第7章動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)處理的基本方法

1、 按照被測(cè)物理量是否隨時(shí)間而變化，測(cè)試技術(shù)可分為靜態(tài)測(cè)試和動(dòng)態(tài)測(cè)試兩大類。 靜態(tài)測(cè)試靜態(tài)測(cè)試的被測(cè)量是靜止不變的，儀器的輸入量為常量。 動(dòng)態(tài)測(cè)試動(dòng)態(tài)測(cè)試的被測(cè)量是隨時(shí)間或空間而變化的，儀器的輸入量及測(cè)試結(jié)果(數(shù)據(jù)或信號(hào))也是隨時(shí)間而變化的。 表示物理現(xiàn)象或過程的任何數(shù)據(jù)，都可以分為確定性的和隨機(jī)性的兩大類。 能夠用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的數(shù)據(jù)稱為確定性數(shù)據(jù)。 不能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來表達(dá)的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)的或非確定性的數(shù)據(jù)。 動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的特征可以用數(shù)據(jù)的幅值隨時(shí)間變化的表達(dá)式、圖形或數(shù)據(jù)表來表示，這就是數(shù)據(jù)的時(shí)域描述。 時(shí)域描述比較簡(jiǎn)單直觀(例如示波器上的波形圖)，但它不能反映數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)。為此

2、，常對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，研究其頻率成分及各頻率成分的強(qiáng)度，這就是數(shù)據(jù)的頻域描述。 所謂“域”的不同，是指描述數(shù)據(jù)的坐標(biāo)圖橫坐標(biāo)的物理量不同。如時(shí)域的橫坐標(biāo)為時(shí)間t，頻域的橫坐標(biāo)為頻率f或。 隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。 確定性數(shù)據(jù)可以根據(jù)它的時(shí)間歷程記錄是否有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)，或根據(jù)它是否能展開為博里葉級(jí)數(shù)，而劃分為周期數(shù)據(jù)和非周期數(shù)據(jù)兩類。 周期數(shù)據(jù)又可分為正弦周期數(shù)據(jù)和復(fù)雜周期數(shù)據(jù)。 非周期數(shù)據(jù)又可分為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。 1周期數(shù)據(jù)周期數(shù)據(jù) 周期數(shù)據(jù)是經(jīng)過一定時(shí)間間隔重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。周期數(shù)據(jù)是經(jīng)過一定時(shí)間間隔重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。 最常見的是

3、正弦周期數(shù)據(jù)，其幅度隨時(shí)間作正弦周期波動(dòng)，其函數(shù)形式如下： （7-2） 時(shí) 域頻 域復(fù)雜周期數(shù)據(jù)復(fù)雜周期數(shù)據(jù) 復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由不同頻率的正弦周期數(shù)據(jù)疊加而成的，其頻率比為有理數(shù)，其圖形是由基波的整數(shù)倍波形疊加而成的。 若基波頻率為f1，各組成項(xiàng)的頻率為nfl，nl，2，則復(fù)雜周期數(shù)據(jù)可以展開為博里葉級(jí)數(shù): （7-3） 式中，式中，（7-4） 可見，復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由一個(gè)靜態(tài)分量可見，復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由一個(gè)靜態(tài)分量A0和無限多和無限多個(gè)諧振分量個(gè)諧振分量(振幅為振幅為An，相位為，相位為n)組成，諧振分量的頻組成，諧振分量的頻率都是率都是f1的整倍數(shù)。的整倍數(shù)。復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的圖形描述復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的圖

4、形描述 由圖可見，即使x(t)可能包含無限多個(gè)頻率分量，但頻譜仍然是離散的。周期性方波、三角波及鋸齒波都是復(fù)雜周期性波形的例子。 在幾何量測(cè)量中，不圓度誤差數(shù)據(jù)通常也是復(fù)雜周期數(shù)據(jù)它是由偏心量、橢圓度及各種棱圓度等諧波分量疊加而成的。 凡能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的，但又凡能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的，但又不是周期性的數(shù)據(jù)，均稱為非周期數(shù)據(jù)。不是周期性的數(shù)據(jù)，均稱為非周期數(shù)據(jù)。它包括準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。它包括準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。 準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù) 準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是由彼此的頻率比不全為有理數(shù)的兩個(gè)以上準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是由彼此的頻率比不全為有理數(shù)的兩個(gè)以上正弦數(shù)據(jù)疊加而成的數(shù)據(jù)。正弦數(shù)據(jù)疊加而成的數(shù)據(jù)。

