

6、與解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系.（1） 留數(shù)的概念及留數(shù)定理定義5.4 設(shè)是解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，我們把在處的洛朗展開式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)稱為在處的留數(shù).記作，即=.顯然，留數(shù)就是積分的值，其中C為解析函數(shù)的的去心鄰域內(nèi)繞的閉曲線. 關(guān)于留數(shù)，我們有下面定理.定理5.7（留數(shù)定理） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，C是D內(nèi)包圍各奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，那么.一般來(lái)說(shuō)，求函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)只須求出它在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中項(xiàng)系數(shù)就可以了.但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利.例如，如果是的可去奇點(diǎn)，那么.如果是本性奇點(diǎn)，那就往

7、往只能用把在展開成洛朗級(jí)數(shù)的方法來(lái)求.若是極點(diǎn)的情形，則可用較方便的求導(dǎo)數(shù)與求極限的方法得到留數(shù).（2） 函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則1：如果為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，則 （5.4） 法則2：設(shè)，其中在處解析，如果，為的一階零點(diǎn)，則為的一階極點(diǎn)，且 . （5.5） 法則3：如果為的m階極點(diǎn)，則 . （5.6）（3） 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義5.5 設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即在圓環(huán)域內(nèi)解析，則稱 （） 為在點(diǎn)的留數(shù)，記為，這里是指順時(shí)針方向（這個(gè)方向很自然地可以看作是繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向）. 如果在的洛朗展開式為，則有. 這里，我們要注意，即使是的可去奇點(diǎn)，在的留數(shù)也未必是0，這是同有限點(diǎn)的留數(shù)不一致的地方. 定理5.8 如果在

8、擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)），設(shè)為，則在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零. 關(guān)于在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算，我們有以下的規(guī)則. 法則4：.3. 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)定理為某些類型積分的計(jì)算，提供了極為有效的方法.應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分的方法稱為圍道積分方法.所謂圍道積分方法，概括起來(lái)說(shuō)，就是不求實(shí)變函數(shù)的積分化為復(fù)變函數(shù)沿圍線的積分，然后應(yīng)用留數(shù)定理，使沿圍線的積分計(jì)算，歸結(jié)為留數(shù)計(jì)算.要使用留數(shù)計(jì)算，需要兩個(gè)條件：一是被積函數(shù)與某個(gè)解析函數(shù)有關(guān)；其次，定積分可化為某個(gè)沿閉路的積分.現(xiàn)就幾個(gè)特殊類型舉例說(shuō)明.（1） 形如的積分令， ， 是的有理函數(shù)；作為的函數(shù)，在上連續(xù).當(dāng)經(jīng)

9、歷變程時(shí)，對(duì)應(yīng)的z正好沿單位圓的正向繞行一圈，在積分閉路上無(wú)奇點(diǎn)，則 .（2） 形如的積分 令 ，1 Q(z)比P(z)至少高兩次，2 Q(z)在實(shí)軸上無(wú)零點(diǎn)，3 R(z)在上半平面Imz0內(nèi)的極點(diǎn)為，則有 .（3） 形如的積分R(x)是真分式，在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，則 ，其中.5.2 典型例題與解題方法 例1 指出下列函數(shù)在零點(diǎn)z=0的級(jí)：（1） （2）. 解（1）用求導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證：記，不難計(jì)算 即 故為函數(shù)的四階零點(diǎn).由泰勒展式：由展開式 可知 其中內(nèi)解析，.故為函數(shù)的四階零點(diǎn).（2）由展開式 可知 其中 在內(nèi)解析，.故是函數(shù)的15階零點(diǎn). 例2 證明不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.即若不恒為零的

10、函數(shù)在內(nèi)解析，則必有a的一個(gè)領(lǐng)域，使得在其中無(wú)異于a的零點(diǎn)（解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性）. 分析 由于解析函數(shù)不恒為零且，所以利用在點(diǎn)a的泰勒展開式可知，總存在自然數(shù)，使，（否則獨(dú)所有m，由泰勒定理矛盾）.于是可設(shè)a為的m階零點(diǎn)，然后由零點(diǎn)的特征來(lái)討論. 證 （不妨設(shè)）a為的m階零點(diǎn)，其中內(nèi)解析，. 因在a 處解析，則有，可取，存在著，當(dāng)時(shí)，由三角不等式 便知當(dāng)時(shí) 即有，故在a的鄰域內(nèi)使. 例3 確定函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型. 解 因?yàn)椋?所以 是分母的六階零點(diǎn)，從而是函數(shù)的六階極點(diǎn). 例4 判別函數(shù)的有限奇點(diǎn)的類型. 解 因?yàn)樵跊]有定義，更不解析，所以是的奇點(diǎn)，在內(nèi)，展開為洛朗級(jí)數(shù)： ， 有無(wú)窮多負(fù)冪

11、項(xiàng)，故是的本性奇點(diǎn). 例5 考察函數(shù)在點(diǎn)的特性. 解 因?yàn)槭欠帜傅牧泓c(diǎn)，所以這些點(diǎn)是的極點(diǎn).從而知是這些極點(diǎn)的極限點(diǎn)，不是孤立奇點(diǎn). 例6 求出函數(shù)的全部奇點(diǎn)，并確定其類型. 解 分母有四個(gè)一階零點(diǎn)，它們不是分子的零點(diǎn)，因此是函數(shù)的一階極點(diǎn). 又，所以是的可去奇點(diǎn). 例7 求出函數(shù)的全部奇點(diǎn)，并確定其類型. 解 容易求得是的一階極點(diǎn)，這是因?yàn)?當(dāng)，而 ， 所以，是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，是的一階極點(diǎn). 又是極點(diǎn)當(dāng)時(shí)的極限點(diǎn)，不是孤立奇點(diǎn).、 例12 求下列函數(shù)在所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)： （1）；（2）；（3）；（4）（n為自然數(shù)）. 分析 對(duì)于有限的孤立奇點(diǎn)，計(jì)算留數(shù)最基本的方法就是尋求洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù).但是如果能知道孤立奇點(diǎn)的類型，那么留數(shù)的計(jì)算也許稍簡(jiǎn)便些. 例如當(dāng)為可去奇點(diǎn)時(shí)，（切記當(dāng)時(shí)此結(jié)論不成立）對(duì)于極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算，我們有相應(yīng)的規(guī)則或公式. 對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，一般是尋求在內(nèi)洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)變號(hào)，也可轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)在處的留數(shù)，還可以用公式，其中為的有限個(gè)奇點(diǎn). 解 （1）函數(shù)有孤立奇點(diǎn)0和，而且易知在內(nèi)有洛朗展開式 這既可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式，也可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式.所以. （2）函數(shù)有孤立奇點(diǎn)0與，而且在內(nèi)有如下洛朗展開式： 這里用了洛朗級(jí)數(shù)的乘法