建模競(jìng)賽終極版

1、10號(hào)隊(duì)A題：降落傘在下落過(guò)程中安全性問(wèn)題摘要研究降落傘在下降過(guò)程中安全性問(wèn)題，在降落傘的質(zhì)量可以保障的前提下，我們主要以人著陸時(shí)的速度為指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)，當(dāng)著陸速度小于8m/s時(shí)，我們便可認(rèn)為人員安全著陸。該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為降落傘下落高度h，下落速度v，與下落時(shí)間t之間的關(guān)系。并且h,v可以看做連續(xù)變化的，從而可用反應(yīng)連續(xù)變量特點(diǎn)的微分方程予以描述。所以可把該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為微積分方法的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)牛頓第二定律列出微分方程，通過(guò)積分（運(yùn)用Matlab 數(shù)學(xué)軟件）得到相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。假設(shè)1.開始便打開降落傘，建立模型一，經(jīng)分析論證此模型確實(shí)可以使人安全著陸，但當(dāng)下落高度較大時(shí)，人在空中滯留時(shí)間太長(zhǎng)，與實(shí)

2、際情況不太吻合。進(jìn)而提出假設(shè)2，當(dāng)下落高度較大時(shí)，可以采取下落一定高度后再打開降落傘，以減少下落時(shí)間，建立模型二。經(jīng)分析論證，該模型既可滿足人員安全著陸條件，人員在空中滯留時(shí)間也不會(huì)太長(zhǎng)，與實(shí)際情況相符。由于降落傘繩索承受拉力是一定的，為保障人身安全，人傘系統(tǒng)下降過(guò)程中不能超過(guò)繩索的極限拉力，防止繩子斷開?？紤]到這個(gè)問(wèn)題，建立模型三，此模型約束了降落傘的承重極限和人傘下降的最大速度，從而彌補(bǔ)了模型一二的的缺陷，更加接近實(shí)際。上述模型可根據(jù)實(shí)際進(jìn)一步改進(jìn)，比如空氣阻力與空氣的稀薄程度有關(guān)，而海拔高度h會(huì)影響空氣的稀薄程度，可以認(rèn)為 k=k (h)，此時(shí)就考慮到了下落高度與空氣阻力的關(guān)系，更加接近

3、實(shí)際問(wèn)題。關(guān)鍵詞：微積分方法 空氣阻力 安全著陸速度 極限拉力一、問(wèn)題的提出降落傘是利用空氣阻力，依靠相對(duì)于空氣運(yùn)動(dòng)充氣展開的可展式氣動(dòng)力減速器，是人或物從空中安全降落到地面的一種航空工具，在航空航天、軍事、搶險(xiǎn)救災(zāi)等方面有著廣泛的用途。降落傘性能好壞直接關(guān)系飛行員、設(shè)備物資的安全性，所以研究降落傘性能顯得很有必要。結(jié)合實(shí)際我們考慮到，飛行員在空中滯留時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)，否則會(huì)對(duì)后續(xù)工作有影響；同時(shí)考慮使飛行員安全著陸，則要求落地速度在安全范圍之內(nèi)。那么，何時(shí)張傘比較適宜呢？二、問(wèn)題分析我們現(xiàn)在分析降落傘下降的過(guò)程，將人和傘看做一個(gè)整體，很容易想到降落速度是時(shí)間的函數(shù)。在降落過(guò)程中，人傘主要受重力和

4、空氣阻力的作用以及氣流運(yùn)動(dòng)的影響，空氣阻力與降落速度存在一定聯(lián)系，這里認(rèn)為空氣阻力與降落速度成正比（在空氣中運(yùn)動(dòng)的物體，受到空氣的阻力，在空氣中如果速度低于2.5 M（馬赫），基本上認(rèn)為其阻力f與阻力系數(shù)k，傘的面積S，速度v成正比 （f=ksv）,這時(shí)k一般可取為2.937。當(dāng)其在空氣中如果速度高于2.5 M（馬赫），由于空氣的摩擦， 開始出現(xiàn)氣動(dòng)加熱現(xiàn)象。其空氣阻力可視為f=(1/2)CSV2 ）。氣流運(yùn)動(dòng)使降落傘產(chǎn)生水平位移，而我們主要關(guān)心降落速度的垂直分量的變化情況，所以忽略水平分量。對(duì)此模型我們只要保證：1.著地時(shí)的速度小于安全著陸速度。2.彈性繩的拉力不超出其最大限定值，并且降落時(shí)