5、 例如例如x1(t)為周期性數(shù)據(jù)。為周期性數(shù)據(jù)。 1/3，1/7，3/7是有理數(shù)。是有理數(shù)。X2(t)為準(zhǔn)周期性數(shù)據(jù)。為準(zhǔn)周期性數(shù)據(jù)。50/150/3是無理數(shù)是無理數(shù)（7-5） 式中的任一頻率成分式中的任一頻率成分fn與另一頻率成分與另一頻率成分fm之比之比fnfm不全為有理數(shù)。不全為有理數(shù)。 準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)的頻域描述如圖所示。 在工程實(shí)踐中，當(dāng)兩個(gè)或在工程實(shí)踐中，當(dāng)兩個(gè)或幾個(gè)不相關(guān)的周期性物理現(xiàn)幾個(gè)不相關(guān)的周期性物理現(xiàn)象混合作用時(shí)，常會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)象混合作用時(shí)，常會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。例如幾個(gè)電動(dòng)機(jī)周期數(shù)據(jù)。例如幾個(gè)電動(dòng)機(jī)不同步振動(dòng)造成的機(jī)床或儀不同步振動(dòng)造成的機(jī)床或儀表的振動(dòng)，其動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果表的振動(dòng)，其

6、動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果即為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。即為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。 瞬態(tài)數(shù)據(jù)瞬態(tài)數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)以外的非周期數(shù)據(jù)均為瞬態(tài)數(shù)據(jù)。準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)以外的非周期數(shù)據(jù)均為瞬態(tài)數(shù)據(jù)。 產(chǎn)生瞬態(tài)數(shù)據(jù)的物理現(xiàn)象很多。如圖所示。 圖a為熱源消除后物體溫度變化及其頻譜； 圖b為激振力解除后的阻尼振蕩系統(tǒng)的自由振動(dòng)及其頻譜； 圖c為在tc時(shí)刻斷裂的電纜的應(yīng)力及其頻譜。 與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)不同，瞬態(tài)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是不能用離散頻譜表示。 瞬態(tài)數(shù)據(jù)的頻譜是連續(xù)型的且頻率范圍無限，瞬態(tài)數(shù)據(jù)的頻譜是連續(xù)型的且頻率范圍無限，這與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)有明顯區(qū)別。這與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)有明顯區(qū)別。 瞬態(tài)數(shù)據(jù)的描述瞬態(tài)數(shù)據(jù)的描述（7-7） （7-8） x(f

7、)的反變換為 大多數(shù)情況下，瞬態(tài)數(shù)據(jù)可通過傅里葉變換，得到其頻大多數(shù)情況下，瞬態(tài)數(shù)據(jù)可通過傅里葉變換，得到其頻域的描述為域的描述為 與確定性數(shù)據(jù)不同，隨機(jī)性數(shù)據(jù)是不能與確定性數(shù)據(jù)不同，隨機(jī)性數(shù)據(jù)是不能用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。若在一個(gè)動(dòng)用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。若在一個(gè)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中，不能在合理的試驗(yàn)誤差范圍內(nèi)態(tài)試驗(yàn)中，不能在合理的試驗(yàn)誤差范圍內(nèi)預(yù)計(jì)未來時(shí)刻的測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)，則可認(rèn)為預(yù)計(jì)未來時(shí)刻的測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)，則可認(rèn)為此動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是隨機(jī)性數(shù)據(jù)。隨機(jī)性數(shù)此動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是隨機(jī)性數(shù)據(jù)。隨機(jī)性數(shù)據(jù)只能用概率統(tǒng)計(jì)的特征量來描述。據(jù)只能用概率統(tǒng)計(jì)的特征量來描述。 根據(jù)隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量是否隨時(shí)間根據(jù)隨機(jī)數(shù)據(jù)

8、的統(tǒng)計(jì)特征量是否隨時(shí)間變化，可把隨機(jī)數(shù)據(jù)分為平穩(wěn)過程和非平變化，可把隨機(jī)數(shù)據(jù)分為平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程兩大類。穩(wěn)過程兩大類。 平穩(wěn)隨機(jī)過程又可進(jìn)一步分為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程又可進(jìn)一步分為各態(tài)歷經(jīng)的和非各態(tài)歷經(jīng)的。和非各態(tài)歷經(jīng)的。 重復(fù)測(cè)量一個(gè)不變的物理量，由于被測(cè)量、測(cè)量?jī)x器或測(cè)量條件的隨機(jī)因素，造成所測(cè)得一系列測(cè)量結(jié)果包含隨機(jī)誤差(偶然誤差)，其中每次測(cè)量結(jié)果都是取得一個(gè)隨機(jī)的、但是唯一的測(cè)量值，因而，測(cè)量結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。 隨著自動(dòng)化生產(chǎn)和科學(xué)研究的發(fā)展，越來越多地需要測(cè)量連續(xù)變化的過程，這時(shí)被測(cè)量可能是隨時(shí)間而連續(xù)變化，或者是隨空間而連續(xù)變化。因此測(cè)量過程和測(cè)量結(jié)果也是隨時(shí)間而連續(xù)變化

9、的。同樣，由于檢測(cè)對(duì)象、測(cè)量?jī)x器和測(cè)量條件的隨機(jī)誤差，因而被測(cè)過程和測(cè)量結(jié)果都是一個(gè)隨機(jī)的但是連續(xù)變化的函數(shù)。它有別于上述隨機(jī)變量，我們稱之為隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)函數(shù)。 對(duì)隨機(jī)函數(shù)的分析計(jì)算，本質(zhì)上類似于前幾章的隨機(jī)誤差，但較復(fù)雜一些。 隨機(jī)過程理論就是研究隨機(jī)性表現(xiàn)為一個(gè)過程的隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，通常它是研究動(dòng)態(tài)測(cè)量過程及其測(cè)量結(jié)果的理論根據(jù)。 幾何量機(jī)械量測(cè)量，過去以靜態(tài)測(cè)量為主。今幾何量機(jī)械量測(cè)量，過去以靜態(tài)測(cè)量為主。今天，隨著生產(chǎn)過程的自動(dòng)化，幾何量機(jī)械量的動(dòng)天，隨著生產(chǎn)過程的自動(dòng)化，幾何量機(jī)械量的動(dòng)態(tài)測(cè)量日益增加。例如機(jī)械量測(cè)量中的振動(dòng)測(cè)量、態(tài)測(cè)量日益增加。例如機(jī)械量測(cè)量中的振動(dòng)測(cè)量、動(dòng)載和動(dòng)態(tài)

10、應(yīng)變測(cè)量、速度加速度連續(xù)測(cè)量，以動(dòng)載和動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)量、速度加速度連續(xù)測(cè)量，以及流量、壓力、溫度等物理量的連續(xù)測(cè)量等。幾及流量、壓力、溫度等物理量的連續(xù)測(cè)量等。幾何量測(cè)量中的線紋尺和圓分度的動(dòng)態(tài)測(cè)量、絲桿何量測(cè)量中的線紋尺和圓分度的動(dòng)態(tài)測(cè)量、絲桿或齒輪參數(shù)的動(dòng)態(tài)測(cè)量、磨削加工中尺寸的測(cè)量或齒輪參數(shù)的動(dòng)態(tài)測(cè)量、磨削加工中尺寸的測(cè)量和控制、圓度測(cè)量、表面粗糙度測(cè)量等。和控制、圓度測(cè)量、表面粗糙度測(cè)量等。 顯然，用過去靜態(tài)測(cè)量精度評(píng)定方法(如前幾章所述)是不能正確評(píng)定動(dòng)態(tài)測(cè)量結(jié)果的，而且不能進(jìn)一步分析動(dòng)態(tài)測(cè)量中的特殊現(xiàn)象(例如測(cè)量速度、頻率響應(yīng)、記錄失真等)。 因此，有必要進(jìn)一步介紹動(dòng)態(tài)測(cè)量及誤差計(jì)算的

11、理論基礎(chǔ)隨機(jī)過程理論。 用輪廓儀測(cè)量某磨削表面粗糙度的記錄曲線中的任一點(diǎn)的表面輪廓高度是一個(gè)隨機(jī)變量，而沿任一方向的輪廓曲線是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)。因而連續(xù)測(cè)量表面粗糙度可以看作是一個(gè)隨機(jī)過程。 在動(dòng)態(tài)測(cè)量中，對(duì)某一個(gè)不斷變化著的量進(jìn)行在動(dòng)態(tài)測(cè)量中，對(duì)某一個(gè)不斷變化著的量進(jìn)行測(cè)量，每一個(gè)測(cè)量結(jié)果是一個(gè)確定的隨時(shí)間或空測(cè)量，每一個(gè)測(cè)量結(jié)果是一個(gè)確定的隨時(shí)間或空間變化的函數(shù)間變化的函數(shù)(例如一條記錄曲線例如一條記錄曲線)，對(duì)于測(cè)量的，對(duì)于測(cè)量的時(shí)間間隔內(nèi)的每一瞬時(shí)，該函數(shù)都有一個(gè)確定的時(shí)間間隔內(nèi)的每一瞬時(shí)，該函數(shù)都有一個(gè)確定的數(shù)值。但由于隨機(jī)誤差的存在，使得重復(fù)多次測(cè)數(shù)值。但由于隨機(jī)誤差的存在，使得重復(fù)多