5、間合理。滿足上述兩個(gè)條件即可使人傘系統(tǒng)安全著地。根據(jù)牛頓第二定律，在豎直方向列有關(guān)速度或降落高度的微分方程,并得出運(yùn)動(dòng)方程。而實(shí)際生活中有高空跳傘和低空跳傘，低空跳傘出倉(cāng)后就立即打開傘，高空跳傘要確定不同高度的張傘速度，速度大小會(huì)影響繩的拉力。下面對(duì)不同情況建立數(shù)學(xué)模型。三、模型建立與解答模型假設(shè)1.人傘降落過(guò)程中只受重力和空氣阻力作用，忽略氣流流動(dòng)的影響，只考慮在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)。2.降落傘打開時(shí)，空氣阻力與降落速度v成正比，與降落傘面積s成正比，即f=ksv成立，且k是與時(shí)間、空氣稀薄程度無(wú)關(guān)的常數(shù)；降落傘未打開時(shí)，人在下降過(guò)程中，空氣對(duì)人的阻力很小，忽略不計(jì)，近似為自由落體運(yùn)動(dòng)。3.降落

6、傘張開后面積不變。4.不計(jì)張傘所用時(shí)間。5.降落傘的質(zhì)量忽略不計(jì)。6.降落傘始終保持軸對(duì)稱形狀，人體的重心和傘的形心保持在同一條豎直直線上。7.重力加速度不隨高度變化，為一定值，取做9.8 m/。8.人傘在下降過(guò)程中，降落速度為連續(xù)變化的函數(shù)，并且降落傘繩不考慮突變。9.人傘系統(tǒng)安全著陸時(shí)的著陸速度小于（經(jīng)查閱資料獲得）。符號(hào)說(shuō)明：飛行員的質(zhì)量（題中指出忽略降落傘的質(zhì)量）：重力加速度:人傘系統(tǒng)下落時(shí)的加速度：對(duì)降落傘的空氣阻力：繩的拉力：繩與豎直方向夾角：飛行員出倉(cāng)后降落的高度：從出倉(cāng)到張傘時(shí)飛行員下落的高度：從張傘到落地下落的高度：飛行員降落速度：張傘時(shí)飛行員的速度：飛行員著陸速度：降落時(shí)間

7、：自由落體運(yùn)動(dòng)階段降落的時(shí)間：張傘后降落所用時(shí)間：降落傘的面積：阻力系數(shù)（約為2.937）模型一：飛行員出倉(cāng)后立即打開降落傘根據(jù)牛頓第二定律，可得又以及微分關(guān)系，得解得 取定參數(shù)：m=70kg,g=9.8m/,s=30,k=2.937繪制h-t圖像如圖1圖1觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)，人出倉(cāng)后立即打開傘，經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間加速到某一速度后，人傘基本上做勻速直線運(yùn)動(dòng)。結(jié)合運(yùn)動(dòng)方程 變形得分析，由圖像可知，在給定參數(shù)下，當(dāng)t不斷增大時(shí)（即使不是無(wú)窮大）接近于零，h變成了t的一次函數(shù)， ，其斜率即為勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，人傘也將以此速度著陸。在給定參數(shù)的前提下，落地速度為1.當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，由（其中g(shù),k為常量）