12、次測(cè)量，會(huì)得到不完全相同的函數(shù)結(jié)果量，會(huì)得到不完全相同的函數(shù)結(jié)果(例如一組記錄例如一組記錄曲線曲線)。這種函數(shù)，對(duì)于自變量。這種函數(shù)，對(duì)于自變量(時(shí)間或空間時(shí)間或空間)的每的每一個(gè)給定值，它是一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱這種函一個(gè)給定值，它是一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱這種函數(shù)為隨機(jī)函數(shù)。數(shù)為隨機(jī)函數(shù)。 每個(gè)測(cè)量結(jié)果xi(t)叫做隨機(jī)函數(shù)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)或一個(gè)樣本，如x1(t)，x2(t)，xN(t)。而x(t)表示這些隨機(jī)函數(shù)樣本的集合(總體) 表面粗糙度的測(cè)量 自變量為時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，通常叫隨機(jī)過程(例如磨加工尺寸是磨削時(shí)間的隨機(jī)函數(shù))。自變量為空間坐標(biāo)l的隨機(jī)函數(shù)，通常叫隨機(jī)場(chǎng)(例如絲杠螺旋線誤差是絲杠長(zhǎng)度

13、的隨機(jī)函數(shù))。隨機(jī)場(chǎng)和隨機(jī)過程的研究方法是一樣的。因此以下統(tǒng)稱隨機(jī)過程或隨機(jī)函數(shù)。 所有對(duì)自變量為時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)計(jì)算公式，同樣適用于自變量為空間坐標(biāo)l或其他參量的隨機(jī)函數(shù)。 隨機(jī)過程或隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)過程或隨機(jī)函數(shù)x(t)包含如下的內(nèi)容：包含如下的內(nèi)容： 把把x(t)看作是樣本集合時(shí)，看作是樣本集合時(shí)，x(t)意味著一組時(shí)間意味著一組時(shí)間函數(shù)函數(shù)x1(t)，x2(t)，xN(t)的集合；的集合； 把把x(t)看作是一個(gè)樣本看作是一個(gè)樣本(或一個(gè)現(xiàn)實(shí)或一個(gè)現(xiàn)實(shí))時(shí)，時(shí)，x(t)意意味著一個(gè)具體的時(shí)間函數(shù)味著一個(gè)具體的時(shí)間函數(shù). 例如例如x(t)x3(t)； 若若ttl時(shí)，則時(shí)，則x(t)意味著一組

14、隨機(jī)變量意味著一組隨機(jī)變量x1(t1)，x2(t1)，xN(t1)的集合。的集合。 實(shí)際上，含義實(shí)際上，含義1、2、3的本質(zhì)是一樣的，只是對(duì)隨機(jī)過的本質(zhì)是一樣的，只是對(duì)隨機(jī)過程的描述方式不同。程的描述方式不同。 含義含義1是從總體集合意義上講的。是從總體集合意義上講的。 含義含義2是從一個(gè)時(shí)間歷程是從一個(gè)時(shí)間歷程(一個(gè)現(xiàn)實(shí)一個(gè)現(xiàn)實(shí))上描述。一個(gè)現(xiàn)實(shí)是上描述。一個(gè)現(xiàn)實(shí)是表示一次實(shí)驗(yàn)給定的結(jié)果這時(shí)，隨機(jī)函數(shù)表現(xiàn)為一個(gè)非表示一次實(shí)驗(yàn)給定的結(jié)果這時(shí)，隨機(jī)函數(shù)表現(xiàn)為一個(gè)非隨機(jī)的確定性函數(shù)。隨機(jī)的確定性函數(shù)。 含義含義3則是從一個(gè)固定的則是從一個(gè)固定的t值上描述，由圖值上描述，由圖712截取各截取各個(gè)現(xiàn)實(shí)

15、，得一組個(gè)現(xiàn)實(shí)，得一組xl(t1)，x2(t1)，xN(t1)值，這是一組值，這是一組隨機(jī)變量，同樣反映隨機(jī)過程隨機(jī)變量，同樣反映隨機(jī)過程x(t)的特征。的特征。 由此可見，隨機(jī)函數(shù)兼有隨機(jī)變量與函數(shù)的特點(diǎn)。在一般由此可見，隨機(jī)函數(shù)兼有隨機(jī)變量與函數(shù)的特點(diǎn)。在一般實(shí)際測(cè)量中，多采用含義實(shí)際測(cè)量中，多采用含義2描述隨機(jī)過程，而在理論分析描述隨機(jī)過程，而在理論分析中，多采用含義中，多采用含義3進(jìn)行研究。進(jìn)行研究。 隨機(jī)變量通常用它的概率分布函數(shù)、算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為特征量來表示。 同樣，隨機(jī)過程也有它的特征量，這些特征量不象隨機(jī)變量的特征量那樣表現(xiàn)為一個(gè)確定的數(shù)，而是表現(xiàn)為一個(gè)函數(shù)。 常用四種統(tǒng)

16、計(jì)函數(shù)來表示，即： 概率密度函數(shù)； 均值、方差和方均值； 自相關(guān)函數(shù)； 譜密度函數(shù)。概率密度函數(shù)是描述隨機(jī)數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率。概率密度函數(shù)是描述隨機(jī)數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率。 (7-10)(7-11)(7-12) 對(duì)于自變量t的每一個(gè)給定值，mx(t)等于隨機(jī)函數(shù)x(t)在該t值時(shí)的所有數(shù)值的平均值(數(shù)學(xué)期望)，即(7-13) 隨機(jī)過程的均值是一個(gè)非隨機(jī)的平均函數(shù)非隨機(jī)的平均函數(shù)，它確定了隨機(jī)函數(shù)x(t)的中心趨勢(shì)，隨機(jī)過程的各個(gè)現(xiàn)實(shí)(樣本)都圍繞它變動(dòng)，而變動(dòng)的分散程度則可用方差成標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定。 隨機(jī)函數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)間函數(shù)，它隨機(jī)函數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)

17、間函數(shù)，它確定了隨機(jī)函數(shù)所有現(xiàn)實(shí)相對(duì)于均值的分散程度。確定了隨機(jī)函數(shù)所有現(xiàn)實(shí)相對(duì)于均值的分散程度。 在在tt1時(shí)刻，隨機(jī)函數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算類似于第二章隨時(shí)刻，隨機(jī)函數(shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算類似于第二章隨機(jī)誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法。機(jī)誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法。(7-14)(7-15)式(714)給出的隨機(jī)函數(shù)方差，實(shí)質(zhì)上是x(t)的二階中心矩，而二階原點(diǎn)矩(7-16)隨機(jī)過程的二階原點(diǎn)矩又稱隨機(jī)過程的二階原點(diǎn)矩又稱 因因故故(7-17) 由此可見，方均值既反映隨機(jī)過程的中心趨勢(shì)，由此可見，方均值既反映隨機(jī)過程的中心趨勢(shì)，也反映隨機(jī)過程的分散度。也反映隨機(jī)過程的分散度。 均值和方差是表征隨機(jī)過

18、程在各個(gè)孤立時(shí)刻的均值和方差是表征隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性的重要特征量，但不能反映隨機(jī)過程不統(tǒng)計(jì)特性的重要特征量，但不能反映隨機(jī)過程不同時(shí)刻之間的關(guān)系。同時(shí)刻之間的關(guān)系。 因此，除均值和方差外，我們還要用另一個(gè)特因此，除均值和方差外，我們還要用另一個(gè)特征量來反映隨機(jī)過程內(nèi)不同時(shí)刻之間的相關(guān)程度，征量來反映隨機(jī)過程內(nèi)不同時(shí)刻之間的相關(guān)程度，這特征量叫相關(guān)函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)。這特征量叫相關(guān)函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)。 兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)的均值(數(shù)學(xué)期望)和方差幾乎一樣，但x(t)(圖a)的特點(diǎn)是變化緩慢，規(guī)律性較明顯，即x1(t)在不同t時(shí)刻的函數(shù)值之間有較明顯的聯(lián)系相關(guān)性較強(qiáng)。 而x2(t)(圖b)的特點(diǎn)

19、是變化劇烈，即x2(t)在不同t時(shí)刻的函數(shù)值之間的聯(lián)系不明顯，而且隨首兩時(shí)刻間隔增大，它的聯(lián)系迅速減少,相關(guān)性變?nèi)酢Ｗ韵嚓P(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)二元的非隨機(jī)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)二元的非隨機(jī)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)上可用相關(guān)矩來定義。上可用相關(guān)矩來定義。(7-20) 在實(shí)際應(yīng)用中，自相關(guān)函數(shù)還有一種更常用的表示式稱為標(biāo)準(zhǔn)自相關(guān)函數(shù)，其定義是(7-18) 當(dāng)當(dāng)tt相關(guān)函數(shù)等于隨機(jī)函數(shù)的方差。相關(guān)函數(shù)等于隨機(jī)函數(shù)的方差。 由于方差可以由自相關(guān)函數(shù)表示，故隨機(jī)函數(shù)的基本特征由于方差可以由自相關(guān)函數(shù)表示，故隨機(jī)函數(shù)的基本特征量?jī)H為均值與自相關(guān)函數(shù)。量?jī)H為均值與自相關(guān)函數(shù)。 自相關(guān)函