8、，可得：若傘面積s一定，人的質(zhì)量m增大時(shí),落地速度v增大，相同高度下下降時(shí)間t減小，反之v減小，t增大。若m一定，s增大時(shí)，v減小，時(shí)間t增大，反之v增大，t減小。所以，我們考慮的整體影響。2.查閱資料知：當(dāng)人以8的速度著陸時(shí)，可保障人身安全，即8重60kg的人，傘的面積為25即可安全著落重70kg的人，傘的面積為30即可安全著陸3.由h-t關(guān)系式，在最初給定參數(shù)下，我們列出下落高度h與所需時(shí)間表格如下h(m)1002003006008001000230030005000t(s)11.622.4336587108246322536從表格的數(shù)據(jù)中可以看出，降落高度為幾百米時(shí)的降落時(shí)間較為合理，當(dāng)

9、降落高度較高或過(guò)高時(shí)，降落時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，在實(shí)際生活中會(huì)延誤后續(xù)的工作。所以，此模型適宜低空跳傘，當(dāng)跳傘高度很高時(shí)，需重新考慮，由此建立模型二。模型二：飛行員下落某一高度時(shí)再打開降落傘降落傘未打開過(guò)程（打開時(shí)的速度為）人做自由落體運(yùn)動(dòng)，降落高度為降落傘打開后的過(guò)程根據(jù)牛頓第二定律即微分方程，得解得取定參數(shù)：m=70kg,g=9.8m/,k=2.937,s=30，取=350m/s繪制圖像如圖2圖2由圖形可以看出，傘打開后，在幾秒之內(nèi)減小到某一較小速度，之后以此速度勻速下降。經(jīng)分析此速度為，與無(wú)關(guān)。所以跳傘者在打開傘后需減速到以后著陸，才能保障安全。此時(shí)，需討論何時(shí)打開降落傘，即張傘高度。根據(jù)關(guān)系式，張

10、開傘后時(shí)間段內(nèi)下落高度，可積分得 得飛行員降落的總高度為得 又 得運(yùn)動(dòng)方程當(dāng)時(shí)間超過(guò)20秒后 非常接近零 因此對(duì) 近似計(jì)算 經(jīng)圖像分析，即使=350 ，經(jīng)過(guò)20后也完全可以保證人以<8 安全著陸，所以我們有理由相信只要人張開傘后有20的空中滯留時(shí)間，就可以安全著陸。將代入得到 空降總高度=+ 得=+ 得給定的一個(gè)空降高度，我們就可以合理的給出一個(gè)張開傘的速度，由即可求得從開始到打開傘所用的時(shí)間。對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析：給定參數(shù)，人的質(zhì)量為70kg,傘的面積為30，k=2.937, g=9.8m/ 由=+ 得的關(guān)系圖像如圖3圖3數(shù)據(jù)分析：當(dāng)下落高度為2300米時(shí)，由圖像可算得當(dāng)速度達(dá)到20

11、0m/s時(shí)，張開傘比較合適。自由落體所用時(shí)間=20.4s，即人降落2000米后打開傘,張開傘到落地時(shí)間=20s,空降所用的總時(shí)間為40.4s,并且著陸速度<8m/s,也可以保障人員安全著陸。模型一中空降2300米所用的時(shí)間為246s,與之相比模型二在保障人員安全著陸的同時(shí)大大較減少了空中滯留時(shí)間，從而解決了高空降落的問(wèn)題。如果過(guò)度的減少空降時(shí)間，則人張傘時(shí)的速度就會(huì)隨之增大，這樣可能會(huì)引起繩子斷裂，從而提出模型三。模型三：考慮繩的拉力因素對(duì)于模型一，繩的最大拉力出現(xiàn)在近似勻速運(yùn)動(dòng)階段，對(duì)人分析得：，所以只要滿足繩的最大拉力大于即可保證繩子不會(huì)斷裂。對(duì)于模型二，對(duì)降落傘（不計(jì)降落傘重力，即

12、重力為零，=0）受力分析,由牛頓第二定律可又，得的最大值在張傘時(shí)刻，而繩的最大拉也出現(xiàn)在此處，由于可能很大，所以對(duì)繩的要求更高。為保證繩的安全性，需控制最大速度，應(yīng)使。對(duì)給定的降落傘，通過(guò)上式可得出張傘時(shí)的最大速度，當(dāng)實(shí)際張傘速度小于此速度，即可保證繩的安全性四、模型結(jié)果分析綜合考慮安全性問(wèn)題和實(shí)際情況，我們得出以下結(jié)論：對(duì)模型一：低空跳傘，為使飛行員安全著陸，落地速度需達(dá)到8m/s或者更小，要求m與s的比值小于2.40，繩的最大拉力大于。對(duì)模型二：高空跳傘時(shí)，當(dāng)張開傘后需要一定的張傘降落高度，才能保證落地之前就接近勻速運(yùn)動(dòng)階段，此時(shí)的速度近似為，并且8m/s,不會(huì)威脅人身安全。降落過(guò)程為保證

13、繩不斷裂，張傘速度應(yīng)滿足五、模型不足及改進(jìn)方向1在實(shí)際問(wèn)題中，空氣的阻力系數(shù)與空氣的稀薄程度有關(guān)，空氣的稀薄程度又和海拔高度有一定關(guān)系，可以認(rèn)為。此時(shí)可以考慮降落速度與海拔高度之間的關(guān)系。假設(shè)降落傘在時(shí)張開傘，此時(shí)相應(yīng)的速度為，由于則由牛頓第二定律有，兩式連立可得此時(shí)k與h可根據(jù)具體情況分析得到它們的關(guān)系，帶入上式即可得到h與v的關(guān)系。2上述模型中，忽略了傘張開的過(guò)程，即張傘所用的時(shí)間。而現(xiàn)實(shí)生活中，張傘需要一定的時(shí)間，在此段時(shí)間內(nèi)降落傘會(huì)下降一段高度。3在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，人傘在下降過(guò)程中，不僅有豎直方向的影響，還有水平方向的影響，例如：風(fēng)。風(fēng)在水平方向會(huì)使人獲得一個(gè)速度，人在著陸時(shí)的速度不僅是豎

14、直方向的速度，而是豎直與水平方向的合速度。因此在實(shí)際生活中，人在豎直方向的著陸速度應(yīng)該小于根據(jù)上述模型計(jì)算得到的速度。4上述模型中考慮的降落傘繩子拉力是連續(xù)變化的，而在實(shí)際生活中當(dāng)人打開繩子的瞬間繩子的拉力會(huì)瞬間增大，而后減小。因此應(yīng)考慮繩子因?yàn)闆_量獲得的瞬間拉力。此時(shí)應(yīng)根據(jù)動(dòng)量定理和微積分方法計(jì)算出繩子的最大拉力。因此，實(shí)際問(wèn)題中的降落傘的繩子承重極限應(yīng)該比上述模型計(jì)算得到的大。六、相關(guān)計(jì)算機(jī)程序方程解答程序：速度程序>>v=dsolve('Dv+k*s*v/m-g=0','v(0)=a','t')v =g/k/s*m+exp(-k

15、*s/m*t)*(-g*m+a*k*s)/k/s高度程序>>h=dsolve('D2h+k*s/m*Dh-g=0','h(0)=0,Dh(0)=0','t')h=g/k/s*m*t-g*m2/k2/s2+g*m2/k2/s2*exp(-k*s/m*t)繪圖程序：圖1h=dsolve('D2h+2.937*30/70*Dh-9.8=0','h(0)=0,Dh(0)=0','t')h =68600/8811*t-480200000/77633721+480200000/77633721*ex

16、p(-8811/7000*t)>>t=0:0.01:60;>>h=68600/8811*t-480200000/77633721+480200000/77633721*exp(-8811/7000*t);>>plot(t,h)圖2>>v=dsolve('Dv+2.937*v*30/70-9.8=0','v(0)=350','t') v =68600/8811+3015250/8811*exp(-8811/7000*t)>>t=0:0.01:20;>>v=68600/8811+3015250/88