20、數(shù)是對(duì)稱的。自相關(guān)函數(shù)是對(duì)稱的。 在隨機(jī)函數(shù)上加上一個(gè)非隨機(jī)函數(shù)時(shí)，它的均值在隨機(jī)函數(shù)上加上一個(gè)非隨機(jī)函數(shù)時(shí)，它的均值(數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望期望)也要加上同樣的非隨機(jī)函數(shù)，但它的自相關(guān)函數(shù)不也要加上同樣的非隨機(jī)函數(shù)，但它的自相關(guān)函數(shù)不變。變。 所謂非隨機(jī)函數(shù)可以是一個(gè)固定的數(shù)，也可以是所謂非隨機(jī)函數(shù)可以是一個(gè)固定的數(shù)，也可以是t的函的函數(shù)。數(shù)。 在隨機(jī)函數(shù)上乘以非隨機(jī)因子在隨機(jī)函數(shù)上乘以非隨機(jī)因子f(t)時(shí)，它的均值也應(yīng)乘時(shí)，它的均值也應(yīng)乘上同一因子，而它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上上同一因子，而它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上f(t)f(t)。 特別是當(dāng)特別是當(dāng)f(t)常數(shù)常數(shù)C時(shí)，它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上時(shí)，它的自相關(guān)函數(shù)

21、應(yīng)乘上c2。 在實(shí)際應(yīng)用中，我們不僅關(guān)心作為隨機(jī)過程的在實(shí)際應(yīng)用中，我們不僅關(guān)心作為隨機(jī)過程的數(shù)據(jù)的均值和相關(guān)函數(shù)，而且往往更關(guān)心隨機(jī)數(shù)數(shù)據(jù)的均值和相關(guān)函數(shù)，而且往往更關(guān)心隨機(jī)數(shù)據(jù)的頻率分布情況，也就是要研究隨機(jī)過程是由據(jù)的頻率分布情況，也就是要研究隨機(jī)過程是由哪些頻率成分所組成，不同頻率的分量各占多大哪些頻率成分所組成，不同頻率的分量各占多大比重等。這種分析方法就是所謂頻譜分析法，它比重等。這種分析方法就是所謂頻譜分析法，它在測(cè)量誤差理論中占有重要地位。在測(cè)量誤差理論中占有重要地位。 對(duì)于隨機(jī)函數(shù)，由于它的振幅和相位是隨機(jī)的，對(duì)于隨機(jī)函數(shù)，由于它的振幅和相位是隨機(jī)的，不能作出確定的頻譜圖。不

22、能作出確定的頻譜圖。 隨機(jī)過程的均方值隨機(jī)過程的均方值 可用來表示隨機(jī)函數(shù)的強(qiáng)度可用來表示隨機(jī)函數(shù)的強(qiáng)度 定義函數(shù)定義函數(shù)(7-30)來描述頻譜f到ff范圍內(nèi)隨機(jī)過程強(qiáng)度。當(dāng)隨機(jī)過程的長(zhǎng)度趨于，而頻率元素f趨于零時(shí)，則有(7-31)變換式(731)為定積分形式，則有 (7-32) Gx(f)描述了過程的強(qiáng)度沿描述了過程的強(qiáng)度沿f軸的分布密度，稱為軸的分布密度，稱為隨機(jī)過程的頻譜密度或譜密度。如果把隨機(jī)過程的頻譜密度或譜密度。如果把x(t)看作是看作是電流，則電流，則x2(t)將表示該電流在負(fù)載上產(chǎn)生的功率。將表示該電流在負(fù)載上產(chǎn)生的功率。 由此可見譜密度的物理意義是表示由此可見譜密度的物理意義

23、是表示f(t)產(chǎn)生的功產(chǎn)生的功率在頻率軸上的分布，而率在頻率軸上的分布，而Gx(f)曲線與橫坐標(biāo)所圍曲線與橫坐標(biāo)所圍面積表示了隨機(jī)過程的總功率。面積表示了隨機(jī)過程的總功率。 因此因此Gx(f)亦稱功率譜密度或功率譜。亦稱功率譜密度或功率譜。 這樣我們便引進(jìn)了一個(gè)描述平穩(wěn)隨機(jī)過程新的特這樣我們便引進(jìn)了一個(gè)描述平穩(wěn)隨機(jī)過程新的特征征譜密度函數(shù)譜密度函數(shù)。它是從頻率的領(lǐng)域描述隨機(jī)過程，。它是從頻率的領(lǐng)域描述隨機(jī)過程，而自相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間的領(lǐng)域描述隨機(jī)過程。而自相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間的領(lǐng)域描述隨機(jī)過程。 因式(731)是定義在0到的頻率范圍上，因此Gx(f)稱為“單邊”譜密度但譜密度函數(shù)也可以定義在到的頻率

24、范圍上，稱為“雙邊“譜密度，記作Sx(f)。 因隨機(jī)過程的總功率不變，故有因隨機(jī)過程的總功率不變，故有 （7-33） Gx(f)與 Sx(f)的關(guān)系 譜密度有以下重要性質(zhì)： 譜密度Sx(f)是非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)。 譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。（7-34） 式式(734)的簡(jiǎn)化形式的簡(jiǎn)化形式 由于自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)因此式(734)實(shí)際上只有實(shí)數(shù)值部分。 故可化簡(jiǎn)為只有實(shí)值部分的公式 （7-35） （7-36） 或已知某隨機(jī)函數(shù)已知某隨機(jī)函數(shù)x(t)的相關(guān)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)型的相關(guān)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)型 式中 a0； C常數(shù)。試求該過程的譜密度試求該過程的譜密度Sx(f)。解：解： 當(dāng)當(dāng)a不同，函數(shù)曲

25、線也不同。不同，函數(shù)曲線也不同。 （1）當(dāng)）當(dāng)a減小時(shí)，相關(guān)函數(shù)隨著減小時(shí)，相關(guān)函數(shù)隨著增加而減少得緩慢，增加而減少得緩慢，表示隨機(jī)過程變化較平滑。這時(shí)低頻成分占主要，頻譜上表示隨機(jī)過程變化較平滑。這時(shí)低頻成分占主要，頻譜上小頻率部分占優(yōu)勢(shì)。小頻率部分占優(yōu)勢(shì)。 （2）當(dāng)）當(dāng)a增加，相關(guān)函數(shù)隨增加，相關(guān)函數(shù)隨增大面威小得很快，這意增大面威小得很快，這意味著隨機(jī)過程前后相關(guān)較弱，過程變動(dòng)劇烈，過程所含高味著隨機(jī)過程前后相關(guān)較弱，過程變動(dòng)劇烈，過程所含高頻成份與低頻成份均起作用。頻成份與低頻成份均起作用。 （3）當(dāng)）當(dāng)a0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)Rx()C。它意味著隨機(jī)過。它意味著隨機(jī)過程前后完

26、全相關(guān)與自變量程前后完全相關(guān)與自變量t無關(guān)。隨機(jī)過程不包含任何頻無關(guān)。隨機(jī)過程不包含任何頻率成分的波動(dòng)，故頻譜為率成分的波動(dòng)，故頻譜為0。頻域?yàn)轭l域?yàn)楹瘮?shù)。函數(shù)。 （4）當(dāng)）當(dāng)a時(shí)，相關(guān)函數(shù)時(shí)，相關(guān)函數(shù)0，變成在，變成在0處的處的函數(shù)形式。此時(shí)各種頻率成份在隨機(jī)過程中均函數(shù)形式。此時(shí)各種頻率成份在隨機(jī)過程中均起作用。且各個(gè)作用幾乎一樣。于是該過程的頗起作用。且各個(gè)作用幾乎一樣。于是該過程的頗譜表示為一常數(shù)，由式譜表示為一常數(shù)，由式(734)得此常數(shù)的各種頻得此常數(shù)的各種頻率的噪聲合成的隨機(jī)噪聲過程亦稱為率的噪聲合成的隨機(jī)噪聲過程亦稱為“白噪聲白噪聲”，表表71序號(hào)序號(hào)5便是白噪聲的相關(guān)函數(shù)與譜

27、密度。便是白噪聲的相關(guān)函數(shù)與譜密度。它在工程實(shí)際中是很有用的。它在工程實(shí)際中是很有用的。 隨機(jī)過程分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程兩大類。平穩(wěn)過程又可分為各態(tài)歷經(jīng)過程及非各態(tài)歷經(jīng)過程。由于它們備具特點(diǎn)因此其特征量的計(jì)算方法亦有不同。但正如前所述，對(duì)一物理量作系列測(cè)量后不可能求得被測(cè)量的真值。同樣，由于隨機(jī)誤差的存在及測(cè)量次數(shù)有限，因而對(duì)一隨機(jī)過程作一系列動(dòng)態(tài)測(cè)試后，也不可能求得隨機(jī)過程特征量的真值，而只能通過有限個(gè)樣本作出估計(jì)。在工程實(shí)際中的隨機(jī)過程大多是干穩(wěn)隨機(jī)過程，對(duì)于具有N個(gè)樣本的平穩(wěn)隨機(jī)過程通常采用總體平均法(幾何平均法)求其特征量的估計(jì)，而對(duì)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，則可采用時(shí)間平均法求其特

28、征量的估計(jì)值。 下面分別介紹這些實(shí)際估計(jì)方法及其精度。下面分別介紹這些實(shí)際估計(jì)方法及其精度。 研究圖a和圖b兩個(gè)不同的隨機(jī)過程，可以看出它們的區(qū)別。 圖a的隨機(jī)過程x(t)，其特征量(如均值、方差)顯然是不隨t1的變化而有明顯的變化，而且所選擇的tl的起點(diǎn)可以是任意的。 但圖b顯示另一種特點(diǎn)，即隨機(jī)過程的均值及自相關(guān)函數(shù)顯然隨著t1的推移而有明顯的變化。 定義定義 若隨機(jī)過程x(t)的所有特征量與t無關(guān)，即其特征量不隨t的推移而變化，則稱x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程。否則，稱為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。 “平穩(wěn)”的條件隨機(jī)過程是“平穩(wěn)”的第一個(gè)條件是其均值為常數(shù)： (7-41)隨機(jī)過程是“平穩(wěn)”的第二個(gè)條件是

29、其方差為常數(shù)： (7-42)隨機(jī)過程“平穩(wěn)”的第三個(gè)條件是隨機(jī)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)Rx(t，t)應(yīng)不隨t的位置推移而變化，即與t無關(guān)： (7-43) 由式(721)可知，方差可由自相關(guān)函數(shù)表示，因此條件式(742)只是條件式(7-43)的持殊情況。 當(dāng)不考慮隨機(jī)函數(shù)的概率密度等其他特征量，當(dāng)不考慮隨機(jī)函數(shù)的概率密度等其他特征量，而只滿足均值為常數(shù)和自相關(guān)函數(shù)僅與而只滿足均值為常數(shù)和自相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)這兩有關(guān)這兩條件時(shí)，這樣的隨機(jī)函數(shù)稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)或條件時(shí)，這樣的隨機(jī)函數(shù)稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)。廣義平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)。 在工程實(shí)際中，很多隨機(jī)過程都滿足平穩(wěn)的條在工程實(shí)際中，很多隨機(jī)過程都

30、滿足平穩(wěn)的條件，或者可以近似看作平穩(wěn)的。如照明電網(wǎng)的電件，或者可以近似看作平穩(wěn)的。如照明電網(wǎng)的電壓波動(dòng)、電阻熱電噪聲、機(jī)床的振動(dòng)、切削加工壓波動(dòng)、電阻熱電噪聲、機(jī)床的振動(dòng)、切削加工平而的表面粗糙度等都是平穩(wěn)的。因此，我們要平而的表面粗糙度等都是平穩(wěn)的。因此，我們要對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程作進(jìn)一步的研究。對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程作進(jìn)一步的研究。 1平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差 平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差都是常數(shù)，且方差等于為0的自相關(guān)函數(shù)值。 2平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù) 因?yàn)槠椒€(wěn)過程的均值為常數(shù)，因此它的自相關(guān)函數(shù)就可直接用中心化的自相關(guān)函數(shù)式表示。當(dāng)0時(shí)：自相關(guān)函數(shù)取得最大值，且等于其方差。即（7-50） 平穩(wěn)過程的自

31、相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即 （7-51） 均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程，若時(shí)x(t)與x(t)不相關(guān)，則其相關(guān)函數(shù)趨于0。即（7-52） 平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)若含有周期性成分，則它的自相關(guān)函數(shù)中亦合有周期成分，且其周期與過程的周期相同。 在實(shí)際應(yīng)用中，性質(zhì)、是重要的。 當(dāng)時(shí)，不含周期信號(hào)成分的平穩(wěn)過程x(t)與x(t)的依賴性甚微(即不相關(guān))，其自相關(guān)函數(shù)趨于零。而含有周期信號(hào)成分的平穩(wěn)過程，x(t)與x(t)仍有周期性依賴關(guān)系，其自相關(guān)函數(shù)仍保持一定值。因此可從自相關(guān)函數(shù)是否趨于零來鑒別出均值為零的平穩(wěn)過程是否混有周期信號(hào)。 上面給出了描述平穩(wěn)隨機(jī)過程的特征量的各個(gè)定義，若知道隨機(jī)函數(shù)的類型，便可知其特

32、征量。但在工程實(shí)際中，更多的情況是預(yù)先不知道隨機(jī)數(shù)據(jù)的函數(shù)形式，面是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得如圖712所示的隨機(jī)函數(shù)樣本集合。這時(shí)可由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來求特征量。 圖712 圖712 首先對(duì)首先對(duì)N個(gè)連續(xù)的記錄采樣個(gè)連續(xù)的記錄采樣(采集斷續(xù)的數(shù)字樣本采集斷續(xù)的數(shù)字樣本)，取，取等間距的等間距的tl，t2，tn，截取圖，截取圖712的連續(xù)記錄，得函的連續(xù)記錄，得函數(shù)值，如表數(shù)值，如表72所示。所示。 采樣數(shù)目的確定：若圖采樣數(shù)目的確定：若圖712的記錄長(zhǎng)度為的記錄長(zhǎng)度為T，首先將首先將T分成等間距的分成等間距的n等分即等分即tktk-1Tn，為了可靠地計(jì)算均值和自相關(guān)函數(shù)為了可靠地計(jì)算均值和自相關(guān)函數(shù), n要取得足夠要取得足夠大，具體確定辦法參見有關(guān)書籍的采樣定理。大，具體確定辦法參見有關(guān)書籍的采樣定理。 采樣數(shù)目確定后，計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)過程的特征量，采樣數(shù)目確定后，計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)過程的特征量，就不必用積分形式運(yùn)算，而可以用代數(shù)